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等等許多生活中常見的三角形例子，學習三角形，你就會明白“三角形具有穩(wěn)定性”的原理。

下面有位老師-Andy老師給大家整理了一些

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三角形知識點總結(jié)

一、 基礎知識

1、三角形的定義： 由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形. （三角形有三條邊，三個內(nèi)角，三個頂點.組成三角形的線段叫做三角形的邊;相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角; 相鄰兩邊的公共端點是三角形的頂點）

2、三角形的表示

三角形ABC用符號表示為△ABC，三角形ABC的邊AB可用邊AB所對的角C的小寫字母c 表示，AC可用b表示，BC可用a表示.三個頂點用大寫字母A,B,C來表示。

注意：（1）三條線段要不在同一直線上，且首尾順次相接； （2）三角形是一個封閉的圖形； （3）△ABC是三角形ABC的符號標記，單獨的△沒有意義

3、三角形的分類：（1）按邊分類： 等腰三角形、等邊三角形、不等邊三角形

（2）按角分類：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形

4、三角形的主要線段的定義：

（1）三角形的中線：三角形中，連結(jié)一個頂點和它對邊中點的線段．

如圖：（1）AD是△ABC的BC上的中線.（2）BD=DC= BC.

注意：①三角形的中線是線段；

②三角形三條中線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點 （重心）

③中線把三角形分成兩個面積相等的三角形．

（2）三角形的角平分線 ：三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角頂點與交點之間的線段

如圖：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分線. （2）∠1=∠2= ∠BAC.

注意：①三角形的角平分線是線段；

②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部且交于三角形內(nèi)部一點（內(nèi)心）

③角平分線上的點到角的兩邊距離相等

（3）三角形的高 ： 從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．

如圖：①AD是△ABC的BC上的高線；②AD⊥BC于D；③∠ADB=∠ADC=90°.

注意：①三角形的高是線段；

②銳角三角形的三條高的交點在三角形內(nèi)部；鈍角三角形的三條高的交點在三角形的外部：直角三角形的三條高的交點在直角頂點上。三角形三條高所在直線交于一點（垂心 ）

③由于三角形有三條高線，所以求三角形的面積的時候就有三種（因為高底不一樣）

（4）三角形的中垂線：過三角形一條邊中點所做的垂直于該條邊的線段

如圖：DE是△ABC的邊BC的中垂線；DE⊥BC于D；BD=DC

注意：①三角形的中垂線是直線；

②三角形的三條中垂線交于一點（外心）

小總結(jié)：內(nèi)心：三條角平分線的交點,也是三角形內(nèi)切圓的圓心.

性質(zhì)：到三邊距離相等.

外心：三條中垂線的交點,也是三角形外接圓的圓心.

性質(zhì)：到三個頂點距離相等.

重心：三條中線的交點.

性質(zhì)：三條中線的三等分點,到頂點距離為到對邊中點距離的2倍.

垂心：三條高所在直線的交點.

5、三角形的三邊關系 ：三角形的任意兩邊之和大于第三邊;任意兩邊之差小于第三邊.

注意：（1）三邊關系的依據(jù)是：兩點之間線段最短；

（2）圍成三角形的條件是任意兩邊之和大于第三邊．

6、三角形的角與角之間的關系：

(1)三角形三個內(nèi)角的和等于180°;

(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.

(4)直角三角形的兩個銳角互余.

7、三角形的內(nèi)角和定理 ：三角形的內(nèi)角和等于180°．

推論：直角三角形的兩個銳角互余。

8、三角形的外角的定義 ：三角形一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角. 注意：每個頂點處都有兩個外角，但這兩個外角是對頂角.（所以一般我們只研究一個）

如:∠ACD、∠BCE都是△ABC的外角，且∠ACD=∠BCE.

所以說一個三角形有六個外角，但我們每個一個頂點處只選一個外角，這樣三角形的外角就只有三個了.

三角形外角的性質(zhì) ：

（1） 三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．

（2）三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內(nèi)角．

9、三角形的穩(wěn)定性：三角形的三邊長確定，則三角形的形狀就唯一確定，這叫做三角形的穩(wěn)定性．

10、多邊形 ：在同一平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫多邊形。

（1）多邊形的對角線 ：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。

（2）正多邊形 ： 各邊相等，各角都相等的多邊形叫做正多邊形

（3）多邊形的內(nèi)角和為 （n-2）*180度 ；多邊形的外角和為 360度

二、等腰三角形

1、等腰三角形的概念

定義：有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩邊叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角

2、三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱為“等邊對等角”）

（2）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高線、底邊上的中線互相集合（簡稱為“三線合一”）

3、等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱為“等角對等邊”）

注意：要正確區(qū)分等腰三角形的性質(zhì)和判定

4、等邊三角形

定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形

注意：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況，它是底邊與腰相等的等腰三角形

5、等邊三角形的性質(zhì)和判定

性質(zhì)：（1）等邊三角形的三條邊都相等

（2） 等邊三角形的每一個角都等于60度

判定：（1）各邊或角都相等的三角形是等邊三角形

（2）有一個角等于60度的等腰三角形是等邊三角形

相關規(guī)律：（1）邊長為a的等邊三角形面積等于

（2）等邊三角形的內(nèi)心、外心、垂心和重心重合于一點

三、直角三角形

1、定義：有一個角為直角的三角形稱為直角三角形。在直角三角形中，直角相鄰的兩條邊稱為直角邊。直角所對的邊稱為斜邊。直角三角形直角所對的邊也叫作“弦”。若兩條直角邊不一樣長，短的那條邊叫作“勾”，長的那條邊叫作“股”。

2、分類：直角三角形如圖所示：分為兩種情況，有普通的直角三角形，還有等腰直角三角形（屬于特殊情況)

3、判定定理

等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)：穩(wěn)定性，兩直角邊相等 直角邊夾亦直角銳角45，斜邊上中線角平分線垂線三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R。

直角三角形是一種特殊的三角形

4、特殊性質(zhì)

它除了具有一般三角形的性質(zhì)外，具有一些特殊的性質(zhì)：

性質(zhì)1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖，∠BAC=90°，則AB2+AC2=BC2（勾股定理)

性質(zhì)2:在直角三角形中，兩個銳角互余。如圖，若∠BAC=90°，則∠B+∠C=90°

性質(zhì)3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（即直角三角形的外心位于斜邊的中點，外接圓半徑R=C/2）。該性質(zhì)稱為直角三角形斜邊中線定理。

性質(zhì)4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積。

性質(zhì)5:如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：

射影定理圖

（1）（AD)2=BD·DC。

（2）（AB)2=BD·BC。

（3）（AC)2=CD·BC。

性質(zhì)6:在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°。

證明：

先證明定理的前半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，那么BC=AB/2

∵∠A=30°

∴∠B=60°（直角三角形兩銳角互余）

取AB中點D，連接CD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可知CD=BD

∴△BCD是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）

∴BC=BD=AB/2

再證明定理的后半部分，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=AB/2，那么∠A=30°

取AB中點D，連接CD,那么CD=BD=AB/2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

又∵BC=AB/2

∴BC=CD=BD

∴∠B=60° ∴∠A=30°

性質(zhì)7:如圖，

在Rt△ABC中∠BAC=90°，AD是斜邊上的高，則：

證明：S△ABC=1/2*AB*AC=1/2*AD*BC

兩邊乘以2，再平方得AB2*AC2=AD2*BC2

運用勾股定理，再兩邊除以

,最終化簡即得

性質(zhì)8:直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

判定方法：判定1：有一個角為90°的三角形是直角三角形。

判定2：若

，則以a、b、c為邊的三角形是以c為斜邊的直角三角形（勾股定理的逆定理）。

判定3：若一個三角形30°內(nèi)角所對的邊是某一邊的一半，則這個三角形是以這條長邊為斜邊的直角三角形。

判定4：兩個銳角互為余角（兩角相加等于90°）的三角形是直角三角形。

判定5：若兩直線相交且它們的斜率之積互為負倒數(shù)，則兩直線互相垂直。那么這個三角形為直角三角形。

判定6：若在一個三角形中一邊上的中線等于其所在邊的一半，那么這個三角形為直角三角形。參考直角三角形斜邊中線定理

判定7：一個三角形30°角所對的邊等于某一鄰邊的一半，則這個三角形為直角三角形。

四、勾股定理

勾股定理內(nèi)容：如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么 a +b =c ； 即直角三角形兩直角邊長的平方和等于斜邊長的平方。

如果三角形的三條邊a，b，c滿足a +b =c ，那么這個三角形是直角三角形。（稱勾股定理的逆定理）

五、全等三角形

能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形 ，而該兩個三角形的三條邊及三個角都對應相等。全等三角形指兩個全等的三角形，它們的三條邊及三個角都對應相等。

1、性質(zhì)

（1）全等三角形的對應角相等。

（2）全等三角形的對應邊相等。

（3）能夠完全重合的頂點叫對應頂點。

（4）全等三角形的對應邊上的高對應相等。

（5）全等三角形的對應角的角平分線相等。

（6）全等三角形的對應邊上的中線相等。

（7）全等三角形面積和周長相等。

（8）全等三角形的對應角的三角函數(shù)值相等。

2、全等三角形的判定

· SSS（邊邊邊）：三邊對應相等的三角形是全等三角形。

· SAS（邊角邊）：兩邊及其夾角對應相等的三角形是全等三角形。

· ASA（角邊角）：兩角及其夾邊對應相等的三角形全等

· AAS（角角邊）：兩角及其一角的對邊對應相等的三角形全等。

· HL(斜邊、直角邊)）：在一對直角三角形中，斜邊及另一條直角邊相等。

下列兩種方法不能驗證為全等三角形：

· AAA（角角角）：三角相等，不能證全等，但能證相似三角形

· SSA（邊邊角）：其中一角相等，且非夾角的兩邊相等。

六、相似三角形

三個角對應相等、三條邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。

1、預備定理

平行于三角形一邊的直線截其它兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似。（這是相似三角形判定的定理，是以下判定方法證明的基礎。這個引理的證明方法需要平行線與線段成比例的證明）

2、判定定理 常用的判定定理有以下6條：

判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似。（簡敘為：兩角對應相等，兩個三角形相似。（AA）

判定定理2：如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角相等，那么這兩個三角形相似。（簡敘為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似。（SAS）

判定定理3：如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角形相似。（簡敘為：三邊對應成比例，兩個三角形相似。（SSS）

判定定理4：兩個三角形三邊對應平行，則兩個三角形相似。（簡敘為：三邊對應平行，兩個三角形相似。）

判定定理5：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，那么這兩個直角三角形相似。（簡敘為：斜邊與直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似。）（HL）

判定定理6：如果兩個三角形全等，那么這兩個三角形相似（相似比為1：1）（簡敘為：全等三角形相似）。

相似的判定定理與全等三角形基本相同，因為全等三角形是特殊的相似三角形。

3、一定相似

符合下面的情況中的任何一種的兩個（或多個）三角形一定相似：

（1）兩個全等的三角形

全等三角形是特殊的相似三角形，相似比為1：1。

補充：如果△ABC∽△A‘B’C‘，∴AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B'C’=K

當K=1時，這兩個三角形全等。（K為它們的比值）

（2）任意一個頂角或底角相等的兩個等腰三角形

兩個等腰三角形，如果其中的任意一個頂角或底角相等，那么這兩個等腰三角形相似。

（3）兩個等邊三角形

兩個等邊三角形，三個內(nèi)角都是60度，且邊邊相等，所以相似。

（4）直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形

由于斜邊的高形成兩個直角，再加上一個公共的角，所以相似。

4、性質(zhì)定理

（1）相似三角形對應角相等，對應邊成正比例。

（2）相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

（3）相似三角形周長的比等于相似比。

（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

（5）相似三角形內(nèi)切圓、外接圓直徑比和周長比都和相似比相同，內(nèi)切圓、外接圓面積比是相似比的平方

（6）若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中項

(7) a/b=c/d等同于ad=bc.

( 8)不必是在同一平面內(nèi)的三角形里。

5、推論

推論一：腰和底對應成比例的兩個等腰三角形相似。

推論二：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形都相似。

推論三：如果一個三角形的兩邊和三角形任意一邊上的中線與另一個三角形的對應部分成比例，那么這兩個三角形相似。

6、射影定理

直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

例如：(前提：∠BAD+∠DAC=90度，AD⊥BC)

公式Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：(1)(AD)^2;=BD·DC，(2)(AB)^2;=BD·BC，(3)(AC)^2;=CD·BC。等積式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)