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閱讀該文章時(shí)要結(jié)合注釋來(lái)看。為了敘述的完整感，很多拓展內(nèi)容在注釋上。

▌半弦表

天文學(xué)的發(fā)展對(duì)精確的制圖提出了要求，人類對(duì)角的認(rèn)識(shí)也從定性開(kāi)始走向定量。

研究角度和長(zhǎng)度之間的關(guān)系，其實(shí)就是在研究函數(shù)，所以用的辦法也和之前談過(guò)的乘法、對(duì)數(shù)是一樣的：直接編一個(gè)表。

最早的時(shí)候托勒密用的就是弦長(zhǎng)，不過(guò)后來(lái)這個(gè)表被印度數(shù)學(xué)家改良了，從“弦長(zhǎng)表”改良成了“半弦表”，因?yàn)槿绻眠@個(gè)表解任意三角形的話，“半弦”明顯比“弦”好用很多，就是在這張表中角的“半弦”也被叫做“正弦”，其余角的“半弦”就叫做“余弦”。[1]

后來(lái)，印度人的半弦表經(jīng)阿拉伯人之手又傳回了歐洲[2]，被翻譯為希臘文 "sinus(sin)"，意為“海灣”，所以在東方人的意識(shí)中正弦是“弓弦”，而在西方人的意識(shí)中則是“海灣”， "co" 在拉丁語(yǔ)里有“聯(lián)合”的意思，所以 "co-sinus(cos)" 就是“余弦”。

▲ 虹灣(Sinus Iridum)是月球上西北側(cè)的一處撞擊坑

日晷和測(cè)量金字塔的高度，都是利用了直角三角形的直角邊，最初直角邊之間的關(guān)系就是用拉丁文“陰影”命名的，隨著數(shù)學(xué)的繼續(xù)發(fā)展，概念也從具象走向抽象，15世紀(jì)之后開(kāi)始用 tangere(tan) 來(lái)描述了，這個(gè)詞在拉丁文中是“接觸”的意思，而中國(guó)人把 "tan" 翻譯為“正切”。這是顯然是從線與圓的關(guān)系上來(lái)看的，"tan" 所在的直線和圓正好相切。

▌從具象到抽象

德國(guó)數(shù)學(xué)家利提克斯，一改過(guò)去用弧與弦來(lái)討論，使用直角三角形斜邊與對(duì)邊的比來(lái)定義角函數(shù)[6]，編制了每隔 10" 的角函數(shù)表。計(jì)算機(jī)普及之前，角函數(shù)表一直都是重要工具。

▲ 國(guó)內(nèi)曾出版的三角函數(shù)值表

不過(guò)這種定義方法有缺陷：定義在直角三角形上，鈍角的情況就不存在了，另外從這個(gè)角度上理解，我們似乎很難對(duì)它的含義作進(jìn)一步的探究。[3]

隨著解析幾何的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)如果在單位圓上定義，那么角函數(shù)可以用圓和三角形的線段，或者坐標(biāo)之比來(lái)表示。[5]

鈍角三角形的問(wèn)題也就迎刃而解了，因?yàn)榭梢园迅咦髟谪?fù)軸上；這種定義方法也使角從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)，負(fù)角就出現(xiàn)了，從坐標(biāo)系上來(lái)看順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)是角度減少，反之，逆時(shí)針則是角度增加。[4]

把這樣得到的 x 和 y 記錄下來(lái)，可以畫(huà)出圖像；從動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)的角度來(lái)看，角度是可以突破 360° 的，無(wú)需限制函數(shù)的定義域。由于角度本身是有周期的，所以函數(shù)圖像也是有周期的。

這么一放，就會(huì)觀察到 sin 和 cos 其實(shí)就是“二維世界的點(diǎn)，在一維世界上的投影”。這就很容易理解 sin 和 cos 的圖像形狀是“尖尖”的，因?yàn)樗麄兿喈?dāng)于“把圓看扁了”；生活經(jīng)驗(yàn)也會(huì)告訴我們，從投影的角度看圓周運(yùn)動(dòng)就是忽快忽慢的。

從幾何意義上可看出：

1. sin 和 cos 的值域是 [-1,1]，而 tan 的是 R 。因?yàn)?tan 是斜率，所以垂直時(shí)不存在，定義域?yàn)?nbsp;， 。

2. 另外，能夠一眼就看出函數(shù)值的符號(hào)：因?yàn)?sin 其實(shí)就是 y，所以在角坐標(biāo)上半邊時(shí)結(jié)果是正的；cos 就是 x，所以在右半邊是正的；tan是 ，所以“同增異減”，在第一和第三象限是正的。

▌角函數(shù)的應(yīng)用

角函數(shù)還可以看做“解旋”[7]的過(guò)程：把旋轉(zhuǎn)拆分為平移。

所以，會(huì)在物理的運(yùn)動(dòng)分析上見(jiàn)到它，因?yàn)樗梢园褟?fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解為簡(jiǎn)單的直線運(yùn)動(dòng)；你也會(huì)在受力分析上見(jiàn)到他，可以把平面上的任何力都分解成垂直于平行的兩個(gè)力之和(也叫“向量的平行四邊形法則”)。

還可以意識(shí)到，描述平面上任意一點(diǎn)，直角坐標(biāo)和角度+長(zhǎng)度其實(shí)是等價(jià)的，這兩種形式的橋梁就是角函數(shù)。

在描述旋轉(zhuǎn)(曲線)的時(shí)候，直接用旋轉(zhuǎn)的量角度(弧度)，比用平移的量(直角坐標(biāo))要簡(jiǎn)潔方便的多，所以我們就多了一種描述曲線的方法，現(xiàn)在可以哪種方便用哪種，所以在雷達(dá)屏幕上你可以見(jiàn)到“極坐標(biāo)”。

再舉兩個(gè)例子，用極坐標(biāo)方程  可以表示螺線，用  可以表示圓。

當(dāng)然向量和復(fù)數(shù)也都可以用這兩種坐標(biāo)來(lái)表示，他們的兩種表示形式都可以用角函數(shù)進(jìn)行變換。

▌三角形與圓

你會(huì)發(fā)現(xiàn)，大量的概念都和直角三角形扯上了關(guān)系，直角三角形為啥總是出現(xiàn)？

如果從轉(zhuǎn)動(dòng)的角度來(lái)說(shuō)直角三角形其實(shí)是簡(jiǎn)潔的，而任意三角形是復(fù)雜的。

? 為什么這樣講呢？

重新來(lái)看角和圓的定義(上一篇中談過(guò))，如果轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)線段長(zhǎng)度是可變的，那么最后形成的東西就是“任意三角形”了，對(duì)應(yīng)亂亂的軌跡和無(wú)序；反之，產(chǎn)生的東西就是“等腰三角形”，對(duì)應(yīng)的是優(yōu)美的圓弧與有序。

為了計(jì)算的方便，我們把“等腰三角形”一份兩半，形成“直角三角形”，同時(shí)也把圓弧和全弦一分兩半，形成“半弦”(正弦)。

直角三角形本來(lái)就是圓的一部分(都是有序轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生的)，只要一旦把角放到直角三角形，就可以化無(wú)序?yàn)橛行?/strong>，就意味著一下子多了非常多的已知條件，依靠直角三角形往往能讓問(wèn)題的解答簡(jiǎn)潔優(yōu)美，有助于問(wèn)題的解決。

把三角形的任意角，放到直角三角形中是非常簡(jiǎn)單的，只要作頂點(diǎn)到底邊的垂線即可。

從這個(gè)角度上來(lái)講：“作高”的過(guò)程，其實(shí)就是在“作弦”，時(shí)光倒流，把原本亂亂的運(yùn)動(dòng)變成簡(jiǎn)潔的運(yùn)動(dòng)。所以直角三角形總是這么頻繁的出現(xiàn)。

▌總結(jié)

1. 角函數(shù)的發(fā)展也是從具象到抽象的過(guò)程：

   定性 → 弦長(zhǎng)表 → 半弦表 → 定義在直角三角形上(角函數(shù)表) → 定義在直角坐標(biāo)系上

2. 角函數(shù)是旋轉(zhuǎn)和平移之間的橋梁。sin 和 cos 的作用是解旋，tan是斜率。

3. 直角三角形是在旋轉(zhuǎn)中充當(dāng)了有序和無(wú)序之間的橋梁。

▌注釋

[1] 弦長(zhǎng)表是希臘天文學(xué)家 Hipparchus 首創(chuàng)的，其作品已失傳，事跡記錄于托勒密的《天文學(xué)大成》一書(shū)。如果不知道“正弦”先后有兩個(gè)意思，就難以理解“正弦”與“圓”的關(guān)系。“遇見(jiàn)數(shù)學(xué)”翻譯過(guò)一篇文章，作者說(shuō)“正弦”和“圓”的關(guān)系是巧合，也許作者對(duì)這段數(shù)學(xué)史沒(méi)有了解。

[2] 阿拉伯是東西方的信使，托勒密的弦長(zhǎng)表是 60進(jìn)制的，因?yàn)槟菚r(shí)只有60進(jìn)制才能表示小數(shù)。印度人的發(fā)明的10進(jìn)制也是阿拉伯人傳到西方的，所以也叫做“阿拉伯?dāng)?shù)字”，其實(shí)阿拉伯人只是個(gè)翻譯。

[3] 用斜邊和對(duì)邊之比定義角函數(shù)的源頭就在于此。從名稱上來(lái)看并不利于記憶，和“弦”、“割”及“切”的具象定義無(wú)關(guān)；其次，從定量上看不及單位圓和坐標(biāo)系。可以用聯(lián)想法輔助記憶。

[4] 在幾何作圖中我們往往默認(rèn)長(zhǎng)度是正數(shù)，也就是“單向數(shù)軸”。如果接受“長(zhǎng)度也可以是負(fù)數(shù)”，也就是“數(shù)軸”的概念，那么就鈍角的問(wèn)題就解決了，角度也可以為負(fù)。

另外，在尋找復(fù)數(shù)的過(guò)程中，最關(guān)鍵的就從幾何上解釋，笛卡爾作為坐標(biāo)系發(fā)明人，也沒(méi)有意識(shí)到“數(shù)平面”的概念，結(jié)果尋找復(fù)數(shù)的努力失敗了。

但是有一個(gè)人卻極其接近成功，因?yàn)樗l(fā)現(xiàn)如果是存在的，那么做出來(lái)的線段應(yīng)該是在“上方”，這就暗示了“數(shù)平面”的存在?？上н@個(gè)概念實(shí)在是太過(guò)抽象，復(fù)數(shù)的發(fā)現(xiàn)最終與他擦肩而過(guò)，這個(gè)榮譽(yù)最后被高斯獲得，“數(shù)平面”也被命名為“高斯平面”。

[5] 定義在直角坐標(biāo)系和單位圓上的角函數(shù)，曾出現(xiàn)過(guò) 12 種，目前最常用的有 6 種，剩下的 3 種沒(méi)有介紹是因?yàn)榕csin/cos/tan互為倒數(shù)，他們分別是 ：csc余割，sec正割，ctg余切。除非計(jì)算中經(jīng)常使用，就不用符號(hào)表示，直接使用倒數(shù)表示。我找到了一張圖，也許包含了12種吧，不常用的那些我沒(méi)有仔細(xì)看，似乎有一些的名稱統(tǒng)一性還挺差。

[6] 叫做“角函數(shù)”而不叫做“三角函數(shù)”是為了響應(yīng)克萊因的建議。

在開(kāi)始之前，我要說(shuō)明用角函數(shù)這個(gè)名稱似乎比習(xí)慣上用的三角函數(shù)要好，因?yàn)槿菍W(xué)只是這些函數(shù)的一個(gè)特殊應(yīng)用。它們本身與指數(shù)函數(shù)相類似，但其中的反函數(shù)又類似對(duì)數(shù)函數(shù)。我們稱這些反函數(shù)為測(cè)圓函數(shù)。 —— 《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》

[7] “解旋”一詞借鑒于生物學(xué)中的“DNA解旋”，我認(rèn)為這個(gè)詞用來(lái)解釋 sin 的意義是簡(jiǎn)潔而恰當(dāng)?shù)摹?/span>

參考資料

[1] https:///names-trigonometric-functions/ (圖2、注釋圖1)[2]《數(shù)學(xué)符號(hào)史》 [3]《數(shù)學(xué)史》 [4]《數(shù)學(xué)史通論》 [5]Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002 ISBN 0-691-09541-8. (注釋圖2) [6]《三角函數(shù)超入門(mén)》(注釋圖3) [7]《虛數(shù)的故事》(注釋圖4)[8] https://en./wiki/File:Circle_cos_sin.gif (圖6)[9] http://www.sohu.com/a/280452745_372482 (圖7)[10]《圖解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)法》