如果說自然數(shù)是來源于對(duì)數(shù)量的刻畫，有理數(shù)是來源于對(duì)比列的刻畫，無理數(shù)是來源于對(duì)長(zhǎng)度的刻畫，那么，復(fù)數(shù)就完全是人為制造，是在現(xiàn)實(shí)生活中找不到實(shí)際背景的。復(fù)數(shù)被寫成a bi的形式，其a和b為實(shí)數(shù)，i被稱為虛數(shù)，滿足i²=-1，這是方程x²=-1的解。顯然，問題出在虛數(shù)上，因?yàn)槲覀冊(cè)诔朔且恢v已經(jīng)證明了：一個(gè)正數(shù)乘一個(gè)正數(shù)為正數(shù)，一個(gè)負(fù)數(shù)乘一個(gè)負(fù)數(shù)也是正數(shù)，因此，一個(gè)數(shù)自乘之后必然為正數(shù)，不管這個(gè)數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)。也正因?yàn)槿绱耍畔ＥD學(xué)者丟番圖雖然知道一元二次方程有兩個(gè)根，但其中有一個(gè)為虛數(shù)時(shí)，他寧可認(rèn)為這個(gè)方程是不可解的。一直到16世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們普遍認(rèn)可丟番圖這種處理虛數(shù)的辦法。

雖然問題是求二次方程的解所引發(fā)的，可是迫使人們認(rèn)真對(duì)待復(fù)數(shù)的卻是因?yàn)榍笕畏匠痰慕?。意大利?shù)學(xué)家卡爾丹在他1545年出版的著作《重要的藝術(shù)》中討論了求解三次方程的代數(shù)方法。他的工作是在韋達(dá)之前，當(dāng)時(shí)還沒有抽象出代數(shù)方程的一般表達(dá)式，他分13種情況對(duì)三次方程進(jìn)行了詳細(xì)的討論，給出了13種解題的公式，現(xiàn)在稱這些公式為卡爾丹公式。在求解公式中一個(gè)讓人十分尷尬的情況出現(xiàn)了：即便三個(gè)根都是實(shí)根，但是在用公式求解的時(shí)候會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù)，比如，對(duì)于方程16 x² x³=24x（當(dāng)時(shí)不允許方程的一邊為零），容易驗(yàn)證x=4是方程的一個(gè)根，于是，這個(gè)方程就等價(jià)于(x-4)(x² 5x-4)=0，檢驗(yàn)其中的二次方程就可以知道其余兩個(gè)根也都是實(shí)數(shù)，這樣，這個(gè)三次方程的三個(gè)根都是實(shí)根。但是，直接用卡爾丹公式計(jì)算時(shí)會(huì)出現(xiàn)復(fù)數(shù)，那么，這樣的方程是有解還是無解呢？

虛數(shù)的名稱是笛卡爾給出的，他不能接受復(fù)根，于是，在他1637年出版的《幾何》這本書中解釋復(fù)根時(shí)說“但它們始終是虛的”。在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，歐拉是第一個(gè)使用符號(hào)i來表示√-1的，并寫在他1777年提交給圣彼得堡科學(xué)院的論文中，這篇論文直到1794年才發(fā)表，那是在歐拉逝世后11年。但是，歐拉并沒有確切地掌握復(fù)數(shù)運(yùn)算，在他1770年出版地《代數(shù)》一書中認(rèn)為√-1·√-4=√-1X（-4）=√4=2，其中理由是√a·√b=√ab。

有了虛數(shù)的符號(hào)，就可以定義復(fù)數(shù)了，用C表示復(fù)數(shù)的集合。與實(shí)數(shù)不同，在復(fù)數(shù)集合中不存在大小關(guān)系，也就是說兩個(gè)復(fù)數(shù)之間不能比較大小。回想我們最初的定義：數(shù)字是那些能夠由小到大進(jìn)行排列的符號(hào)，在這個(gè)意義上，復(fù)數(shù)確實(shí)不是數(shù)字。這并不以外，因?yàn)槿魏螖?shù)對(duì)（包括向量）都不能在通常意義下比較大小。但是，復(fù)數(shù)集合卻包含實(shí)數(shù)集合，因?yàn)橹恍枰趶?fù)數(shù)中令虛數(shù)i前面的系數(shù)為0就可以了。對(duì)復(fù)數(shù)可以定義運(yùn)算。