1904年，法國數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊提出了一個(gè)與三維空間（“流形”）有關(guān)的關(guān)鍵問題。在龐加萊猜想中，他提出三維球面（可以通過在普通的三維歐幾里得空間的無限遠(yuǎn)處添加一個(gè)點(diǎn)形成）是否是唯一一個(gè)能讓在球面上的環(huán)不斷縮減到一個(gè)點(diǎn)的三維空間。

我們可以通過觀察一個(gè)球（二維球面）和一個(gè)甜甜圈（圓環(huán)面）的邊界來將龐加萊猜想具象化：在二維球面上的任何環(huán)都可以在不離開球面的同時(shí)收縮到一個(gè)點(diǎn)，但如果是一個(gè)繞著甜甜圈上的洞的圓環(huán)，它就不能在不離開甜甜圈表面的情況下進(jìn)行收縮。

人們對龐加萊猜想做了許多嘗試，直到2003年，年輕的俄羅斯數(shù)學(xué)家格里戈里·佩雷爾曼出現(xiàn)了，他公布了一個(gè)絕妙的解決方案。

佩雷爾曼的思想建立在另外兩位杰出數(shù)學(xué)家威廉·瑟斯頓和理查德·漢密爾頓的工作之上。

在20世紀(jì)70年代末，瑟斯頓觀察到，已知的三維空間能以一種自然的方式被分割成小塊，讓每個(gè)小塊都具有統(tǒng)一的幾何形狀。他做了一個(gè)大膽的“幾何化猜想”，認(rèn)為這對所有的三維空間都應(yīng)該適用。這個(gè)幾何化猜想預(yù)言，任何一個(gè)能讓表面的環(huán)收縮到一個(gè)點(diǎn)的三維空間，都應(yīng)該有一個(gè)圓形度規(guī)——它將是一個(gè)三維球體。如果這個(gè)猜想成立，那么龐加萊猜想也隨之成立。

到了1982年，漢密爾頓提出了一種幾何分析的新技術(shù)——里奇流（如上圖所示），他一直在尋找一種流函數(shù)，能讓函數(shù)的能量在達(dá)到最小值之前一直減小，這種流動(dòng)與熱能在材料中的傳播緊密相關(guān)。漢密爾頓認(rèn)為空間的幾何形狀應(yīng)該有類似的流動(dòng)。他指出，對于里奇曲率為正的三維空間，流動(dòng)會(huì)逐漸改變形狀，直到度規(guī)滿足瑟斯頓的這種幾何猜想。

漢密爾頓想到，可以讓空間的形狀在里奇流的作用下不斷演變。他發(fā)現(xiàn)空間可能會(huì)形成一個(gè)奇點(diǎn)，出現(xiàn)一個(gè)變得越來越薄的區(qū)域，直到將空間分裂成兩個(gè)更小的空間。他希望能完全理解這一現(xiàn)象，讓這些空間的“碎片”在里奇流的作用下不斷演化，直到出現(xiàn)瑟斯頓所預(yù)測的那種幾何結(jié)構(gòu)。

就在這時(shí)，佩雷爾曼突然出現(xiàn)了。

佩雷爾曼是一個(gè)年輕有為的數(shù)學(xué)家。在他的職業(yè)生涯中，他曾“莫名的”神隱了將近十年的時(shí)間。當(dāng)他再次出現(xiàn)時(shí)，便宣稱自己完成了漢密爾頓的想法。他上傳了一系列論文到arXiv，這些論文引起了極大的轟動(dòng)。接下來的幾個(gè)月，許多小組開始相繼研究佩雷爾曼的工作。最后，所有人都確信佩雷爾曼確實(shí)成功了，幾何化和龐加萊猜想都得到了解答！

后來的故事相信大多數(shù)人都知道，佩雷爾曼因解決了這一千禧年大獎(jiǎng)難題，而被授予菲爾茲獎(jiǎng)和100萬美元獎(jiǎng)金。但他拒絕了這些榮譽(yù)和獎(jiǎng)賞，寧愿在圣彼得堡過著平靜的生活。但他所作出的成果無疑是這個(gè)時(shí)代最杰出的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)之一。

乘法是我們在小學(xué)時(shí)最早接觸的運(yùn)算之一，而就是這種看似簡單的數(shù)學(xué)，卻隱含著最深?yuàn)W、最持久、最美麗的奧秘。

我們知道，每一個(gè)正整數(shù)都可以寫成是若干個(gè)1的和；但乘法運(yùn)算就沒那么簡單了。例如，數(shù)字12能以超過一種方式寫成兩個(gè)更小的因數(shù)的乘積，但11卻只能寫成1 x 11。12這樣的數(shù)被稱為合數(shù)，而11這樣的只能被自己或1整除的數(shù)被稱為素?cái)?shù)（或質(zhì)數(shù)）。

素?cái)?shù)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的研究對象之一，正如1是整數(shù)加法中的基本原子單位一樣，素?cái)?shù)（1不是素?cái)?shù)）是乘法的基本原子。根據(jù)算術(shù)基本定理，任何大于1的整數(shù)都可以寫成素?cái)?shù)的乘積。

素?cái)?shù)是密碼學(xué)的根基，早在公元前300多年，歐幾里得就證明了素?cái)?shù)有無窮多個(gè)，但直到現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家仍然不知道它們出現(xiàn)的頻率和模式。在歐幾里得的幾十年之后，另一位古希臘數(shù)學(xué)家埃拉托斯特尼所發(fā)現(xiàn)了一種可用于尋找素?cái)?shù)的巧妙方法。

比如若想要找出所有小于100的素?cái)?shù)，我們可以先寫下從2到99的所有整數(shù)，然后劃掉所有2的倍數(shù)（不包括2本身），再劃掉所有3的倍數(shù)（不包括3本身），再劃掉5的倍數(shù)……以此類推。這樣，只需4步，就能得到25個(gè)素?cái)?shù)。

這個(gè)方法現(xiàn)在被稱為埃拉托斯特尼篩法?？雌饋恚@似乎是一個(gè)非常高效易行的方法，但其實(shí)若想要找到非常大的素?cái)?shù)，則需要采用十分復(fù)雜的方法，并且要在計(jì)算機(jī)的幫助下才能實(shí)現(xiàn)。

許多偉大的數(shù)學(xué)家都嘗試過廣泛地研究素?cái)?shù)，但直到今天，關(guān)于素?cái)?shù)仍然是問題多過答案。對于數(shù)學(xué)家來說，關(guān)于素?cái)?shù)的主要挑戰(zhàn)是如何理解它們的分布。沒有人能預(yù)測下一個(gè)素?cái)?shù)將在哪里出現(xiàn)，但與此同時(shí)，素?cái)?shù)又似乎呈現(xiàn)出某種驚人的規(guī)律性：它們精確地受到某一些定律的約束。

素?cái)?shù)定理描述了素?cái)?shù)的平均分布，它指出，比任意整數(shù)字n小的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，大約近似于n除以ln(n)，當(dāng)n變得越大，這個(gè)近似的相對誤差就會(huì)任意變小。在描述素?cái)?shù)分布的方面，素?cái)?shù)定理做得很好，但數(shù)學(xué)家希望能更好地理解相對誤差，由此便引出了數(shù)學(xué)中最著名的開放性問題：黎曼假設(shè)。

1859年，黎曼在一篇論文中提出要如何收緊素?cái)?shù)定理，從而控制相對誤差。

在預(yù)測素?cái)?shù)方面，黎曼假設(shè)不僅僅是比素?cái)?shù)定理“做得更好”，而是幾乎可以說“盡善盡美”。雖然黎曼假設(shè)的目的是為了理解素?cái)?shù)的規(guī)律，但它需要運(yùn)用到非常高等復(fù)雜的數(shù)學(xué)?，F(xiàn)在，計(jì)算機(jī)已經(jīng)驗(yàn)證了這一猜想對大到數(shù)以萬億計(jì)的素?cái)?shù)來說都成立，但我們還是缺少一個(gè)真正的證明來表明——這種模式適用于所有可能的素?cái)?shù)。

去年，已故著名數(shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞向這個(gè)猜想發(fā)起了他最后的挑戰(zhàn)，但并未成功。希爾伯特曾說：“如果我在沉睡了一千年后醒來，我的第一個(gè)問題將是‘黎曼假說是否得到了證實(shí)?’”

人類在20世紀(jì)作出的一項(xiàng)杰出突破就是發(fā)現(xiàn)了物理世界中的量子行為。在非常小的尺度內(nèi)，世界的運(yùn)轉(zhuǎn)與我們熟悉的“經(jīng)典”世界非常不同。波粒二象性是量子世界的一個(gè)典型特征：一個(gè)粒子（比如電子）既可以表現(xiàn)得像是具有特定位置的粒子，也可以表現(xiàn)得像是可以散開的波。這種奇怪的現(xiàn)象不僅具有理論意義，還是許多現(xiàn)代技術(shù)的基礎(chǔ)。

量子理論是一種基礎(chǔ)理論，它不僅要能主宰非常小的領(lǐng)域，還要能支配經(jīng)典領(lǐng)域。這意味著物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家不僅要開發(fā)出理解新的量子現(xiàn)象的方法，還要開發(fā)出相應(yīng)的能取代經(jīng)典理論的量子方法。

這個(gè)過程被稱為量子化。當(dāng)我們具有有限的自由度時(shí)，比如一個(gè)有限的粒子集合，那么我們可以用量子力學(xué)來應(yīng)對量子化。但是當(dāng)研究電場和磁場時(shí)，情況就復(fù)雜得多了，我們會(huì)有無限個(gè)自由度。隨著量子場論的發(fā)展，物理學(xué)已經(jīng)取得了一些我們從數(shù)學(xué)角度無法完全理解的進(jìn)展。

問題出在哪？

許多場論屬于規(guī)范場論的范疇，規(guī)范場論中有一系列作用于場和粒子的特殊對稱性，稱為規(guī)范群。在這些對稱性對易的情況下（即所謂的阿貝爾規(guī)范場論），我們對量子化有了合理的理解。對于電磁場和量子電動(dòng)力學(xué)，這一理論都作出了驚人的準(zhǔn)確預(yù)測。

歷史上出現(xiàn)的第一個(gè)非阿貝爾理論的例子是電弱相互作用理論，它需要一種能使自然界中的粒子具有質(zhì)量的機(jī)制。這涉及到后來在歐洲核子研究中心找到的希格斯玻色子。這一理論的顯著特點(diǎn)是希格斯機(jī)制是經(jīng)典的，并在量子化過程中延續(xù)到量子理論。

因此，“楊-米爾斯存在性和質(zhì)量間隙”這一千禧年大獎(jiǎng)難題所感興趣的楊-米爾斯規(guī)范論，是一種非阿貝爾規(guī)范論，我們希望用它來描述夸克和強(qiáng)核力。正是在此處，我們遇到了經(jīng)典理論和量子理論之間的沖突。

而這個(gè)問題則是要試圖通過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)來確定“質(zhì)量間隙”的存在，也就是說，在楊-米爾斯論中不存在無質(zhì)量的粒子。

很明顯，物理學(xué)家對此很感興趣，但數(shù)學(xué)家為什么也認(rèn)為它重要呢？在過去的幾十年里，物理學(xué)家為量子場論開發(fā)的工具（尤其是路徑積分）對幾何和拓?fù)渥龀隽司_的預(yù)測。但我們并不知道在數(shù)學(xué)上路徑積分是什么，除了在一些非常簡單的情況下。而且在幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)中，我們也能用物理學(xué)家在量子場論中發(fā)展的一些方法進(jìn)行不嚴(yán)格的計(jì)算而得出正確答案。這表明有一些強(qiáng)大的技術(shù)仍有待發(fā)現(xiàn)。

因此，這個(gè)問題的解決方案將使人們了解這些新的技術(shù)是什么。        

納維-斯托克斯方程（NS方程）對我們理解我們所生活的這個(gè)物理世界有著根本性的關(guān)系。這個(gè)猜想探索的是NS方程解的存在性與光滑性。

NS方程被用來描述流體的行為，例如流出水龍頭的水，或流過飛機(jī)機(jī)翼的氣流。從物理學(xué)的角度，這些方程運(yùn)作良好；但在數(shù)學(xué)家心中，它們的數(shù)學(xué)合理性卻一直存疑。他們想知道，有沒有可能在某些情況下，這些方程會(huì)出現(xiàn)故障，產(chǎn)生不正確的答案，或者根本無法給出任何答案。

我們可以把NS方程（如上圖所示方程）看作是牛頓第二定律的流體版本。在牛頓第二定律中，作用在物體身上的力 = 質(zhì)量 × 加速度。對應(yīng)于流體來說，在等式左邊的是密度和加速度，或者說是流體粒子的速度隨時(shí)間的變化；右邊是壓強(qiáng)的變化、內(nèi)力的變化，還有作用在流體上的外力的變化。這個(gè)方程將流體速度的變化率與作用于流體上的力聯(lián)系起來。在這里，我們需要對流體施加另一個(gè)物理約束，那就是質(zhì)量守恒！即流體既不可以被創(chuàng)造也不會(huì)從系統(tǒng)中消失。

關(guān)于NS方程的這一難題可以被分為兩個(gè)部分：第一個(gè)是關(guān)于方程解的存在性；第二個(gè)是關(guān)于這些解是否有邊界（是有限的值）。

第一個(gè)部分說的是，對于一個(gè)數(shù)學(xué)模型來說，無論它多么復(fù)雜，若要想代表這個(gè)物理世界，那么它首先必須有解。乍一看，你可能會(huì)想，如果我們都不能確定這些方程是否有解，為什么還在用它們呢？其實(shí)在實(shí)踐中，這些方程為流體的運(yùn)動(dòng)提供了許多很好的預(yù)測，但是這些解是NS方程的完整解的近似值。而之所以會(huì)產(chǎn)生近似值，是因?yàn)槲覀兺ǔ]有簡單的數(shù)學(xué)公式可用，只能用計(jì)算機(jī)進(jìn)行近似的數(shù)值計(jì)算以求解這些方程。雖然我們非常自信這些近似解是正確的，卻缺乏一個(gè)能正式地表明解確實(shí)存在的數(shù)學(xué)證明。

第二部分則需要探討這些方程的解是否會(huì)出現(xiàn)奇點(diǎn)（或者說無窮大）。這個(gè)問題為什么重要？我們相信，NS方程描述了流體在很多情況下的運(yùn)動(dòng)，但如果存在一個(gè)奇點(diǎn)則表明我們可能漏掉了某些重要的、尚未可知的物理學(xué)。流體力學(xué)的歷史充滿了簡化版的NS方程的解，這些方程產(chǎn)生奇異解。在這種情況下，奇異的解往往暗示著一些以前在簡化模型中沒有考慮過的物理現(xiàn)象。識(shí)別出這種新的物理現(xiàn)象促使著研究人員進(jìn)一步地完善他們的數(shù)學(xué)模型，從而提高模型與現(xiàn)實(shí)之間的一致性。

所以，對存在性和光滑性問題的追問是為了讓我們徹底地明白在物理世界里真正發(fā)生了什么。許多數(shù)學(xué)家都嘗試過尋找這個(gè)問題的答案，但都以失敗告終。一些物理學(xué)家認(rèn)為，對強(qiáng)耦合的理解的新進(jìn)展，或許會(huì)有助于破解NS方程。

橢圓曲線有著悠久的歷史，它們存在于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的許多分支中，并且被廣泛地應(yīng)用于密碼學(xué)。我們可以用一個(gè)三次方程來描述這些曲線。

方程中，A和B為固定的有理數(shù)。比如當(dāng)我們將這兩個(gè)常數(shù)分別設(shè)定為A = -1和 B = 0時(shí)，就會(huì)得到一張這樣的圖：

這時(shí)你可能就會(huì)發(fā)現(xiàn)，盡管它們名為“橢圓曲線”，但其實(shí)它們和橢圓并沒有什么關(guān)系。造成這種迷思的原因在于這些曲線與橢圓積分有很強(qiáng)的聯(lián)系，而橢圓積分是在描述行星在空間中的運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的。

在古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的著作《算術(shù)》中，他概述了許多求解多元多項(xiàng)式方程的工具，并以他的名字將它們命名為丟番圖方程。丟番圖考慮的一個(gè)主要問題是找到有理數(shù)Q域中的一個(gè)特定多項(xiàng)式方程的所有的解。對于如圓、橢圓、拋物線、雙曲線等二次方程來說，我們已經(jīng)有了這個(gè)問題的完整答案。

類似的，對于橢圓曲線E來說，我們的問題就變成了要找到所有滿足定義了E的方程的所有有理解(x, y)。如果我們將這些解稱為點(diǎn)集E(Q)，那么我們想知道的是，是否存在存在一種算法，可以讓我們獲得屬于E(Q)的所有點(diǎn)(x, y)。

這時(shí)，我們需要引入一個(gè)規(guī)定，使我們能以一種奇怪的方式將橢圓曲線上的兩個(gè)點(diǎn)融合在一起，得到一個(gè)全新的點(diǎn)。這個(gè)過程類似于數(shù)字的相加或相減。

數(shù)學(xué)家莫德爾是第一個(gè)求出這組有理點(diǎn)的結(jié)構(gòu)的人。1922年，他證明了

其中，整數(shù)Z的數(shù)量被稱為r(E)，即“橢圓曲線E的秩”。

數(shù)學(xué)家會(huì)用一類名為L-函數(shù)的方程來研究橢圓曲線的行為。貝赫和斯維訥通-戴爾猜想說的是，如果橢圓曲線上有無窮多個(gè)解，那么它的L函數(shù)在某些點(diǎn)上應(yīng)該等于0。如果能夠證明這是正確的，將能讓數(shù)學(xué)家們更深入地研究這類方程，盡管它們可能并沒有太多實(shí)際應(yīng)用。

文：萌大統(tǒng)領(lǐng) / 圖：岳岳