?

簡介：本文主要介紹了B樹和B 樹的插入、刪除操作。寫這篇博客的目的是發(fā)現(xiàn)沒有相關(guān)博客以舉例的方式詳細介紹B 樹的相關(guān)操作，由于自身對某些細節(jié)也感到很迷惑，通過查閱相關(guān)資料，對B 樹的操作有所頓悟，寫下這篇博客以做記錄。由于是自身對B 樹的理解，肯定有考慮不周的情況，或者理解錯誤的地方，請留言指出。

?

1. B樹

1. B樹的定義

B樹也稱B-樹,它是一顆多路平衡查找樹。我們描述一顆B樹時需要指定它的階數(shù)，階數(shù)表示了一個結(jié)點最多有多少個孩子結(jié)點，一般用字母m表示階數(shù)。當(dāng)m取2時，就是我們常見的二叉搜索樹。

一顆m階的B樹定義如下：

1）每個結(jié)點最多有m-1個關(guān)鍵字。

2）根結(jié)點最少可以只有1個關(guān)鍵字。

3）非根結(jié)點至少有Math.ceil(m/2)-1個關(guān)鍵字。

4）每個結(jié)點中的關(guān)鍵字都按照從小到大的順序排列，每個關(guān)鍵字的左子樹中的所有關(guān)鍵字都小于它，而右子樹中的所有關(guān)鍵字都大于它。

5）所有葉子結(jié)點都位于同一層，或者說根結(jié)點到每個葉子結(jié)點的長度都相同。

上圖是一顆階數(shù)為4的B樹。在實際應(yīng)用中的B樹的階數(shù)m都非常大（通常大于100），所以即使存儲大量的數(shù)據(jù)，B樹的高度仍然比較小。每個結(jié)點中存儲了關(guān)鍵字（key）和關(guān)鍵字對應(yīng)的數(shù)據(jù)（data），以及孩子結(jié)點的指針。我們將一個key和其對應(yīng)的data稱為一個記錄。但為了方便描述，除非特別說明，后續(xù)文中就用key來代替（key, value）鍵值對這個整體。在數(shù)據(jù)庫中我們將B樹（和B 樹）作為索引結(jié)構(gòu)，可以加快查詢速速，此時B樹中的key就表示鍵，而data表示了這個鍵對應(yīng)的條目在硬盤上的邏輯地址。

?

1.2 B樹的插入操作

插入操作是指插入一條記錄，即（key, value）的鍵值對。如果B樹中已存在需要插入的鍵值對，則用需要插入的value替換舊的value。若B樹不存在這個key,則一定是在葉子結(jié)點中進行插入操作。

1）根據(jù)要插入的key的值，找到葉子結(jié)點并插入。

2）判斷當(dāng)前結(jié)點key的個數(shù)是否小于等于m-1，若滿足則結(jié)束，否則進行第3步。

3）以結(jié)點中間的key為中心分裂成左右兩部分，然后將這個中間的key插入到父結(jié)點中，這個key的左子樹指向分裂后的左半部分，這個key的右子支指向分裂后的右半部分，然后將當(dāng)前結(jié)點指向父結(jié)點，繼續(xù)進行第3步。

下面以5階B樹為例，介紹B樹的插入操作，在5階B樹中，結(jié)點最多有4個key,最少有2個key

a）在空樹中插入39

此時根結(jié)點就一個key，此時根結(jié)點也是葉子結(jié)點

b）繼續(xù)插入22，97和41

根結(jié)點此時有4個key

c）繼續(xù)插入53

插入后超過了最大允許的關(guān)鍵字個數(shù)4，所以以key值為41為中心進行分裂，結(jié)果如下圖所示，分裂后當(dāng)前結(jié)點指針指向父結(jié)點，滿足B樹條件，插入操作結(jié)束。當(dāng)階數(shù)m為偶數(shù)時，需要分裂時就不存在排序恰好在中間的key，那么我們選擇中間位置的前一個key或中間位置的后一個key為中心進行分裂即可。

d）依次插入13，21，40，同樣會造成分裂，結(jié)果如下圖所示。

e）依次插入30，27, 33 ；36，35，34 ；24，29，結(jié)果如下圖所示。

f）插入key值為26的記錄，插入后的結(jié)果如下圖所示。

當(dāng)前結(jié)點需要以27為中心分裂，并向父結(jié)點進位27，然后當(dāng)前結(jié)點指向父結(jié)點，結(jié)果如下圖所示。

進位后導(dǎo)致當(dāng)前結(jié)點（即根結(jié)點）也需要分裂，分裂的結(jié)果如下圖所示。

分裂后當(dāng)前結(jié)點指向新的根，此時無需調(diào)整。

g）最后再依次插入key為17,28,29,31,32的記錄，結(jié)果如下圖所示。

在實現(xiàn)B樹的代碼中，為了使代碼編寫更加容易，我們可以將結(jié)點中存儲記錄的數(shù)組長度定義為m而非m-1，這樣方便底層的結(jié)點由于分裂向上層插入一個記錄時，上層有多余的位置存儲這個記錄。同時，每個結(jié)點還可以存儲它的父結(jié)點的引用，這樣就不必編寫遞歸程序。

一般來說，對于確定的m和確定類型的記錄，結(jié)點大小是固定的，無論它實際存儲了多少個記錄。但是分配固定結(jié)點大小的方法會存在浪費的情況，比如key為28,29所在的結(jié)點，還有2個key的位置沒有使用，但是已經(jīng)不可能繼續(xù)在插入任何值了，因為這個結(jié)點的前序key是27,后繼key是30,所有整數(shù)值都用完了。所以如果記錄先按key的大小排好序，再插入到B樹中，結(jié)點的使用率就會很低，最差情況下使用率僅為50%。

?

1.3 B樹的刪除操作

刪除操作是指，根據(jù)key刪除記錄，如果B樹中的記錄中不存對應(yīng)key的記錄，則刪除失敗。

1）如果當(dāng)前需要刪除的key位于非葉子結(jié)點上，則用后繼key（這里的后繼key均指后繼記錄的意思）覆蓋要刪除的key，然后在后繼key所在的子支中刪除該后繼key。此時后繼key一定位于葉子結(jié)點上，這個過程和二叉搜索樹刪除結(jié)點的方式類似。刪除這個記錄后執(zhí)行第2步

2）該結(jié)點key個數(shù)大于等于Math.ceil(m/2)-1，結(jié)束刪除操作，否則執(zhí)行第3步。

3）如果兄弟結(jié)點key個數(shù)大于Math.ceil(m/2)-1，則父結(jié)點中的key下移到該結(jié)點，兄弟結(jié)點中的一個key上移，刪除操作結(jié)束。

否則，將父結(jié)點中的key下移與當(dāng)前結(jié)點及它的兄弟結(jié)點中的key合并，形成一個新的結(jié)點。原父結(jié)點中的key的兩個孩子指針就變成了一個孩子指針，指向這個新結(jié)點。然后當(dāng)前結(jié)點的指針指向父結(jié)點，重復(fù)上第2步。

有些結(jié)點它可能即有左兄弟，又有右兄弟，那么我們?nèi)我膺x擇一個兄弟結(jié)點進行操作即可。

下面以5階B樹為例，介紹B樹的刪除操作，5階B樹中，結(jié)點最多有4個key,最少有2個key

a）原始狀態(tài)

b）在上面的B樹中刪除21，刪除后結(jié)點中的關(guān)鍵字個數(shù)仍然大于等2，所以刪除結(jié)束。

c）在上述情況下接著刪除27。從上圖可知27位于非葉子結(jié)點中，所以用27的后繼替換它。從圖中可以看出，27的后繼為28，我們用28替換27，然后在28（原27）的右孩子結(jié)點中刪除28。刪除后的結(jié)果如下圖所示。

刪除后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前葉子結(jié)點的記錄的個數(shù)小于2，而它的兄弟結(jié)點中有3個記錄（當(dāng)前結(jié)點還有一個右兄弟，選擇右兄弟就會出現(xiàn)合并結(jié)點的情況，不論選哪一個都行，只是最后B樹的形態(tài)會不一樣而已），我們可以從兄弟結(jié)點中借取一個key。所以父結(jié)點中的28下移，兄弟結(jié)點中的26上移,刪除結(jié)束。結(jié)果如下圖所示。

d）在上述情況下接著32，結(jié)果如下圖。

當(dāng)刪除后，當(dāng)前結(jié)點中只key，而兄弟結(jié)點中也僅有2個key。所以只能讓父結(jié)點中的30下移和這個兩個孩子結(jié)點中的key合并，成為一個新的結(jié)點，當(dāng)前結(jié)點的指針指向父結(jié)點。結(jié)果如下圖所示。

當(dāng)前結(jié)點key的個數(shù)滿足條件，故刪除結(jié)束。

e）上述情況下，我們接著刪除key為40的記錄，刪除后結(jié)果如下圖所示。

同理，當(dāng)前結(jié)點的記錄數(shù)小于2，兄弟結(jié)點中沒有多余key，所以父結(jié)點中的key下移，和兄弟（這里我們選擇左兄弟，選擇右兄弟也可以）結(jié)點合并，合并后的指向當(dāng)前結(jié)點的指針就指向了父結(jié)點。

同理，對于當(dāng)前結(jié)點而言只能繼續(xù)合并了，最后結(jié)果如下所示。

合并后結(jié)點當(dāng)前結(jié)點滿足條件，刪除結(jié)束。

?

2.B 樹

2.1 B 樹的定義

各種資料上B 樹的定義各有不同，一種定義方式是關(guān)鍵字個數(shù)和孩子結(jié)點個數(shù)相同。這里我們采取維基百科上所定義的方式，即關(guān)鍵字個數(shù)比孩子結(jié)點個數(shù)小1，這種方式是和B樹基本等價的。上圖就是一顆階數(shù)為4的B 樹。

除此之外B 樹還有以下的要求。

1）B 樹包含2種類型的結(jié)點：內(nèi)部結(jié)點（也稱索引結(jié)點）和葉子結(jié)點。根結(jié)點本身即可以是內(nèi)部結(jié)點，也可以是葉子結(jié)點。根結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)最少可以只有1個。

2）B 樹與B樹最大的不同是內(nèi)部結(jié)點不保存數(shù)據(jù)，只用于索引，所有數(shù)據(jù)（或者說記錄）都保存在葉子結(jié)點中。

3） m階B 樹表示了內(nèi)部結(jié)點最多有m-1個關(guān)鍵字（或者說內(nèi)部結(jié)點最多有m個子樹），階數(shù)m同時限制了葉子結(jié)點最多存儲m-1個記錄。

4）內(nèi)部結(jié)點中的key都按照從小到大的順序排列，對于內(nèi)部結(jié)點中的一個key，左樹中的所有key都小于它，右子樹中的key都大于等于它。葉子結(jié)點中的記錄也按照key的大小排列。

5）每個葉子結(jié)點都存有相鄰葉子結(jié)點的指針，葉子結(jié)點本身依關(guān)鍵字的大小自小而大順序鏈接。

?

2.2 B 樹的插入操作

1）若為空樹，創(chuàng)建一個葉子結(jié)點，然后將記錄插入其中，此時這個葉子結(jié)點也是根結(jié)點，插入操作結(jié)束。

2）針對葉子類型結(jié)點：根據(jù)key值找到葉子結(jié)點，向這個葉子結(jié)點插入記錄。插入后，若當(dāng)前結(jié)點key的個數(shù)小于等于m-1，則插入結(jié)束。否則將這個葉子結(jié)點分裂成左右兩個葉子結(jié)點，左葉子結(jié)點包含前m/2個記錄，右結(jié)點包含剩下的記錄，將第m/2 1個記錄的key進位到父結(jié)點中（父結(jié)點一定是索引類型結(jié)點），進位到父結(jié)點的key左孩子指針向左結(jié)點,右孩子指針向右結(jié)點。將當(dāng)前結(jié)點的指針指向父結(jié)點，然后執(zhí)行第3步。

3）針對索引類型結(jié)點：若當(dāng)前結(jié)點key的個數(shù)小于等于m-1，則插入結(jié)束。否則，將這個索引類型結(jié)點分裂成兩個索引結(jié)點，左索引結(jié)點包含前(m-1)/2個key，右結(jié)點包含m-(m-1)/2個key，將第m/2個key進位到父結(jié)點中，進位到父結(jié)點的key左孩子指向左結(jié)點, 進位到父結(jié)點的key右孩子指向右結(jié)點。將當(dāng)前結(jié)點的指針指向父結(jié)點，然后重復(fù)第3步。

下面是一顆5階B樹的插入過程，5階B數(shù)的結(jié)點最少2個key，最多4個key。

a）空樹中插入5

b）依次插入8，10，15

c）插入16

插入16后超過了關(guān)鍵字的個數(shù)限制，所以要進行分裂。在葉子結(jié)點分裂時，分裂出來的左結(jié)點2個記錄，右邊3個記錄，中間key成為索引結(jié)點中的key，分裂后當(dāng)前結(jié)點指向了父結(jié)點（根結(jié)點）。結(jié)果如下圖所示。

當(dāng)然我們還有另一種分裂方式，給左結(jié)點3個記錄，右結(jié)點2個記錄，此時索引結(jié)點中的key就變?yōu)?5。

d）插入17

e）插入18，插入后如下圖所示

當(dāng)前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)大于5，進行分裂。分裂成兩個結(jié)點，左結(jié)點2個記錄，右結(jié)點3個記錄，關(guān)鍵字16進位到父結(jié)點（索引類型）中，將當(dāng)前結(jié)點的指針指向父結(jié)點。

當(dāng)前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)滿足條件，插入結(jié)束。

f）插入若干數(shù)據(jù)后

g）在上圖中插入7，結(jié)果如下圖所示

當(dāng)前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)超過4，需要分裂。左結(jié)點2個記錄，右結(jié)點3個記錄。分裂后關(guān)鍵字7進入到父結(jié)點中，將當(dāng)前結(jié)點的指針指向父結(jié)點，結(jié)果如下圖所示。

當(dāng)前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)超過4，需要繼續(xù)分裂。左結(jié)點2個關(guān)鍵字，右結(jié)點2個關(guān)鍵字，關(guān)鍵字16進入到父結(jié)點中，將當(dāng)前結(jié)點指向父結(jié)點，結(jié)果如下圖所示。

當(dāng)前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)滿足條件，插入結(jié)束。

?

2.3 B 樹的刪除操作

如果葉子結(jié)點中沒有相應(yīng)的key，則刪除失敗。否則執(zhí)行下面的步驟

1）刪除葉子結(jié)點中對應(yīng)的key。刪除后若結(jié)點的key的個數(shù)大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，刪除操作結(jié)束,否則執(zhí)行第2步。

2）若兄弟結(jié)點key有富余（大于Math.ceil(m-1)/2 – 1），向兄弟結(jié)點借一個記錄，同時用借到的key替換父結(jié)（指當(dāng)前結(jié)點和兄弟結(jié)點共同的父結(jié)點）點中的key，刪除結(jié)束。否則執(zhí)行第3步。

3）若兄弟結(jié)點中沒有富余的key,則當(dāng)前結(jié)點和兄弟結(jié)點合并成一個新的葉子結(jié)點，并刪除父結(jié)點中的key（父結(jié)點中的這個key兩邊的孩子指針就變成了一個指針，正好指向這個新的葉子結(jié)點），將當(dāng)前結(jié)點指向父結(jié)點（必為索引結(jié)點），執(zhí)行第4步（第4步以后的操作和B樹就完全一樣了，主要是為了更新索引結(jié)點）。

4）若索引結(jié)點的key的個數(shù)大于等于Math.ceil(m-1)/2 – 1，則刪除操作結(jié)束。否則執(zhí)行第5步

5）若兄弟結(jié)點有富余，父結(jié)點key下移，兄弟結(jié)點key上移，刪除結(jié)束。否則執(zhí)行第6步

6）當(dāng)前結(jié)點和兄弟結(jié)點及父結(jié)點下移key合并成一個新的結(jié)點。將當(dāng)前結(jié)點指向父結(jié)點，重復(fù)第4步。

注意，通過B 樹的刪除操作后，索引結(jié)點中存在的key，不一定在葉子結(jié)點中存在對應(yīng)的記錄。

下面是一顆5階B樹的刪除過程，5階B數(shù)的結(jié)點最少2個key，最多4個key。

a）初始狀態(tài)

b）刪除22,刪除后結(jié)果如下圖

刪除后葉子結(jié)點中key的個數(shù)大于等于2，刪除結(jié)束

c）刪除15，刪除后的結(jié)果如下圖所示

刪除后當(dāng)前結(jié)點只有一個key,不滿足條件，而兄弟結(jié)點有三個key，可以從兄弟結(jié)點借一個關(guān)鍵字為9的記錄,同時更新將父結(jié)點中的關(guān)鍵字由10也變?yōu)?，刪除結(jié)束。

d）刪除7，刪除后的結(jié)果如下圖所示

當(dāng)前結(jié)點關(guān)鍵字個數(shù)小于2，（左）兄弟結(jié)點中的也沒有富余的關(guān)鍵字（當(dāng)前結(jié)點還有個右兄弟，不過選擇任意一個進行分析就可以了，這里我們選擇了左邊的），所以當(dāng)前結(jié)點和兄弟結(jié)點合并，并刪除父結(jié)點中的key，當(dāng)前結(jié)點指向父結(jié)點。

此時當(dāng)前結(jié)點的關(guān)鍵字個數(shù)小于2，兄弟結(jié)點的關(guān)鍵字也沒有富余，所以父結(jié)點中的關(guān)鍵字下移，和兩個孩子結(jié)點合并，結(jié)果如下圖所示。

?

3.參考內(nèi)容

[1]?B 樹介紹

[2]?從MySQL Bug#67718淺談B 樹索引的分裂優(yōu)化

[3]?B 樹的幾點總結(jié)