10電磁感應(yīng)

既然是要做實(shí)驗(yàn)看磁如何生電，那首先肯定得有一個(gè)磁場(chǎng)。這個(gè)簡(jiǎn)單，找兩塊N極和S極相對(duì)的磁鐵，這樣它們之間就會(huì)有一個(gè)磁場(chǎng)。我再拿一根金屬棒來(lái)，看看它有沒(méi)有辦法從磁場(chǎng)中弄出電來(lái)。因?yàn)榻饘侔羰菍?dǎo)電的，所以我把它用導(dǎo)線跟一個(gè)檢測(cè)電流的儀器連起來(lái)，如果儀器檢測(cè)到了電流，那就說(shuō)明磁生電成功了。

法拉第做了很多這樣的實(shí)驗(yàn)，他發(fā)現(xiàn)：你金屬棒放在那里不動(dòng)，是不會(huì)產(chǎn)生電流的（這是自然，否則你就是憑空產(chǎn)生了電，能量就不守恒了。你要這樣能發(fā)電，那我買塊磁鐵回家，就永遠(yuǎn)不用再交電費(fèi)了）。

然后，他發(fā)現(xiàn)金屬棒在那里動(dòng)的時(shí)候，有時(shí)候能產(chǎn)生電流，有時(shí)候不能產(chǎn)生，你要是順著磁感線的方向運(yùn)動(dòng)（在上圖就是左右運(yùn)動(dòng)）就沒(méi)有電流，但是你要是做切割磁感線的運(yùn)動(dòng)（在上圖就是上下運(yùn)動(dòng)）它就能產(chǎn)生電流。打個(gè)通俗的比喻：如果把磁感線想象成一根根面條，你只有把面條（磁感線）切斷了才會(huì)產(chǎn)生電流。

再然后，他發(fā)現(xiàn)金屬棒在磁場(chǎng)里不動(dòng)雖然不會(huì)產(chǎn)生電流，但是如果這時(shí)候我改變一下磁場(chǎng)的強(qiáng)度，讓磁場(chǎng)變強(qiáng)或者變?nèi)跻恍?，即便金屬棒不?dòng)也會(huì)產(chǎn)生電流。

法拉第仔細(xì)總結(jié)了這些情況，他發(fā)現(xiàn)不管是金屬棒運(yùn)動(dòng)切割磁感線產(chǎn)生電流，還是磁場(chǎng)強(qiáng)度變化產(chǎn)生電流，都可以用一個(gè)通用的方式來(lái)表達(dá)：只要閉合回路的磁通量發(fā)生了改變，就會(huì)產(chǎn)生電流。我們想想，磁通量是磁場(chǎng)強(qiáng)度B和面積a的乘積（B·a），我切割磁感線其實(shí)是相當(dāng)于改變了磁感線通過(guò)回路的面積a，改變磁場(chǎng)強(qiáng)度就是改變了B。不管我是改變了a還是B，它們的乘積B·a（磁通量）肯定都是要改變的。

也就是說(shuō)：只要通過(guò)曲面（我們可以把閉合回路當(dāng)作一個(gè)曲面）的磁通量發(fā)生了改變，回路中就會(huì)產(chǎn)生電流，而且磁通量變化得越快，這個(gè)電流就越大。

到了這里，我們要表示通過(guò)一個(gè)曲面的磁通量應(yīng)該已經(jīng)輕車熟路了。磁通量是B·a，那么通過(guò)一個(gè)曲面S的磁通量給它套一個(gè)積分符號(hào)就行了。于是，通過(guò)曲面S磁通量可以寫成下面這樣：

細(xì)心的同學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)表達(dá)式跟我們高斯磁場(chǎng)定律里磁通量部分稍微有點(diǎn)不一樣，高斯磁場(chǎng)定律里的積分符號(hào)（拉長(zhǎng)的S）中間有一個(gè)圓圈，我們這里卻沒(méi)有。高斯磁場(chǎng)定律說(shuō)“閉合曲面的磁通量恒為0”，那里的曲面是閉合曲面，所以有圓圈。而我們這里的曲面并不是閉合曲面（我們是把電路回路當(dāng)成一個(gè)曲面，考慮通過(guò)這個(gè)回路的磁通量），也不能是閉合曲面。因?yàn)榉ɡ诰褪前l(fā)現(xiàn)了“通過(guò)一個(gè)曲面的磁通量有變化就會(huì)產(chǎn)生電流”，如果這是閉合曲面，那根據(jù)高斯磁場(chǎng)定律它的磁通量恒為0，恒為0那就是沒(méi)有變化，沒(méi)變化按照法拉第的說(shuō)法就沒(méi)有電流，那還生什么電？

所以，我們要搞清楚，我們這里不再是討論閉合曲面的磁通量，而是一個(gè)非閉合曲面的磁通量，這個(gè)磁通量發(fā)生了改變就會(huì)產(chǎn)生電流，而且變化得越快產(chǎn)生的電流就越大。上面的式子給出的只是通過(guò)一個(gè)曲面S的磁通量，但是我們看到了最終決定電流大小的并不是通過(guò)曲面的磁通量的大小，而是磁通量變化的快慢。那么這個(gè)變化的快慢我們要怎么表示呢？

我們先來(lái)看看我們是怎么衡量快慢的。比如身高，一個(gè)人在十二三歲的時(shí)候一年可以長(zhǎng)10厘米，我們說(shuō)他這時(shí)候長(zhǎng)得快；到了十七八歲的時(shí)候可能一年就長(zhǎng)1厘米，我們就說(shuō)他長(zhǎng)得慢。也就是說(shuō)，我們衡量一個(gè)量（假設(shè)身高用y表示）變化快慢的方法是：給定一個(gè)變化的時(shí)間dt（比如一年，或者更?。?，看看這個(gè)量的變化dy是多少，如果這個(gè)量的變化很大我們就說(shuō)它變化得很快，反之則變化得慢。

因此，我們可以用這個(gè)量的變化dy和給定的時(shí)間dt的比值dy/dt來(lái)衡量量這個(gè)量y變化的快慢。所以，我們現(xiàn)在要衡量磁通量變化的快慢，那就只需要把磁通量的表達(dá)式替換掉上面的y就行了，那么通過(guò)曲面S的磁通量變化的快慢就可以這樣表示：

這樣，我們就把磁生電這個(gè)過(guò)程中磁的這部分說(shuō)完了，那么電呢？一個(gè)閉合回路（曲面）的磁通量有變化就會(huì)產(chǎn)生電，那這種電要怎么描述？

11電場(chǎng)的環(huán)流

可能有人覺(jué)得磁通量的變化不是在回路里產(chǎn)生了電流么，那么我直接用電流來(lái)描述這種電不就行了么？不行，我們的實(shí)驗(yàn)里之所以有電流，是因?yàn)槲覀冇脤?dǎo)線把金屬棒連成了一個(gè)閉合回路，如果我們沒(méi)有用導(dǎo)線去連金屬棒呢？那肯定就沒(méi)有電流了。

所以，電流并不是最本質(zhì)的東西，那個(gè)最本質(zhì)的東西是電場(chǎng)。一個(gè)曲面的磁通量發(fā)生了變化，它就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出一個(gè)電場(chǎng)，然后這個(gè)電場(chǎng)會(huì)驅(qū)動(dòng)導(dǎo)體中的自由電子定向移動(dòng)，從而形成電流。因此，就算沒(méi)有導(dǎo)線沒(méi)有電流，這個(gè)電場(chǎng)依然存在。所以，我們要想辦法描述的是這個(gè)被感生出來(lái)的電場(chǎng)。

首先，一個(gè)曲面的磁通量發(fā)生了改變，就會(huì)在在曲面的邊界感應(yīng)出一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)是環(huán)繞著磁感線的，就像是磁感線的腰部套了一個(gè)呼啦圈。而且，你這個(gè)磁通量是增大還是減小，決定了這個(gè)電場(chǎng)是順時(shí)針環(huán)繞還是逆時(shí)針環(huán)繞，如下圖：

如果我們從上往下看的話，這個(gè)成閉環(huán)的感生電場(chǎng)就是如下圖所示：它在這個(gè)閉環(huán)每點(diǎn)的方向都不一樣，這樣就剛好可以沿著回路驅(qū)動(dòng)帶電粒子，好像是電場(chǎng)在推著帶電粒子在這里環(huán)里流動(dòng)一樣。

這里，我們就要引入一個(gè)新的概念：電場(chǎng)環(huán)流，電場(chǎng)的環(huán)流就是電場(chǎng)沿著閉合路徑的線積分。這里有兩個(gè)關(guān)鍵詞：閉合路徑和線積分。閉合路徑好說(shuō)，你只有路徑是閉合的，才是一個(gè)環(huán)嘛，感生電場(chǎng)也是一個(gè)環(huán)狀的電場(chǎng)。

電場(chǎng)的線積分是什么意思呢？因?yàn)槲覀儼l(fā)現(xiàn)這個(gè)感生電場(chǎng)是一個(gè)環(huán)狀電場(chǎng)，它在每一個(gè)點(diǎn)的方向都不一樣。但是，我們依然可以發(fā)動(dòng)微積分的思想：這個(gè)電場(chǎng)在大范圍內(nèi)（比如上面的整個(gè)圓環(huán)）方向是不一樣的，但是，如果在圓環(huán)里取一個(gè)非常小的段dl，電場(chǎng)E就可以看做是一個(gè)恒定的了，這時(shí)候E·dl就是有意義的了。然后把這個(gè)環(huán)上所有部分的E·dl都累加起來(lái)，也就是沿著這個(gè)圓環(huán)逐段把E·dl累加起來(lái)，這就是對(duì)電場(chǎng)求線積分。而這個(gè)線積分就是電場(chǎng)環(huán)流，用符號(hào)表示就是這樣：

積分符號(hào)下面的C表示這是針對(duì)曲線進(jìn)行積分，不同于我們前面的面積分（下標(biāo)為S），積分符號(hào)中間的那個(gè)圓圈就表示這個(gè)是閉合曲線（電場(chǎng)形成的圓環(huán)）。如果大家已經(jīng)熟悉了前面曲面通量的概念，我想這里要理解電場(chǎng)在曲線上的積分（即電場(chǎng)環(huán)流）并不難。

這個(gè)電場(chǎng)環(huán)流有什么物理意義呢？它就是我們常說(shuō)電動(dòng)勢(shì)，也就是電場(chǎng)對(duì)沿著這條路徑移動(dòng)的單位電荷所做的功。我這里并不想就這個(gè)問(wèn)題再做深入的討論，大家只要直觀的感覺(jué)一下就行了。你想想這個(gè)電場(chǎng)沿著這個(gè)回路推動(dòng)電荷做功（電場(chǎng)沿著回路推著電荷走，就像一個(gè)人拿著鞭子抽磨磨的驢），這就是電場(chǎng)環(huán)流要傳遞的概念。而用這個(gè)概念來(lái)描述變化的磁產(chǎn)生的電是更加合適的，它既包含了感生電場(chǎng)的大小信息，也包含了方向信息。

12方程三：法拉第定律

所以，麥克斯韋方程組的第三個(gè)方程——法拉第定律的最后表述就是這樣的：曲面的磁通量變化率等于感生電場(chǎng)的環(huán)流。用公式表述就是這樣：

方程右邊的磁通量的變化率和和左邊的感生電場(chǎng)環(huán)流我們上面都說(shuō)了，還有一個(gè)需要說(shuō)明的地方就是公式右邊的這個(gè)負(fù)號(hào)。為什么磁通量的變化率前面會(huì)有個(gè)負(fù)號(hào)呢？

我們想想，法拉第定律說(shuō)磁通量的變化會(huì)感生出一個(gè)電場(chǎng)出來(lái)，但是我們別忘了奧斯特的發(fā)現(xiàn)：電流是有磁效應(yīng)的。也就是說(shuō)，磁通量的變化會(huì)產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)，這個(gè)電場(chǎng)它自己也會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)，那么也就有磁通量。那么，你覺(jué)得這個(gè)感生電場(chǎng)產(chǎn)生的磁通量跟原來(lái)磁場(chǎng)的磁通量的變化會(huì)有什么關(guān)系？

假如原來(lái)的磁通量是增加的，那么這個(gè)增加的磁通量感生出來(lái)的電場(chǎng)產(chǎn)生的磁通量是跟原來(lái)方向相同還是相反？仔細(xì)想想你就會(huì)發(fā)現(xiàn)，答案必然是相反。如果原來(lái)的磁通量是增加的，你感生出來(lái)的電場(chǎng)產(chǎn)生的磁通量還跟它方向相同，這樣不就讓原來(lái)的磁通量增加得更快了么？增加得更快，按照這個(gè)邏輯就會(huì)感生出更強(qiáng)大的電場(chǎng)，產(chǎn)生更大的與原來(lái)方向相同的磁通量，然后又導(dǎo)致原來(lái)的磁通量增加得更快……

然后你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限循環(huán)下去，永遠(yuǎn)沒(méi)有盡頭，這樣慢慢感生出無(wú)限大的電場(chǎng)和磁通量，這肯定是不可能的。所以，為了維持一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定，你原來(lái)的磁通量是增加的，我感生電場(chǎng)產(chǎn)生的磁通量就必然要讓原來(lái)的磁通量減小，反之亦然。這就是楞次定律的內(nèi)容，中學(xué)的時(shí)候老師會(huì)編一些口訣讓你記住它的內(nèi)容，但是我想讓你知道這是一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)自然而然的要求。楞次定律背后還有一些更深層次的原因，這里我們暫時(shí)只需要知道這是法拉第定律那個(gè)負(fù)號(hào)的體現(xiàn)就行了。

到這里，我們就把麥克斯韋方程組的第三個(gè)方程——法拉第定律的內(nèi)容講完了，它刻畫(huà)了變化的磁通量如何產(chǎn)生電場(chǎng)的過(guò)程。但是，我們上面也說(shuō)了，我們這里的磁通量變化包含了兩種情況：導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的磁通量變化和磁場(chǎng)變化導(dǎo)致的磁通量變化。這兩種情況其實(shí)是不一樣的，但是它們居然又可以用一個(gè)統(tǒng)一的公式來(lái)表達(dá)，這其實(shí)是非常不自然的，當(dāng)時(shí)的人們也只是覺(jué)得這是一種巧合罷了，但是愛(ài)因斯坦卻不認(rèn)為這是一種巧合，而是大自然在向我們暗示什么，他最終從這里發(fā)現(xiàn)了狹義相對(duì)論，有興趣的同學(xué)可以這里思考一下。

也因?yàn)檫@兩種情況不一樣，所以，法拉第定律還有另外一個(gè)版本：它把這兩種情況做了一個(gè)區(qū)分，認(rèn)為只有磁場(chǎng)變化導(dǎo)致的磁通量變化才是法拉第定律，前面導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致的磁通量變化只是通量法則。所以我們有時(shí)候就會(huì)看到法拉第定律的另一個(gè)版本：

對(duì)比一下這兩個(gè)法拉第定律，我們發(fā)現(xiàn)后面這個(gè)只是把那個(gè)變化率從原來(lái)的針對(duì)整個(gè)磁通量移到了只針對(duì)磁場(chǎng)強(qiáng)度B（因?yàn)锽不是只跟時(shí)間t有關(guān)，還可以跟其它的量有關(guān)，所以我們這里必須使用對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)的符號(hào)?B/?t），也就是說(shuō)它只考慮變化磁場(chǎng)導(dǎo)致的磁通量變化。這種形式跟我們后面要說(shuō)的法拉第定律的微分形式對(duì)應(yīng)得更好，這個(gè)后面大家會(huì)體會(huì)到。

磁生電的過(guò)程我們先講這么多，最后我們來(lái)看看電生磁的情況?？赡苡行┤藭?huì)覺(jué)得我這個(gè)出場(chǎng)次序有點(diǎn)奇怪：明明是奧斯特先發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，大概十年后法拉第才發(fā)現(xiàn)了磁如何生電，為什么你卻要先講磁生電的法拉第定律，最后講電生磁呢？

13安培環(huán)路定理

確實(shí)，是奧斯特首先爆炸性地發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)了原來(lái)電和磁之間并不是毫無(wú)關(guān)系的。

如上圖，假設(shè)電流從下往上，那么它在周圍就會(huì)產(chǎn)生這樣一個(gè)環(huán)形的磁場(chǎng)。磁場(chǎng)的方向可以用所謂的右手定則直觀的判斷：手握著導(dǎo)線，拇指指向電流的方向，那么你右手四指彎曲的方向就是磁場(chǎng)B的方向。

然后畢奧、薩伐爾和安培等人立馬著手定量的研究電流的磁效應(yīng)，看看一定大小的電流在周圍產(chǎn)生的磁場(chǎng)的大小是怎樣的。于是，我們就有了描述電流磁效應(yīng)的畢奧-薩伐爾定律和安培環(huán)路定理。其中，畢奧-薩伐爾定律就類似于庫(kù)倫定律，安培環(huán)路定理就類似于高斯電場(chǎng)定律，因?yàn)樵邴溈怂鬼f方程組里，我們使用的是后一套語(yǔ)言，所以我們這里就只來(lái)看看安培環(huán)路定理：

安培環(huán)路定理的左邊跟法拉第定律的左邊很相似，這是很顯然的。因?yàn)榉ɡ诙烧f(shuō)磁通量的變化會(huì)在它周圍產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的電場(chǎng)，而電流的磁效應(yīng)也是在電流的周圍產(chǎn)生一個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的磁場(chǎng)。在上面我們已經(jīng)說(shuō)了我們是用電場(chǎng)環(huán)流（也就是電場(chǎng)在閉合路徑的線積分）來(lái)描述這個(gè)旋轉(zhuǎn)閉合的電場(chǎng)，那我們這里一樣使用磁場(chǎng)環(huán)流（磁場(chǎng)在閉合路徑的線積分）來(lái)描述這種旋轉(zhuǎn)閉合的磁場(chǎng)。

安培環(huán)路定理的右邊就比較簡(jiǎn)單了，μ0是個(gè)常數(shù)（真空磁導(dǎo)率），不用管它。I通常是用來(lái)表示電流的，enc這個(gè)右標(biāo)我們?cè)诟咚闺妶?chǎng)定律那里已經(jīng)說(shuō)過(guò)了，它是包含的意思。所以，右邊這個(gè)帶enc的電流I就表示被包含在閉合路徑里的總電流，哪個(gè)閉合路徑呢？那自然就是你左邊積分符號(hào)中間那個(gè)圈圈表示的閉合路徑了。

也就是說(shuō)，安培環(huán)路定理其實(shí)是在告訴我們：通電導(dǎo)線周圍會(huì)產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，你可以在這個(gè)電流周圍隨便畫(huà)一個(gè)圈，那么這個(gè)磁場(chǎng)的環(huán)流（沿著這個(gè)圈的線積分）就等于這個(gè)圈里包含的電流總量乘以真空磁導(dǎo)率。

那么，這樣就完了么？靜電、靜磁分別由兩個(gè)高斯定律描述，磁生電由法拉第定律描述，電生磁就由安培環(huán)路定理描述？

不對(duì)，我們看看安培環(huán)路定理，雖然它確實(shí)描述了電生磁，但是它這里的電僅僅是電流（定理右邊只有電流一項(xiàng)）。難道一定要有電流才會(huì)產(chǎn)生磁？電磁感應(yīng)被發(fā)現(xiàn)的原因就是看到奧斯特發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)電能生磁，所以人們秉著對(duì)稱性的原則，覺(jué)得既然電能夠生磁，那么磁也一定能夠生電。那么，繼續(xù)秉著這種對(duì)稱性，既然法拉第定律說(shuō)“變化的磁通量能夠產(chǎn)生電”，那么，我們實(shí)在有理由懷疑：變化的電通量是不是也能產(chǎn)生磁呢？

14方程四：安培-麥克斯韋定律

那么，為什么描述電生磁的安培環(huán)路定理里卻只有電流產(chǎn)生磁，而沒(méi)有變化的電通量產(chǎn)生磁這一項(xiàng)呢？難道當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們沒(méi)意識(shí)到這種對(duì)稱性么？當(dāng)然不是，當(dāng)時(shí)的科學(xué)家們也想從實(shí)驗(yàn)里去找到電通量變化產(chǎn)生磁場(chǎng)的證據(jù)，但是他們并沒(méi)有找到。沒(méi)有找到依然意味著有兩種可能：不存在或者目前的實(shí)驗(yàn)精度還發(fā)現(xiàn)不了它。

如果你是當(dāng)時(shí)的科學(xué)家，面對(duì)這種情況你會(huì)作何選擇？如果你因?yàn)閷?shí)驗(yàn)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)它就認(rèn)為它不存在，這樣未免太過(guò)保守。但是，如果你僅僅因?yàn)殡姶胖g的這樣一種對(duì)稱性（而且還不是非常對(duì)稱，因?yàn)榇笞匀焕锏教幊錆M了獨(dú)立的電荷，卻沒(méi)有單獨(dú)的磁單極子）就斷定“電通量的變化也一定會(huì)產(chǎn)生磁”這樣未免太過(guò)草率。這種時(shí)候就是真正考驗(yàn)一個(gè)科學(xué)家能力和水平的時(shí)候了。

麥克斯韋選擇了后者，也就是說(shuō)麥克斯韋認(rèn)為“變化的電通量也能產(chǎn)生磁”，但是他并不是隨意做了一個(gè)二選一的選擇，而是在他的概念模型里發(fā)現(xiàn)必須加入這樣一項(xiàng)。而且，只有加上了這樣一項(xiàng)，修正之后的安培環(huán)路定理才能跟高斯電場(chǎng)定律、高斯磁場(chǎng)定律、法拉第定律融洽相處，否則他們之間會(huì)產(chǎn)生矛盾（這個(gè)矛盾我們?cè)诤竺娴奈⒎制镌僬f(shuō)）。麥克斯韋原來(lái)的模型太過(guò)復(fù)雜，我這里就不說(shuō)了，這里我用一個(gè)很簡(jiǎn)單的例子告訴大家為什么必須要加入“變化的電通量也能產(chǎn)生磁”這一項(xiàng)。

在安培環(huán)路定理里，我們可以隨意選一個(gè)曲面，然后所有穿過(guò)這個(gè)曲面的電流會(huì)在這個(gè)曲面的邊界上形成一個(gè)環(huán)繞磁場(chǎng)，問(wèn)題的關(guān)鍵就在這個(gè)曲面的選取上。按理說(shuō)，只要你的這個(gè)曲面邊界是一樣的，那么曲面的其他部分就隨便你選，因?yàn)?strong>安培環(huán)路定理坐標(biāo)的磁場(chǎng)環(huán)流只是沿著曲面的邊界的線積分而已，所以它只跟曲面邊界有關(guān)。下面這個(gè)例子就會(huì)告訴你即便曲面邊界一樣，使用安培環(huán)路定理還是會(huì)做出相互矛盾的結(jié)果。

上圖是一個(gè)包含電容器的簡(jiǎn)單電路。電容器顧名思義就是裝電的容器，它可以容納一定量的電荷。一開(kāi)始電容器是空的，當(dāng)我們把開(kāi)關(guān)閉合的時(shí)候，電荷在電池的驅(qū)動(dòng)下開(kāi)始移動(dòng)，移動(dòng)到了電容器這里就走不動(dòng)了（此路不通），然后電荷們就聚集在電容器里。因?yàn)殡娙萜骺梢匀菁{一定量的電荷，所以，當(dāng)電容器還沒(méi)有被占滿的時(shí)候，電荷是可以在電路里移動(dòng)的，電荷的移動(dòng)就表現(xiàn)為電流。

所以，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)我們?cè)诮o電容器充電的時(shí)候，電路上是有電流的，但是電容器之間卻沒(méi)有電流。所以，如果我們選擇上圖的曲面，那么明顯是有電流穿過(guò)這個(gè)曲面，但是，如果我們選擇下面這個(gè)曲面呢（此處圖片來(lái)自《麥克斯韋方程直觀》，需要的可以后臺(tái)回復(fù)“麥克斯韋方程組”）？

這個(gè)曲面的邊界跟上圖一樣，但是它的底卻托得很長(zhǎng)，蓋住了半塊電容器。這是什么意思呢？因?yàn)槲覀冎离娙萜髟诔潆姷臅r(shí)候，電容器里面是沒(méi)有電流的，所以，當(dāng)我們把曲面選擇成下面這個(gè)樣子的時(shí)候，根本就沒(méi)有電流穿過(guò)這個(gè)曲面。

也就是說(shuō)，如果我選上面的曲面，有電流穿過(guò)曲面，按照安培環(huán)路定理，它是肯定會(huì)產(chǎn)生一個(gè)環(huán)繞磁場(chǎng)的。但是，如果我選擇下面的曲面，就沒(méi)有電流通過(guò)這個(gè)曲面，按照安培環(huán)路定理就不會(huì)產(chǎn)生環(huán)繞磁場(chǎng)。而安培環(huán)路定理只限定曲面的邊界，并不管你曲面的其它地方，于是我們就看到這兩個(gè)相同邊界的曲面會(huì)得到完全不同的結(jié)論，這就只能說(shuō)明：安培環(huán)路定理錯(cuò)了，或者至少它并不完善。

我們?cè)賮?lái)想一想，電容器在充電的時(shí)候電路中是有電流的，所以它周圍應(yīng)該是會(huì)產(chǎn)生磁場(chǎng)的。但是，當(dāng)我們選擇下面那個(gè)大口袋形的曲面的時(shí)候，并沒(méi)有電流穿過(guò)這個(gè)曲面。那么，到底這個(gè)磁場(chǎng)是怎么來(lái)的呢？

我們?cè)賮?lái)仔細(xì)分析一下電容器充電的過(guò)程：電池驅(qū)使著電荷不斷地向電容器聚集，電容器中間雖然沒(méi)有電流，但是它兩邊聚集的電荷卻越來(lái)越多。電荷越來(lái)越多的話，在電容器兩個(gè)夾板之間的電場(chǎng)強(qiáng)度是不是也會(huì)越來(lái)越大？電場(chǎng)強(qiáng)度越來(lái)越大的話，有沒(méi)有嗅到什么熟悉的味道？

沒(méi)錯(cuò)，電場(chǎng)強(qiáng)度越來(lái)越大，那么通過(guò)這個(gè)曲面的電通量也就越來(lái)越大。因此，我們可以看到雖然沒(méi)有電流通過(guò)這個(gè)曲面，但是通過(guò)這個(gè)曲面的電通量卻發(fā)生了改變。這樣，我們就可以非常合理地把“變化的電通量”這一項(xiàng)也添加到產(chǎn)生磁場(chǎng)的原因里。因?yàn)檫@項(xiàng)工作是麥克斯韋完成的，所以添加了這一項(xiàng)之后的新公式就是麥克斯韋方程組的第四個(gè)方程——安培-麥克斯韋定律：

把它和安培環(huán)路定理對(duì)比一下，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)它只是在在右邊加了變化的電通量這一項(xiàng)，其它的都原封未動(dòng)。E·a是電通量，套個(gè)面積分符號(hào)就表示通過(guò)曲面S的電通量，再加個(gè)d/dt就表示通過(guò)曲面S電通量變化的快慢。因?yàn)樵谥v法拉第定律的時(shí)候我們?cè)敿?xì)講了通過(guò)曲面磁通量變化的快慢，這里只是把磁場(chǎng)換成了電場(chǎng)，其他都沒(méi)變。

ε0是真空中的介電常數(shù)，把這個(gè)常數(shù)和電通量變化的快慢乘起來(lái)就會(huì)得到一個(gè)跟電流的單位相同的量，它就被稱為位移電流，如下圖：

所以，我們經(jīng)常能夠聽(tīng)到別人說(shuō)麥克斯韋提出了位移電流假說(shuō)。其實(shí)，它的核心就是添加了“變化的電通量也能產(chǎn)生磁場(chǎng)”這一項(xiàng)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)并沒(méi)有實(shí)驗(yàn)?zāi)茏C明這一點(diǎn)，所以只能暫時(shí)稱之為假說(shuō)。在安培環(huán)路定理里添加了這一項(xiàng)之后，新生的安培-麥克斯韋定律就能跟其他的幾條定律和諧相處了。而麥克斯韋之所以能夠從他的方程組里預(yù)言電磁波的存在，這最后添加這項(xiàng)“變化的電通量產(chǎn)生磁場(chǎng)”至關(guān)重要。

因?yàn)槟阆胂?，預(yù)言電磁波的關(guān)鍵就是“變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)，變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)”，這樣變化的磁場(chǎng)和電場(chǎng)就能相互感生傳向遠(yuǎn)方，從而形成電磁波。而變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)，這不就是麥克斯韋添加的這一項(xiàng)的核心內(nèi)容么？電場(chǎng)變了，磁通量變了，于是就產(chǎn)生了磁場(chǎng)。至于麥克斯韋方程組如何推導(dǎo)出電磁波，我后面再專門寫文章解釋，這里知道電磁波的產(chǎn)生跟位移電流的假說(shuō)密切相關(guān)就行了。

15麥克斯韋方程組

至此，麥克斯韋方程組的四個(gè)方程：描述靜電的高斯電場(chǎng)定律、描述靜磁的高斯磁場(chǎng)定律、描述磁生電的法拉第定律和描述電生磁的安培-麥克斯韋定律的積分形式就都說(shuō)完了。把它們都寫下來(lái)就是這樣：

高斯電場(chǎng)定律說(shuō)穿過(guò)閉合曲面的電通量正比于這個(gè)曲面包含的電荷量。

高斯磁場(chǎng)定律說(shuō)穿過(guò)閉合曲面的磁通量恒等于0。

法拉第定律說(shuō)穿過(guò)曲面的磁通量的變化率等于感生電場(chǎng)的環(huán)流。

安培-麥克斯韋定律說(shuō)穿過(guò)曲面的電通量的變化率和曲面包含的電流等于感生磁場(chǎng)的環(huán)流。

我們看到，在這里從始至終都占據(jù)著核心地位的概念就是通量。

如果一個(gè)曲面是閉合的，那么通過(guò)它的通量就是曲面里面某種東西的量度。因?yàn)樽匀唤绱嬖讵?dú)立的電荷，所以高斯電場(chǎng)定律的右邊就是電荷量的大小，因?yàn)槲覀冞€沒(méi)有發(fā)現(xiàn)磁單極子，所以高斯磁場(chǎng)定律右邊就是0。

如果一個(gè)曲面不是閉合的，那么它就無(wú)法包住什么，就不能成為某種荷的量度。但是，一個(gè)曲面如果不是閉合的，它就有邊界，于是我們就可以看到這個(gè)非閉合曲面的通量變化會(huì)在它的邊界感生出某種旋渦狀的場(chǎng)，這種場(chǎng)可以用環(huán)流來(lái)描述。因而，我們就看到了：如果這個(gè)非閉合曲面的磁通量改變了，就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出電場(chǎng)，這就是法拉第定律；如果這個(gè)非閉合曲面的電通量改變了，就會(huì)在這個(gè)曲面的邊界感生出磁場(chǎng)，這就是安培-麥克斯韋定律的內(nèi)容。

所以，當(dāng)我們用閉合曲面和非閉合曲面的通量把這四個(gè)方程串起來(lái)的時(shí)候，你會(huì)發(fā)現(xiàn)麥克斯韋方程組還是很有頭緒的，并不是那么雜亂無(wú)章。閉上眼睛，想象空間中到處飛來(lái)飛去的電場(chǎng)線、磁場(chǎng)線，它們有的從一個(gè)閉合曲面里飛出來(lái)，有的穿過(guò)一個(gè)閉合曲面，有的穿過(guò)一個(gè)普通的曲面然后在曲面的邊界又產(chǎn)生了新的電場(chǎng)線或者磁場(chǎng)線。它們就像漫天飛舞的音符，而麥克斯韋方程組就是它們的指揮官。

16結(jié)語(yǔ)

有很多朋友以為麥克斯韋方程組就是麥克斯韋寫的一組方程，其實(shí)不然。如我們所見(jiàn)，麥克斯韋方程組雖然有四個(gè)方程，但是其中有三個(gè)半（高斯電場(chǎng)定律、高斯磁場(chǎng)定律、法拉第定律、安培環(huán)路定理）是在麥克斯韋之前就已經(jīng)有了的，真正是麥克斯韋加進(jìn)去的只有安培-麥克斯韋定律里”電通量的變化產(chǎn)磁場(chǎng)”那一項(xiàng)。知道了這些，有些人可能就會(huì)覺(jué)得麥克斯韋好像沒(méi)那么偉大了。

其實(shí)不然，在麥克斯韋之前，電磁學(xué)領(lǐng)域已經(jīng)有非常多的實(shí)驗(yàn)定律，但是這些定律哪些是根本，哪些是表象？如何從這一堆定律中選出最核心的幾個(gè)，然后建立一個(gè)完善自洽的模型解釋一切電磁學(xué)現(xiàn)象？這原本就是極為困難的事情。更不用說(shuō)麥克斯韋在沒(méi)有任何實(shí)驗(yàn)證據(jù)的情況下，憑借自己天才的數(shù)學(xué)能力和物理直覺(jué)直接修改了安培環(huán)路定理，修正了幾個(gè)定律之間的矛盾，然后還從中發(fā)現(xiàn)了電磁波。所以，絲毫沒(méi)有必要因?yàn)辂溈怂鬼f沒(méi)有發(fā)現(xiàn)方程組的全部方程而覺(jué)得他不夠偉大。