轉(zhuǎn)化思想是常用的數(shù)學(xué)思想方法之一，它包括生疏問(wèn)題熟悉化、復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、未知問(wèn)題已知化、實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化等，還包括數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化、斜與直的相互轉(zhuǎn)化、邊與角的相互轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化等.可以說(shuō)，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在，沒(méi)有轉(zhuǎn)化，就沒(méi)有數(shù)學(xué).

本文擬以一類看似等腰三角形的存在性問(wèn)題為例，通過(guò)導(dǎo)角，轉(zhuǎn)化為其他存在性問(wèn)題，以體現(xiàn)轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中的重要作用，增強(qiáng)學(xué)生分析與解決問(wèn)題的能力與手段，提升解題技能.

一、例題呈現(xiàn)

例1.如圖1，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)（P與B、C不重合），過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AP，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，交AD于點(diǎn)E，若BP＝x，CQ＝y(tǒng).

（1）試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，△APE為等腰三角形？  

 一題一思：本題第（1）問(wèn)識(shí)別相似，利用比例式列出方程，得到函數(shù)關(guān)系式；也可采取“見(jiàn)直角，造一線三直角”策略，如圖5，構(gòu)造Rt△ABP∽R(shí)t△QGA，事實(shí)上Rt△QGA ≌Rt△ADQ，它們是“一伙的”.

第（2）問(wèn)看似等腰三角形的存在性問(wèn)題，這里以角為分類標(biāo)準(zhǔn)，第①類轉(zhuǎn)化為中點(diǎn)問(wèn)題，結(jié)合“平行線分線段成比例公理”瞬秒；第②類轉(zhuǎn)化為相似問(wèn)題，借助比例列方程；第③類轉(zhuǎn)化為全等問(wèn)題，利用勾股定理列方程.由此可見(jiàn)，等腰三角形僅僅是個(gè)華麗的外表，透過(guò)表象看本質(zhì)，通過(guò)導(dǎo)角轉(zhuǎn)化，這類問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為其他存在性問(wèn)題.轉(zhuǎn)化與化歸思想是解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，需靈活使用.

一題一思：本題表面看上去是一個(gè)等腰三角形存在性問(wèn)題，但通過(guò)導(dǎo)角轉(zhuǎn)化，第①類變?yōu)榻谴嬖趩?wèn)題，巧施正切來(lái)處理；第②類變?yōu)榻瞧椒志€的存在性問(wèn)題，巧作雙垂來(lái)解題；第③類變?yōu)榈妊鱋CE的存在性問(wèn)題，借助“三線合一”巧施比.真可謂“問(wèn)山不是山，轉(zhuǎn)化妙無(wú)窮”；

“先定性分析，后定量計(jì)算”是解決此類問(wèn)題的上乘之法.所謂“定性分析”，即為“導(dǎo)角轉(zhuǎn)化”；所謂“定量計(jì)算”，即為“導(dǎo)邊列式”.解題時(shí)，莫要著急求邊長(zhǎng)，可以先從角的角度進(jìn)行分析，看看能不能轉(zhuǎn)化成其他常規(guī)問(wèn)題.

一題一思：上述三種情形，解法一脈相承，都是狠抓不變角，巧施三角比，設(shè)邊長(zhǎng)，寫坐標(biāo)，代入簡(jiǎn)析式，順利解題.

本題看似等腰三角形的存在性問(wèn)題，但通過(guò)導(dǎo)角轉(zhuǎn)化，演變?yōu)楸硎军c(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題.事實(shí)上，轉(zhuǎn)化的力量遠(yuǎn)不止如此，第③種情形還可演變?yōu)榻堑拇嬖谛詥?wèn)題：

另外，借助相似轉(zhuǎn)化，本題還有以下更為出彩的演變：

如圖15，延長(zhǎng)AD交x軸于點(diǎn)P，易知△ABD∽△POA，要使△ABD為等腰三角形，只需△POA為等腰三角形，“雙動(dòng)點(diǎn)”立馬變?yōu)椤皢蝿?dòng)點(diǎn)”，動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)減少，問(wèn)題必然簡(jiǎn)化，只要求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用直線AP與雙曲線聯(lián)立，即可求得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，下略.

轉(zhuǎn)化何其妙！看似等腰三角形的存在性問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為其他存在性問(wèn)題，也可以轉(zhuǎn)化為其他等腰三角形的存在性問(wèn)題.

結(jié)合上述第①類的解答過(guò)程，筆者還想到了反比例函數(shù)的圖像中一個(gè)有趣的小結(jié)論：

這又是聯(lián)想的力量！數(shù)學(xué)何其美妙，只要思考，處處存精彩！

例4.如圖17，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.點(diǎn)P在線段CB上，以1cm/s的速度從點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，連接AP，作PD⊥AP交AB于點(diǎn)D，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PDB是等腰三角形；

（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

一題一思：這里的第（1）問(wèn)看似等腰三角形的存在性問(wèn)題，若能從角的角度，先作定性分析，立知只有一種情形，根本無(wú)需分類.等腰三角形僅僅是一個(gè)幌子，只是提供了導(dǎo)角轉(zhuǎn)移的條件.但現(xiàn)實(shí)中，多數(shù)學(xué)生的第一反應(yīng)是分類，還想表示三邊，結(jié)果只能無(wú)功而返.

第（2）問(wèn)，雖與本文關(guān)聯(lián)不大，但也是不可多得的好問(wèn)題.“見(jiàn)直角，取中點(diǎn)”，識(shí)別“SSA”本質(zhì)，利用“斜大于直”，列不等式，求最值，從而順利解題.

例5.如圖19，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接PB，作PE⊥PB，交射線DC于點(diǎn)E.當(dāng)△PCE為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng).

一題一思：看似等腰三角形的存在性問(wèn)題，這里因射線DC導(dǎo)致分兩類的等腰三角形均為鈍角三角形，卻都只有一種可能性，“等腰”依然是個(gè)幌子，僅提供了導(dǎo)角轉(zhuǎn)化的依據(jù).這就是所謂定性分析，它可以大大減少思維成本，簡(jiǎn)化思考過(guò)程，真可謂“情況不明，導(dǎo)角先行”.

例6.如圖22，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝6，P是弧AB上一點(diǎn)（異于A、B），作PH⊥OA于點(diǎn)H，G為△OPH的重心.當(dāng)△PGH為等腰三角形時(shí)，求PH的長(zhǎng).

一題一思：這是一道有關(guān)重心的圓中等腰三角形存在性問(wèn)題，先行導(dǎo)角，可排除一種可能，而剩下的兩種情形中，第①類口算，第②類則結(jié)合方程思想進(jìn)行求解.

例7.如圖24，在矩形ABCD中，AD＝3，AB＝4，點(diǎn)E在射線DC上，把△ADE沿AE折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接CF、DF.當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，求DE的長(zhǎng).

簡(jiǎn)析：（1）由折疊易知AF＝AD＝3，故點(diǎn)F在以A為圓心，以3為半徑的⊙A上運(yùn)動(dòng)（事實(shí)上，點(diǎn)F在一個(gè)半圓上運(yùn)動(dòng)）；

當(dāng)△CDF為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)F必在所謂“兩圓一線”上運(yùn)動(dòng)，即分別以點(diǎn)C、D為圓心，以CD為半徑的兩個(gè)圓以及CD的垂直平分線；

如圖25，利用⊙A與所謂的“兩圓一線”找交點(diǎn)，即可找到符合條件的點(diǎn)F共有四個(gè)；

下面逐一畫(huà)圖、求解：

一題一思：對(duì)于這樣的“兩定一動(dòng)”型等腰三角形存在性問(wèn)題，可利用所謂“兩圓一線”作圖法，先找到需要的點(diǎn)，然后分類計(jì)算，方能“不重不漏”.這也是一種重要的軌跡意識(shí)，即所謂的“交軌法”.

從上述的解答過(guò)程，可以看出：本題看似等腰三角形的存在性問(wèn)題，但它僅僅是一個(gè)導(dǎo)角工具，四種情形基本都是利用導(dǎo)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，借助比例實(shí)現(xiàn)口算.

例8.如圖30，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(4,0)和點(diǎn)B(0,4)，P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接PB，將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段PC，直線PC與直線AB交于點(diǎn)Q.在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在某一位置，使△PBQ為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

簡(jiǎn)析：（1）畫(huà)圖分析，可知：當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，△PBQ中始終有內(nèi)角∠BPQ＝45°，要使△PBQ為等腰三角形，45°可能為其底角，此時(shí)必為等腰直角三角形；45°也可能為其頂角，則另外的兩個(gè)底角均為67.5°；

當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，△PBQ中始終有內(nèi)角∠BPQ＝135°，要使△PBQ為等腰三角形，135°只能為其頂角，另外的兩個(gè)底角為22.5°；

據(jù)此，本題分以下四種情形依次求解：

一題一思：本題主要難在畫(huà)圖，是否能夠通過(guò)畫(huà)圖找到滿足條件的所有情形，是解題的關(guān)鍵，因此利用鉛筆、直尺、橡皮多畫(huà)圖、多感知，是解決此類動(dòng)態(tài)難題的金鑰匙.拿這題舉例，通過(guò)畫(huà)圖，才能感知到“當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，目標(biāo)△PBQ始終含45°不變角，進(jìn)而以45°角為底角或頂角，繼續(xù)畫(huà)圖找尋符合條件的三種情形；當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，目標(biāo)△PBQ始終含135°不變角，進(jìn)而135°角只能作為頂角，繼續(xù)畫(huà)圖找尋最后那唯一的情形”.畫(huà)圖意識(shí)、分類思想是兩大法寶，需認(rèn)真體會(huì)、感悟.

當(dāng)然，本題一旦通過(guò)畫(huà)圖分類，找到了四種情形，接下來(lái)也僅僅需要導(dǎo)角轉(zhuǎn)化，基本都可以實(shí)現(xiàn)口算.由此可見(jiàn)，看似等腰三角形的存在性問(wèn)題，難在畫(huà)圖，重在導(dǎo)角??！

一題一思：本題難度較大，區(qū)分度大，思維量高，需要具備足夠的分析能力.

第（2）問(wèn)考查了平移變換.抓住等角，導(dǎo)角轉(zhuǎn)化，巧施比例，即可獲解；另外，圖形的任何變換（平移、翻折、旋轉(zhuǎn)以及位似等），本質(zhì)都是點(diǎn)的變換——“集體行動(dòng)，步調(diào)一致”.因此，這里只利用了點(diǎn)F的平移便求出了平移距離.

第（3）問(wèn)難在畫(huà)出各種旋轉(zhuǎn)后符合題意的圖形，若采取常規(guī)解法，逐一畫(huà)圖解決，難以找全、找準(zhǔn).上述解法有兩大亮點(diǎn)：一是相似轉(zhuǎn)化策略，即導(dǎo)角轉(zhuǎn)移，將目標(biāo)△DPQ轉(zhuǎn)化為△QA′B； 二是相對(duì)運(yùn)動(dòng)策略，即動(dòng)靜互化，原來(lái)旋轉(zhuǎn)的△ABF保持不動(dòng)，而原來(lái)靜止的直線BD轉(zhuǎn)起來(lái).結(jié)合這兩大策略，原本難以尋找的等腰三角形變成了熟知的“兩定一動(dòng)”型等腰三角形存在性問(wèn)題，借助“兩圓一線”法畫(huà)出圖形，問(wèn)題也就變?yōu)榱恕凹埨匣ⅰ?

此外，本題中還有一個(gè)重要的策略需引起關(guān)注，那就是“不斷地給問(wèn)題換馬甲”，即重新包裝問(wèn)題，不斷地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“翻譯”，逐步演變?yōu)榕c之等價(jià)的新問(wèn)題，以至于最終成為常規(guī)問(wèn)題，這種核心結(jié)構(gòu)的識(shí)別、提取與翻譯，是解決難題尤其是動(dòng)態(tài)難題的一大絕招.

關(guān)于“相似轉(zhuǎn)化”以及“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”，筆者還聯(lián)想到了下面兩道中考真題：

一題一思：旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)是圖形上的每一個(gè)點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)中心在同心圓上作同步運(yùn)動(dòng)，故而旋轉(zhuǎn)出隱圓.最后一問(wèn)，這里給出了兩種解法，孰優(yōu)孰劣，一比見(jiàn)高下.

在常規(guī)解法中，首先作出點(diǎn)D所在的軌跡圓⊙A，而DE始終為⊙A的切線且DE＝3，要使△KDE的面積取最值，只要使DE邊上的高取得最值，其嚴(yán)格的推理過(guò)程如下：

而“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”的非常規(guī)解法，讓人眼前一亮，簡(jiǎn)直嘆為觀止.“敵不動(dòng)我動(dòng)”，“山不轉(zhuǎn)水轉(zhuǎn)”，整個(gè)世界都是運(yùn)動(dòng)的，所有運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)的.在解題中，若能巧施“相對(duì)運(yùn)動(dòng)”策略，尤其是在復(fù)雜的動(dòng)態(tài)問(wèn)題中，譬如多元素在動(dòng)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)在動(dòng)，變動(dòng)為靜，化靜為動(dòng)，或許就能收到奇效，以至于化繁為簡(jiǎn)，化難為易.總之，這是一種重要的解題策略，需引起重視與關(guān)注.

“金豬報(bào)喜”，“十全十美”，再舉一道2019年中考真題：

一題一思：看似一個(gè)普通的等腰三角形存在性問(wèn)題，但因?yàn)樯婕爸本€相交，導(dǎo)致分類復(fù)雜，本題首先難在分類畫(huà)圖上，這需要學(xué)生耐住性子，認(rèn)真畫(huà)圖，圖形越準(zhǔn)確，分析越有利，在鉛筆畫(huà)圖中，逐步接近目標(biāo)，慢慢調(diào)整圖形，才有可能找到全部四種情形.

“點(diǎn)D在直線CB上”，第一反應(yīng)就是分類，至少分三大類，即①點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上；②點(diǎn)D在CB上；③點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上.每種情形下，只要能認(rèn)真規(guī)范畫(huà)圖，就會(huì)立即意識(shí)到，這里的等腰△DFG總是一個(gè)鈍角三角形，這樣就不會(huì)因?yàn)椤暗妊鼏?wèn)題”導(dǎo)致二次分類，故而沒(méi)有想象中的那么復(fù)雜.

另外，本題第四種情形，等腰△DFG的頂點(diǎn)F跑到了直線BC的下方，這種情形特別容易丟掉，無(wú)論是命題人，還是解題人，不靠幾何畫(huà)板等數(shù)學(xué)工具，也是難以發(fā)現(xiàn)的，正如一位浙江的老師說(shuō)，這是人腦與電腦之間的PK（浙江酈秀麗老師）.

真正在每種情形下認(rèn)真分析題意后，還會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)等腰“不等腰”，也就是說(shuō)，這里的等腰三角形僅僅是個(gè)“幌子”，它只是提供兩條腰長(zhǎng)相等而已，每種情形下，都是抓住不變角，巧設(shè)邊長(zhǎng)，導(dǎo)邊導(dǎo)比，最后利用基本相似型，或A字型或8字型，列出方程，進(jìn)而得解.換言之，這是一道“假等腰”問(wèn)題，本質(zhì)考的卻是相似計(jì)算.

更要人命的是，即便想到了正確的思路，本題的計(jì)算量也忒大了.答案擺在那，不管用什么方法，計(jì)算量是少不得的，這在有限的考場(chǎng)上，實(shí)屬一個(gè)難以下咽的硬骨頭.筆者建議學(xué)生，能拿幾分是幾分，切勿好高騖遠(yuǎn)，急于求成，而應(yīng)穩(wěn)定情緒，戒驕戒躁，把自己能想到的情形考慮到，把自己能夠計(jì)算的結(jié)果算出來(lái)，足矣！

若是畫(huà)圖能力不夠，但是有超強(qiáng)的計(jì)算能力，本題還可以采取“暴力計(jì)算”：

理論上，上述代數(shù)解法行得通，但計(jì)算量實(shí)在讓人無(wú)語(yǔ)，即便這里采取了一定的巧設(shè)處理，仍寧可放棄，不做“冤大頭”，考場(chǎng)上應(yīng)將節(jié)省下來(lái)的時(shí)間投入到前面的作答中.

中考里，請(qǐng)切記：“不要盲目地迎難而上，而應(yīng)從容地繞道而行”！這樣的答題策略會(huì)讓你得高分，雖然不是滿分；反過(guò)來(lái)，一味地想追求滿分，到頭來(lái)可能頭破血流拿低分，得不償失！

轉(zhuǎn)化多奇妙！看似等腰三角形的存在性問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為角問(wèn)題、角平分線問(wèn)題、全等問(wèn)題、相似問(wèn)題或其他等腰三角形的存在性問(wèn)題等；反過(guò)來(lái)，看似其他類存在性問(wèn)題，也可能會(huì)轉(zhuǎn)化為等腰三角形問(wèn)題.

上述很多問(wèn)題的解決都得益于導(dǎo)角分析與相似轉(zhuǎn)化.為體現(xiàn)這兩點(diǎn)的重要性，筆者最后提供一道課堂上與之相關(guān)的好題，以期達(dá)到拋磚引玉之效：

一題一思：第（1）問(wèn)，重在兩個(gè)基本相似形的識(shí)別，即斜A字形與母子型相似，然后導(dǎo)邊，利用比例進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

（2）看似相似三角形的存在性問(wèn)題，這里先定性分析，推導(dǎo)角的大小關(guān)系，排除多種可能，最后聚焦為唯一的情形，竟轉(zhuǎn)化為了等腰問(wèn)題，再次讓人感嘆轉(zhuǎn)化的神奇與美妙.

以上十道例題與三道引例，讓筆者感嘆如下的解題經(jīng)驗(yàn)：遇到難題，情況不明，導(dǎo)角先行，即所謂“先定性分析，后定量計(jì)算”.看似等腰三角形的問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)角轉(zhuǎn)化，可變?yōu)槠渌悊?wèn)題；看似其他類問(wèn)題，借助導(dǎo)角分析，又可能變?yōu)榈妊切螁?wèn)題.總而言之，轉(zhuǎn)化妙無(wú)窮，導(dǎo)角力無(wú)邊！

 看似本文結(jié)尾了，卻又何嘗不是新的開(kāi)始，愿新年里，大家齊飛！