前段時間完美聊了一下麥克斯韋方程，那么聊到世界上最完美的公式，就肯定離不開歐拉公式，如果說麥克斯韋方程首次讓物理學(xué)界迎來了大一統(tǒng)，那么歐拉公式就可以被稱為“公式之母”，無數(shù)數(shù)學(xué)界以及物理界的公式都是受他影響而誕生，可以說推動了數(shù)學(xué)界和物理界的大發(fā)展，數(shù)學(xué)家們更是評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”。而這個公式的發(fā)明者歐拉也被譽(yù)為“數(shù)學(xué)之王”，是數(shù)學(xué)界的四大天王（“數(shù)學(xué)之神”阿基米德、牛頓、“數(shù)學(xué)王子”高斯、歐拉）。

我們先來聊聊歐拉，歐拉可以說就是為數(shù)學(xué)而生，人家9歲，就把牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》看完了。

13歲考入巴塞爾大學(xué)一開始是主修哲學(xué)和法律。后來覺得太容易了，太輕松了。一口氣又修了數(shù)學(xué)、神學(xué)、希伯來語以及希臘語。

課余還研究音樂、物理、建筑啥的。這他都覺得大學(xué)過的很閑?；藘赡陼r間就把六個專業(yè)學(xué)完了，然后畢業(yè)了......

順手考了一個碩士，可能是覺得碩士學(xué)習(xí)的內(nèi)容太簡單了，歐拉完全提不起興趣。心想要不然就考個博士吧。

然后碩士讀了一年了就成功考取了博士。

這些歐拉才心滿意足，覺得還是有點學(xué)習(xí)的價值，乖乖讀了3年。19歲就成功博士畢業(yè)了。博士畢業(yè)論文就是寫的物理論文。

為啥說歐拉自負(fù)傲嬌氣性大，因為他20歲的時候參加巴黎科學(xué)院獎金的爭奪，就拿了一個第二。

歐拉啥時候受過這樣的氣啊，心想雖然自己比賽的時候也是灑灑水，沒這么認(rèn)真。也不至于就第二吧。

當(dāng)年拿第一的皮埃爾·布格也是厲害人物，在多個領(lǐng)域有很高成就，被后世尊為“ 造船工程學(xué)之父 ”。

可惜他碰上的對手是歐拉。

歐拉很生氣，后果很憤怒。接下來12年，建筑大賽的冠軍都被歐拉拿了。

到了33歲，歐拉才覺得氣消，不再參與比賽。27歲那年，他發(fā)明了一系列對人類影響深遠(yuǎn)的符號——圓周率的符號π、函數(shù)符號f(x)、以及三角學(xué)符號sin、cos、tg等等都是他發(fā)明的。

歐拉憑一己之力，成功為中國數(shù)學(xué)教材貢獻(xiàn)了無數(shù)的知識點。讓中國學(xué)生在中考、高考的數(shù)學(xué)火海里苦苦掙扎，然而，這只是人家做的一點點微博貢獻(xiàn)。

從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數(shù)論中的歐拉函數(shù)，微分方程的歐拉方程，級數(shù)論的歐拉常數(shù)，變分學(xué)的歐拉方程，復(fù)變函數(shù)的歐拉公式都是他送給理科系大學(xué)生的禮物。

還有哥德巴赫猜想也是哥德巴赫寫信給歐拉時提出的?，F(xiàn)在流行的版本是歐拉記載下來的。

歐拉在數(shù)學(xué)的勤奮還有天賦真的是前無古人。號稱科研就和生活一樣?？赡茉诤纫槐臅r候，就立馬想處一個公式來了。

另外，他還順便創(chuàng)造了幾個全新的學(xué)科：拓?fù)鋵W(xué)、彈道學(xué)、分析力學(xué)，還自學(xué)成為了制圖學(xué)家。全歐洲的天文學(xué)家正在討論該如何計算彗星的軌道，100多個專家苦苦嘗試卻毫無進(jìn)展。

27歲的歐拉聽說了這件事之后，得瑟之心油然而生，為了顯擺自己的智商，他連續(xù)三天不吃不喝不睡，搞出了一套計算彗星軌道的方法。

然而天道好輪回，天才也繳稅，由于連續(xù)三天沒合眼，他的右眼勞累過度，瞎掉了...

不過他表示還可以再堅持一下，30歲的獨眼歐拉出版了震古爍今的巨著《力學(xué)，或解析地敘述運動的理論》，提出了質(zhì)點的概念。

還在速度與加速度問題上引入了矢量，一系列巨大成果，改變了人類發(fā)展的走向。

32歲時候，很久沒有跨界的他，心里癢癢的，于是出版了一部音樂理論著作，順便發(fā)明了，空氣動力學(xué)和流體動力學(xué)。。

在59歲的時候，歐拉徹底瞎了，但是歐拉覺得好像解放了新世界。雖然看不清楚，沒有辦法計算，但是歐拉強(qiáng)悍的心算能力彌補(bǔ)了這一點。

歐拉的記憶力和心算能力是罕見的，他能夠復(fù)述年青時代筆記的內(nèi)容。

而且老年時期還能清楚記得維吉爾的史詩《埃涅阿斯紀(jì)》，這本書有多厚呢，人民出版社翻譯的中文版共有300多頁。

歐拉可以清晰記得哪一句在哪一頁哪一段哪一行。

有一個例子足以說明他的本領(lǐng)，歐拉的兩個學(xué)生把一個復(fù)雜的收斂級數(shù)的17項加起來，算到第50位數(shù)字，兩人相差一個單位。

歐拉為了確定究竟誰對，用心算進(jìn)行全部運算，最后把錯誤找了出來．歐拉在失明的17年中；還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多復(fù)雜的分析問題．歐拉以驚人的記憶力還有能力解決了需要計算的難題，寫東西更勤快了。還創(chuàng)立了分析力學(xué)和剛體力學(xué)

他喜歡拿自己的小孩做背板，然后在那里計算。就和這幅圖一樣。

1771年，64歲的歐拉因為彼得堡的大火災(zāi)殃及歐拉住宅，帶病而失明的64歲的歐拉被圍困在大火中。

雖然他被別人從火海中救了出來，但他的書房和大量研究成果全部化為灰燼了。

記憶力驚人的歐拉表示，燒掉了有什么，我再重新寫出來不就好了。

他抓緊這最后的時刻，在一塊大黑板上疾書他發(fā)現(xiàn)的公式，然后口述其內(nèi)容，由他的學(xué)生特別是大兒子A·歐拉（數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家）筆錄。

然而即使歐拉奮戰(zhàn)了13年，依然才整理出來一小部分被燒毀的成果，可以說如果不是這場大火，那么歐拉遺留下來的成果你想想對文明的進(jìn)步會有多大的發(fā)展。

他大火之后整理出來的小部分成果共包括886本書籍和論文，其中分析、代數(shù)、數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占11%，彈道學(xué)、航海學(xué)、建筑學(xué)等占3%，彼得堡科學(xué)院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

以歐拉命名的公式與定理，足足有數(shù)十個。這其中最為知名的就是我們的主體“歐拉公式”，這條恒等式第一次出現(xiàn)于1748年歐拉在洛桑出版的書Introduction，它是復(fù)分析的歐拉公式特例。。

歐拉公式并沒有多復(fù)雜，反而方程簡單，有點像武林高手，達(dá)到了最高境界，返璞歸真一樣的感覺。

看起來是不是特別地簡單，但是這個公式在以前即使是許多的數(shù)學(xué)界窮盡一生都很難琢磨明白， 它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個常數(shù)聯(lián)系到了一起：兩個超越數(shù)：自然對數(shù)的底e，圓周率π；兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學(xué)里常見的0。

那么為什么說這個公式非常復(fù)雜呢？因為你可以用非常多不同的方式去證明它，你既可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可以用推理證明，也可以分式推導(dǎo)，還可以用復(fù)變函數(shù)求證，甚至你可以用 平面幾何學(xué)、 物理學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)來推證。所以才說他蘊(yùn)含了所有的數(shù)學(xué)元素，甚至蘊(yùn)含了宇宙的至理法則。

自然數(shù)也被稱為歐拉數(shù)的“e”含于其中。 自然對數(shù)的底、 素數(shù)定理、完全率、阻力落體、粒子運動，大到飛船的速度，小至蝸牛的螺線，都蘊(yùn)含著“e'

而另外一個超越數(shù)，π，大家相比很清楚了，就是圓周率。這兩個超越數(shù)都是歐拉發(fā)明的。

也包含了最重要的運算符號 + ，最重要的關(guān)系符號 = 。而0和1，是構(gòu)造群，環(huán)，域的基本元素，也是構(gòu)造代數(shù)的基礎(chǔ)。 而虛單位 i 使數(shù)軸上的問題擴(kuò)展到了平面，在哈密爾的 4 元數(shù)與 凱萊的 8 元數(shù)中也離開不了它。

所以你明白為什么這個公式非常之復(fù)雜了嗎？也正是因為其涵蓋范圍如此廣泛，如三角函數(shù)、傅里葉級數(shù)、泰勒級數(shù)、概率論、群論等受到了它的影響。它同樣對物理學(xué)影響也非常巨大，如機(jī)械波論、電磁學(xué)、波動光學(xué)以及引發(fā)了電子學(xué)革命的量子力學(xué)的理論基礎(chǔ)也蘊(yùn)含其中。 也將物理學(xué)中的圓周運動、簡諧振動、機(jī)械波、電磁波、概率波等聯(lián)系在了一起......

舉一個例子，你可以使用歐拉公式將三角函數(shù)轉(zhuǎn)換為指數(shù)(由泰勒級數(shù)易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]

cosα=1/2[e^(iα)+e^(-iα)]sinα=-i/2[e^(iα)-e^(-iα)]

泰勒展開有無窮級數(shù)，e^z=exp(z)＝1＋z/1?。珃^2/2?。珃^3/3！＋z^4/4?。珃^n/n！＋… 此時三角函數(shù)定義域已推廣至整個復(fù)數(shù)集?？梢哉f歐拉公式將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到了復(fù)數(shù)域，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”。

還可以把它擴(kuò)展為時間的函數(shù)。（引用至CSDN xieyan0811 ）

加入了t，把e^(ix)想成e^(iwt)，t是時間，w是系數(shù)。把平面上的轉(zhuǎn)圈擴(kuò)展成了空間中的轉(zhuǎn)圈，縱軸表示時間t，兩個橫軸分別為實部(cos(t))和虛部(sin(t))，藍(lán)線經(jīng)過的點是e^ix，即，把時域上的e^ix分別投射到了實軸cos(t)和虛軸sin(t)，它們都是時間t的函數(shù)．圖中可看到正余和余弦的投射（紅／綠）。如果用python做3D圖，拖動旋轉(zhuǎn)角度效果更直觀．這就是傅立葉變換原理：將時域值拆分映射到頻域，通過三角函數(shù)的疊加表示。

還有拓?fù)鋵W(xué)里的歐拉公式

v+f-e=x(p)，v是多面體p的頂點個數(shù)，f是多面體p的面數(shù)，e是多面體p的棱的條數(shù),x(p)是多面體p的歐拉示性數(shù)。 如果p可以同胚于一個球面（可以通俗地理解為能吹脹而繃在一個球面上），那么x(p)=2，如果p同胚于一個接有h個環(huán)柄的球面，那么x(p)=2-2h。 x(p)叫做p的歐拉示性數(shù)，是拓?fù)洳蛔兞?，就是無論再怎么經(jīng)過拓?fù)渥冃我膊粫淖兊牧?，是拓?fù)鋵W(xué)研究的范圍。

所以看完之后，你就能知道為什么歐拉公式被譽(yù)為“上帝創(chuàng)造的公式”了吧，很多數(shù)學(xué)家甚至物理學(xué)家都從歐拉公式里得到了啟發(fā)，高斯曾經(jīng)說：“一個人第一次看到這個公式而不感到它的魅力，他不可能成為數(shù)學(xué)家?！?/p>

物理學(xué)家查德·費曼驚呼：歐拉恒等式不但是“數(shù)學(xué)最奇妙的公式”，也是現(xiàn)代物理學(xué)的定量之跟。

只是不知道為數(shù)學(xué)而痛苦的各位，是不是看到這個公式十分氣憤，畢竟很多我們中高考大學(xué)的公式都是受它影響～