提到'無(wú)窮小'，想必很多人對(duì)它的印象還停留在中學(xué)時(shí)老師教授的概念：以數(shù)0為極限的變量，無(wú)限接近于0。

或許很多人會(huì)心存疑問(wèn)：這樣一個(gè)大家再平常不過(guò)的概念，又有什么值得特別言說(shuō)之處呢？事實(shí)上，只要稍加了解數(shù)學(xué)歷史，尤其是微積分發(fā)展歷史，就能知道這個(gè)小小概念對(duì)于整個(gè)近代數(shù)學(xué)的發(fā)展，甚至現(xiàn)代科技的發(fā)展有著至關(guān)重要的作用。

無(wú)窮小是分析學(xué)中的重要概念，在十七、十八世紀(jì)微積分誕生初期，數(shù)學(xué)家們對(duì)無(wú)窮小的觀點(diǎn)各持己見(jiàn)：無(wú)窮小究竟是不是零？無(wú)窮小及其分析是否合理？由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長(zhǎng)達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭(zhēng)論，造成了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。

實(shí)際上，早在微積分發(fā)明之前，無(wú)窮小就已經(jīng)在歐洲學(xué)術(shù)界掀起'血雨腥風(fēng)'，擁有迥然不同的宗教和政治背景的歐洲思想家和學(xué)者們，都曾經(jīng)不知疲倦地圍繞'無(wú)窮小'這一概念爭(zhēng)論不休，甚至做激烈斗爭(zhēng)。這場(chǎng)斗爭(zhēng)的知名度雖然遠(yuǎn)不如后來(lái)牛頓與萊布尼茨就'微積分之父'的名號(hào)之爭(zhēng)，但論激烈程度，完全不亞于后者。

'無(wú)窮小'的思想實(shí)際上最初是在哲學(xué)范圍內(nèi)提出的。

公元前6世紀(jì)，畢達(dá)哥拉斯及其追隨者聲稱(chēng)'萬(wàn)物皆數(shù)'，意思是說(shuō)，世界上的所有事物都可以用整數(shù)或者整數(shù)的比值來(lái)進(jìn)行描述。公元前5世紀(jì)，阿布德拉的德謨克利特用無(wú)窮小計(jì)算了圓錐體和圓柱體的體積。接著，埃利亞的芝諾提出了若干悖論，說(shuō)明無(wú)窮小會(huì)導(dǎo)致邏輯上的矛盾。

芝諾最著名的悖論之一是'阿喀琉斯追烏龜'。阿喀琉斯是古希臘神話中善跑的英雄，在他和烏龜?shù)母?jìng)賽中，他的速度為烏龜?shù)?0倍，烏龜在他前面100米開(kāi)始跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜——因?yàn)樵诟?jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿喀琉斯追到100米時(shí)，烏龜已經(jīng)又向前爬了10米，于是，一個(gè)新的起點(diǎn)產(chǎn)生了；阿喀琉斯必須繼續(xù)追，而當(dāng)他追到烏龜爬的這10米時(shí)，烏龜又已經(jīng)向前爬了1米，阿喀琉斯只能再追向那個(gè)1米。就這樣，烏龜會(huì)制造出無(wú)窮個(gè)起點(diǎn)，它總能在起點(diǎn)與自己之間制造出一個(gè)距離，不管這個(gè)距離有多小，但只要烏龜不停地奮力向前爬，阿喀琉斯就永遠(yuǎn)也追不上烏龜。然而，我們憑經(jīng)驗(yàn)可以得知，阿喀琉斯會(huì)追上烏龜，從而導(dǎo)致了一個(gè)悖論。