11梯度、散度和旋度
▽算子不是一個(gè) 矢量,除非你把它 作用在一個(gè)函數(shù)上,否則它沒啥意義。但是,它在各個(gè)方面的表現(xiàn)確實(shí)又像一個(gè)矢量,只要你把▽算子的“ 作用”看成矢量的“ 相乘”。 一個(gè) 矢量一般來說有3種“ 乘法”:1、矢量 A和一個(gè)標(biāo)量a 相乘:a A 。比如我把一個(gè)矢量 A大小變?yōu)樵瓉淼?倍,方向不變,那么這時(shí)候就可以寫成2 A。2、矢量 A和一個(gè)矢量 B進(jìn)行 點(diǎn)乘: A·B。這個(gè)點(diǎn)乘我們上面介紹很多了, A·B=| A|| B|Cosθ,這里就不說了。3、矢量 A和一個(gè)矢量 B進(jìn)行 叉乘: A×B。這個(gè)叉乘跟點(diǎn)乘類似,也是我們單獨(dú)針對矢量定義的另外一種乘法, A×B=| A|| B|Sinθ。大家可以看到,這個(gè)叉乘跟點(diǎn)乘唯一的區(qū)別就是: 點(diǎn)乘是兩個(gè)矢量的大小乘以它們的 余弦值Cosθ,叉乘是兩個(gè)矢量的大小乘以它們的 正弦值Sinθ(在直角三角形里,角的 對邊和斜邊的比為正弦Sinθ, 鄰邊和斜邊的比值為余弦Cosθ)。 那么,同樣的,我們的 ▽算子也有3種 作用方式:1、▽算子作用在一個(gè) 標(biāo)量函數(shù) z上:▽z。這個(gè)▽z我們上面說過了,它表示函數(shù)z的 梯度,它表示這個(gè)函數(shù)z變化最快的方向。2、▽算子跟一個(gè) 矢量函數(shù)E 點(diǎn)乘: ▽·E。這就表示E的 散度,我們開篇講的高斯電場定律的左邊就是電場E的散度,它就是表示成 ▽·E這樣。3、▽算子跟一個(gè) 矢量函數(shù)E 叉乘: ▽×E。它叫E的 旋度,這個(gè)我們后面會再詳細(xì)說。
這樣,我們就以一種很自然的方式引出了這三個(gè)非常重要的概念: 梯度(▽z )、 散度(▽·E)和 旋度(▽×E)。大家可以看到,▽算子的這三種作用跟矢量的三種乘法是非常相似的,只不過▽是一個(gè)算子,它必須作用在一個(gè) 函數(shù)上才行,所以我們把上面的標(biāo)量和矢量換成了 標(biāo)量函數(shù)和 矢量函數(shù)。 我們在描述山的 高度的函數(shù) z=f(x,y)的時(shí)候,不同的點(diǎn)(x,y)對應(yīng)不同的山的高度,而山的高度只有大小沒有方向,所以這是個(gè)標(biāo)量函數(shù),我們可以求它的 梯度▽z。但是, 電場E既有大小又有方向,這是一個(gè)矢量,所以我們可以用一個(gè)矢量函數(shù) E=f(x,y)表示空間中不同點(diǎn)(x,y)的電場E的分布情況。那么對這種 矢量函數(shù),我們就不能去求它的 梯度了,我們只能去求它的 散度▽·E和 旋度▽×E。
為了讓大家對這些能夠有更直觀的概念,我們接下來就來仔細(xì)看看電場的散度▽·E。
12電場的散度
當(dāng)我們把電場的散度寫成 ▽·E這樣的時(shí)候,我們會覺得:啊,好簡潔!但是我們也知道▽算子的定義是這樣的:
也就是說,我們最開始從 無窮小曲面的通量定義來的 散度和我們上面通過 偏導(dǎo)數(shù)定義來的 散度▽·指的是同一個(gè)東西。即:
13為何這兩種散度是等價(jià)的?
很多人可能覺得難以理解,這兩個(gè)東西的表達(dá)形式和來源都完全不一樣,它們怎么會是同一個(gè)東西呢?但是它們確實(shí)是同一個(gè)東西,那我們?yōu)槭裁匆獌商讝|西出來呢?在最開始我也說了,通過 無窮小曲面的通量定義的散度很容易理解,跟麥克斯韋方程組的積分形式的通量也有非常大的聯(lián)系,但是這種定義 不好計(jì)算(上面的例2,你用這種方式去求它的散度試試?),所以我們需要找一種能方便計(jì)算、實(shí)際可用的方式,這樣才出現(xiàn)了▽·形式的散度。 至于為什么這兩種形式是等價(jià)的,我給大家提供一個(gè) 簡單的思路。因?yàn)檫@畢竟是面向大眾的科普性質(zhì)的文章,具體的證明過程我就不細(xì)說了。真正感興趣的朋友可以順著這個(gè)思路去完成自己的證明,或者來我的 社群(回復(fù)“ 社群”即可)里討論。 證明思路:我們假設(shè)有一個(gè)邊長分別為Δx、Δy、Δz的小長方體,空間中的電場為E(x,y,z),然后假設(shè)在這個(gè)長方體的正中心有一個(gè)點(diǎn)(x,y,z),那么這個(gè)電場通過這個(gè)長方體 前面(沿著x軸 正方向)的 電場就可以表示為: Ex(x+Δx/2,y,z)。Ex表示電場在x方向上的分量(因?yàn)槲覀兪强紤]長方體上表面的通量,所以只用考慮電場的x分量),因?yàn)橹行淖鴺?biāo)為(x,y,z),那么沿著x軸移動到表面的坐標(biāo)自然就是( x+Δx/2,y,z)。而這個(gè)面的 面積為 ΔyΔz,那么通過前面的電通量就可以寫成: Ex(x+Δx/2,y,z)·ΔyΔz。 同樣的,通過長方體 后面(沿著x軸的 負(fù)方向)的 電通量,就可以寫成 Ex(x-Δx/2,y,z)·ΔyΔz。因?yàn)檫@兩個(gè)面的方向是 相反的(前面后面,一個(gè)沿著x軸正方向,一個(gè)沿著負(fù)方向),所以,這兩個(gè)沿著x軸方向的面的電通量之和 Φx就應(yīng)該是兩者相減: Φx=( Ex(x+Δx/2,y,z)·ΔyΔz- Ex (x-Δx/2,y,z)·ΔyΔz)。 如果我們兩邊都除以 Δv(其中, Δv=ΔxΔyΔz),那么就得到: Φx/Δv=(Ex(x+Δx/2,y,z)- Ex (x-Δx/2,y,z))/Δx,然后你會發(fā)現(xiàn)等式的右邊剛好就是 偏導(dǎo)數(shù)的 定義(標(biāo)準(zhǔn)的極限定義 )。也就是說, 電場通過沿著x軸的兩個(gè)面(前后兩面)的通量之和就等于電場的x分量對x的偏導(dǎo)數(shù): Φx/Δv=Ex/x。 同樣的,我們發(fā)現(xiàn)電場沿著 y軸的兩面(左右兩面)和 z軸的兩面(上下兩面)的電通量之和分別就等于電場的y分量和z分量對y和z的 偏導(dǎo): Φy/Δv=Ey/y, Φz/Δv=Ez/z。然后我們把這三個(gè)式子 加起來, 左邊就是電場通過六個(gè)面的通量除以體積,也就是通過這個(gè)長方體的通量除以體積,右邊就是我們▽·E的形式,這分別就是我們上面兩種 散度的表示方式, 證明完成。 這個(gè)證明一時(shí)半會沒看懂也沒關(guān)系,感興趣的可以后面慢慢去琢磨。我只是想通過這種方式讓大家明白 通過某一方向的兩個(gè)面的通量跟 這方向的偏導(dǎo)數(shù)之間是存在這種對應(yīng)關(guān)系的,這樣我們就容易接受 無窮小曲面的通量和 ▽·這兩種散度的定義方式了。 這兩種散度的定義方式各有所長,比如我們在判斷某一點(diǎn)的散度是否為零的時(shí)候,我用第一個(gè)定義,去看看包含這個(gè)點(diǎn)的無窮小曲面的通量是不是為零就行了。 如果這一點(diǎn)有電荷,那么這個(gè)無窮小曲面的電通量肯定就不為零,它的散度也就不為零;如果這個(gè)無窮小曲面沒有包含電荷,那這一點(diǎn)的散度一定為0,這就是 高斯電場定律的 微分方程想要告訴我們的東西。但是,如果你要計(jì)算這一點(diǎn)的散度是多少,那還是乖乖的拿起▽·去計(jì)算吧。
14散度的幾何意義
此外,跟梯度一樣,散度這個(gè)名字也是非常形象的。很多人會跟你說散度表示的是“ 散開的程度”,這種說法很容易讓初學(xué)者誤解或者迷惑,比如一個(gè)正電荷產(chǎn)生的產(chǎn)生的如下的電場線,它看起來是散開的,所以很多就會認(rèn)為這里 所有的點(diǎn)的散度都是不為零的,都是正的。
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15方程一: 高斯電場定律
說了這么多,又是證明不同散度形式( 無窮小曲面的通量和▽·)的 等價(jià)性,又是說明不同散度理解方式的 同一性( 無窮小曲面的通量和 散開的程度),都是為了讓大家從更多的維度全方位的理解 散度的概念,盡量避開初學(xué)者學(xué)習(xí)散度會遇到的各種坑。理解了這個(gè)散度的概念之后,我們再來看 麥克斯韋方程組的 第一個(gè)方程—— 高斯電場定律的 微分形式就非常容易理解了:
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16方程二: 高斯磁場定律
理解了高斯電場定律的微分形式,那么 高斯磁場定律的微分形式就能輕松寫出來了。因?yàn)楝F(xiàn)在還沒有找到磁單極子,磁感線都是閉合的曲線,所以 閉合曲面的磁通量一定恒為0,這就是 高斯磁場定律積分形式的思想:
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17旋度
靜電和靜磁的微分形式我們已經(jīng)說完了,那么接下來就是 磁如何生電的 法拉第定律了。關(guān)于 法拉第是如何通過實(shí)驗(yàn)一步一步發(fā)現(xiàn)法拉第定律的內(nèi)容,我在積分篇里已經(jīng)詳細(xì)說了,這里就不再多說。對 法拉第定律的 基本思想和 積分形式的內(nèi)容還不太熟悉的請先去看上一篇
積分篇
的內(nèi)容。 法拉第定律是法拉第對 電磁感應(yīng)現(xiàn)象的一個(gè)總結(jié),他發(fā)現(xiàn)只要一個(gè)曲面的 磁通量(B·a)發(fā)生了改變,那么就會在曲面的邊緣感生出一個(gè) 旋渦狀的 電場E出來。這個(gè)旋渦狀的 感生電場我們是用電場的 環(huán)流來描述的,也就是 電場沿著曲面邊界進(jìn)行的線積分。
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18矢量的叉乘
因?yàn)樾仁?▽算子以 叉乘×的方式作用在 矢量場上,所以這里我們來簡單的看一下 叉乘。兩個(gè)矢量 A和 B的 點(diǎn)乘被定義為: A·B=| A|| B|Cosθ,它們的 叉乘則被定義為 A×B=| A|| B|Sinθ,其中θ為它們的夾角。單從這樣看,它們之間的差別好像很小,只不過一個(gè)是乘以 余弦Cosθ,另一個(gè)是乘以 正弦Sinθ。 從它們的 幾何意義來說, 點(diǎn)乘表示的是 投影,因?yàn)閨OA|Cosθ剛好就是OA在OB上的投影,也就是OC的長度。如下圖:
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19方程三: 法拉第定律
好,知道了矢量的叉乘,知道了 ▽×E可以表示 電場的旋度,而且知道旋度的定義是: 無窮小非閉合曲面的環(huán)流和這個(gè)曲面的面積之比。那我們再來回過頭看一看 法拉第定律的 積分形式:
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積分篇
里說過,磁通量( B·a)的變化可以有兩種方式: 磁場(B)的變化和 通過曲面面積(S)的變化,我們上面這種方式是把這兩種情況都算在內(nèi)。但是,還有的學(xué)者認(rèn)為只有磁場(B)的變化產(chǎn)生的電場才算法拉第定律,所以法拉第定律還有另外一個(gè)版本:
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20旋度的幾何意義
我們知道 旋度的定義是 無窮小曲面的環(huán)流和面積的比值,但是它既然取了旋度這個(gè)名字,那么它跟 旋轉(zhuǎn)應(yīng)該還是有點(diǎn)關(guān)系的。我們變化的磁場感生出來的電場也是一個(gè) 旋渦狀的電場。那么,是不是只要看起來像漩渦狀的矢量場,它就一定有旋度呢?
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這個(gè)問題我們在討論 散度的時(shí)候也遇到過,很多初學(xué)者認(rèn)為只要看起來發(fā)散的東西就是有散度的,然后我們通過分析知道這是不對的。一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生靜電場,只要在電荷處散度不為零的,在其他地方,雖然看起來是散開的,其實(shí)它的 散度是 零。如果我們放一個(gè)非常輕的橡皮筋在上面,除了電荷所在處,其它地方這個(gè)橡皮筋是不會被撐開的(即便會被沖走),所以其他地方的散度都為零。
同樣的,在旋度這里,一個(gè)變換的磁場會產(chǎn)生一個(gè)旋渦狀的電場,在旋渦的中心,在磁場變化的這個(gè)中心點(diǎn)這里,它的旋度肯定是不為零的。但是,在其它地方呢?從公式上看,其它地方的旋度一定為零,為什么?因?yàn)槠渌胤?并沒有變化的磁場啊,所以按照 法拉第定律的 微分形式, 沒有變化的磁場的地方的電場的旋度肯定是0。 跟 散度一樣,我們不能僅憑一個(gè)感生電場是不是旋轉(zhuǎn)狀的來判斷這點(diǎn)旋度是否為0,我們也需要借助一個(gè)小道具: 小風(fēng)車。我們把一個(gè)小風(fēng)車放在某一點(diǎn)上,如 果這個(gè)風(fēng)車能轉(zhuǎn)起來,就說明這點(diǎn)的旋度不為0。你只要把風(fēng)車放在 感生電場中心 以外的地方,就會發(fā)現(xiàn)如果外層的電場線讓小風(fēng)車 順時(shí)針轉(zhuǎn),內(nèi)層的電場線就會讓小風(fēng)車 逆時(shí)針轉(zhuǎn),這兩股力剛好 抵消了。最終風(fēng)車不會轉(zhuǎn),所以旋度為0。
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如果大家能理解 靜電場除了中心點(diǎn)以外的地方 散度處處為零,那么理解 感生電場除了中心點(diǎn)以外的地方 旋度處處為零就不是什么難事。在非中心點(diǎn)的地方, 散度的流入流出兩股力量抵消了,旋度順時(shí)針逆時(shí)針的兩股力量抵消了,為什么剛好他們能抵消呢?本質(zhì)原因還是因?yàn)?這兩種電場都是隨著距離的平方反比減弱。如果它們不遵守 平方反比定律,那么你去計(jì)算里外的散度和旋度,它們就不再為零。 關(guān)于 旋度的事情就先說這么多,大家如果理解了旋度,對比法拉第定律的積分方程,要理解它的微分方程是很容易的。我前面花了很大的篇幅給大家講了矢量的 點(diǎn)乘和 散度,作為類比,理解矢量的 叉乘和 旋度也不是什么難事,它們確實(shí)太相似了。
21方程四: 安培-麥克斯韋定律
講完了磁生電的法拉第定律,我們麥克斯韋方程組就只剩最后一個(gè)電生磁的 安培-麥克斯韋定律了。它描述的是 電流和 變化的電場如何產(chǎn)生 旋渦狀的感生磁場的,因?yàn)樗姷膩碓从须娏骱妥兓碾妶鰞身?xiàng),所以它的形式也是最復(fù)雜的。方程的 積分形式如下(具體過程見
積分篇
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22麥克斯韋方程組
至此,麥克斯韋方程組的 四個(gè)方程:描述 靜電的 高斯電場定律、描述 靜磁的 高斯磁場定律、描述 磁生電的 法拉第定律和描述 電生磁的 安培-麥克斯韋定律的 微分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣:
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從思想上來講, 微分形式和 積分形式表達(dá)的思想是一樣的,畢竟它們都是麥克斯韋方程組。它們的差別僅僅在于 積分形式是從 宏觀的角度描述問題,我們面對的 宏觀上的曲面,所以要用 通量和 環(huán)流來描述電場、磁場;而 微分形式是從 微觀的角度來描述問題,這時(shí)候曲面縮小都 無窮小,我們面對的東西就變成了一個(gè) 點(diǎn),所以我們使用 散度和 旋度來描述電場、磁場。 這一點(diǎn)是特別要強(qiáng)調(diào)的: 通量和 環(huán)流是定義在 曲面上的,而 散度和 旋度是定義在一個(gè) 點(diǎn)上的。我們可以說通過通過一個(gè)曲面的 通量或者沿曲面邊界的 環(huán)流,但是當(dāng)我們在說 散度和 旋度的時(shí)候,我們都是在說 一個(gè)點(diǎn)的 散度和 旋度。
理解了這些,你再回過頭去看看 麥克斯韋方程組的 積分形式:
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23結(jié)語
到這里,麥克斯韋方程組的 積分篇和 微分篇就都說完了。 長尾君在這兩篇文章里先從零開始引出了 通量,然后從通量的概念慢慢引出了 麥克斯韋方程組的 積分形式,再從積分形式用“ 把曲面壓縮到無窮小”推出了對應(yīng)的 微分形式。整個(gè)過程我都極力做到“ 通俗但不失準(zhǔn)確”,所有新概念的引出都會先做層層鋪墊,絕不從天而降的拋出一個(gè)新東西。目的就是為了讓多的人能夠更好的了解麥克斯韋方程組,特別是讓 中學(xué)生也能看懂,能理解麥克斯韋方程組的美妙,同時(shí)也激發(fā)出他們對科學(xué)的好奇和熱愛之心,打消他們對“高深”科學(xué)的 畏懼之心: 看,這么高大上的麥克斯韋方程組,年紀(jì)輕輕的我也能看懂,也能掌握~ 此外,麥克斯韋方程組是真的很美,你掌握的物理知識越多,就會越覺得它美。我也更希望 大家是因?yàn)樗拿蓝矚g這個(gè)方程組,而不僅僅是因?yàn)樗摹爸匾浴?/strong>。我們也都知道,麥克斯韋寫出這套方程組以后,就從方程推導(dǎo)出了 電磁波,當(dāng)他把相關(guān)的參數(shù)代入進(jìn)去算出電磁波的速度的時(shí)候,他驚呆了!他發(fā)現(xiàn)這個(gè) 電磁波的速度跟人們實(shí)驗(yàn)測量的 光速極為接近,于是他給出了一個(gè)大膽的預(yù)測: 光就是一種電磁波。
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可惜的是,英年早逝的麥克斯韋(48歲去世)并沒能看到他的預(yù)言被證實(shí),人類直到他去世9年后,也就是1888年才由赫茲首次證實(shí)了“光是一種電磁波”。那么, 麥克斯韋是怎么從方程組導(dǎo)出電磁波的呢?既然我們已經(jīng)學(xué)完了 麥克斯韋方程組,想必大家也很知道如何從這套方程組推導(dǎo)出電磁波的方程,然后親眼見證“ 電磁波的速度等于光速”這一奇跡時(shí)刻。這部分的內(nèi)容, 長尾科技下篇文章再說。
最后,這篇文章主要參考了《 電動力學(xué)導(dǎo)論》(格里菲斯)和《 麥克斯韋方程直觀》(Daniel Fleisch),大家想對麥克斯韋方程組做進(jìn)一步了解的可以看看這兩本書,需要電子檔的可以在后臺回復(fù)“ 麥克斯韋方程組”。 最美的方程,愿你能懂她的美~