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最美的公式:你也能懂的麥克斯韋方程組(微分篇)(下)

 天選小丑 2019-08-19

11梯度、散度和旋度
▽算子不是一個(gè) 矢量,除非你把它 作用在一個(gè)函數(shù)上,否則它沒啥意義。但是,它在各個(gè)方面的表現(xiàn)確實(shí)又像一個(gè)矢量,只要你把▽算子的“ 作用”看成矢量的“ 相乘”。 一個(gè) 矢量一般來說有3種“ 乘法”:1、矢量 A和一個(gè)標(biāo)量a 相乘:a A 。比如我把一個(gè)矢量 A大小變?yōu)樵瓉淼?倍,方向不變,那么這時(shí)候就可以寫成2 A。2、矢量 A和一個(gè)矢量 B進(jìn)行 點(diǎn)乘A·B。這個(gè)點(diǎn)乘我們上面介紹很多了, A·B=| A|| B|Cosθ,這里就不說了。3、矢量 A和一個(gè)矢量 B進(jìn)行 叉乘A×B。這個(gè)叉乘跟點(diǎn)乘類似,也是我們單獨(dú)針對矢量定義的另外一種乘法, A×B=| A|| B|Sinθ。大家可以看到,這個(gè)叉乘跟點(diǎn)乘唯一的區(qū)別就是: 點(diǎn)乘是兩個(gè)矢量的大小乘以它們的 余弦值Cosθ,叉乘是兩個(gè)矢量的大小乘以它們的 正弦值Sinθ(在直角三角形里,角的 對邊和斜邊的比為正弦Sinθ, 鄰邊和斜邊的比值為余弦Cosθ)。 那么,同樣的,我們的 ▽算子也有3種 作用方式:1、▽算子作用在一個(gè) 標(biāo)量函數(shù) z上:▽z。這個(gè)▽z我們上面說過了,它表示函數(shù)z的 梯度,它表示這個(gè)函數(shù)z變化最快的方向。2、▽算子跟一個(gè) 矢量函數(shù)E 點(diǎn)乘▽·E。這就表示E的 散度,我們開篇講的高斯電場定律的左邊就是電場E的散度,它就是表示成 ▽·E這樣。3、▽算子跟一個(gè) 矢量函數(shù)E 叉乘▽×E。它叫E的 旋度,這個(gè)我們后面會再詳細(xì)說。

這樣,我們就以一種很自然的方式引出了這三個(gè)非常重要的概念: 梯度(▽z 散度(▽·E)旋度(▽×E)。大家可以看到,▽算子的這三種作用跟矢量的三種乘法是非常相似的,只不過▽是一個(gè)算子,它必須作用在一個(gè) 函數(shù)上才行,所以我們把上面的標(biāo)量和矢量換成了 標(biāo)量函數(shù)矢量函數(shù)。 我們在描述山的 高度的函數(shù) z=f(x,y)的時(shí)候,不同的點(diǎn)(x,y)對應(yīng)不同的山的高度,而山的高度只有大小沒有方向,所以這是個(gè)標(biāo)量函數(shù),我們可以求它的 梯度▽z。但是, 電場E既有大小又有方向,這是一個(gè)矢量,所以我們可以用一個(gè)矢量函數(shù) E=f(x,y)表示空間中不同點(diǎn)(x,y)的電場E的分布情況。那么對這種 矢量函數(shù),我們就不能去求它的 梯度了,我們只能去求它的 散度▽·E旋度▽×E。
為了讓大家對這些能夠有更直觀的概念,我們接下來就來仔細(xì)看看電場的散度▽·E。
12電場的散度
當(dāng)我們把電場的散度寫成 ▽·E這樣的時(shí)候,我們會覺得:啊,好簡潔!但是我們也知道▽算子的定義是這樣的:

那么▽·E就應(yīng)該寫成這樣:
而我們知道電場E其實(shí)是一個(gè)矢量函數(shù)(不同點(diǎn)對應(yīng)的電場的情況),那我們還是可以把E分解成x,y兩個(gè)分量的和,這兩個(gè)分量后面跟一個(gè)x和y方向的單位向量就行了。那么,上面的式子就可以寫成這樣:
然后,因?yàn)槭噶奎c(diǎn)乘是滿足 分配律的,所以我們可以把他們按照普通乘法一樣展開成四項(xiàng)。而x和y是垂直的單位向量,所以 x·y=y·x=0, x·x=y·y=1,然后我們最后剩下的就只有這兩項(xiàng)了(這一塊的推導(dǎo)邏輯跟“坐標(biāo)系下的矢量點(diǎn)乘”那一節(jié)一樣,覺得有點(diǎn)陌生的可以再返回去看看那一部分):
這就是電場E的散度的 最終表達(dá)式,它的意思很明顯: 我們求電場E的散度就是把矢量函數(shù)E分解成x和y方向上的兩個(gè)函數(shù),然后分別對它們求偏導(dǎo),最后再把結(jié)果加起來就行了。 為了讓大家對這個(gè)有個(gè)更直觀的概念,我們來看兩個(gè)小例子: 例1:求函數(shù) y=2x+1的導(dǎo)數(shù)。這個(gè)函數(shù)的圖像是一條直線(不信的可以自己去找一些x的值,代入進(jìn)去算算y的值,然后把這些點(diǎn)畫在圖上),它的斜率是2,也就是說導(dǎo)數(shù)是2。也就是說,對于 一次函數(shù)(最多只有x,沒有x的平方、立方……), 它的導(dǎo)數(shù)就是x前面的系數(shù)(2x前面的2),而后面的常數(shù)(1)對導(dǎo)數(shù)沒有任何影響。 例2:求電場 E=2 x+y y散度。我們先來看看這個(gè)電場E,它在x方向上(2 x)的系數(shù)是2,也就是說它的電場強(qiáng)度是不變的,一直都是2。但是,在y方向上(y y)的系數(shù)是y,也就是說當(dāng)我越來越遠(yuǎn)離y軸的時(shí)候,這個(gè)系數(shù)y也會越來越多,這就表示y方向上的電場強(qiáng)度會越來越大。 所以E=2 x+y y描述的是這樣一個(gè)在 x軸方向上不變,在 y軸方向上不斷變大的電場。要求這個(gè)電場的散度,根據(jù)上面的式子,我們得先求出電場的 偏導(dǎo)數(shù),那偏導(dǎo)數(shù)要怎么求呢?還記得我們是怎么得到偏導(dǎo)數(shù)這個(gè)概念的么?我們是固定y的值,也就是假設(shè)y的值不變,把y看作一個(gè)常數(shù),這時(shí)候求得了對x的偏導(dǎo)數(shù);同樣,把x當(dāng)做一個(gè)常數(shù),求函數(shù)對y的偏導(dǎo)數(shù)。 那么,當(dāng)我們求函數(shù)對x的偏導(dǎo)數(shù)E/x時(shí),我們可以把y當(dāng)作常數(shù)(就像例1中后面的1一樣)。如果y是常數(shù),x方向前面的系數(shù)又是2,也是常數(shù),所以這整個(gè)就變成了一個(gè)常數(shù)(常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0),所以E/x=0。同樣,當(dāng)我們求y的偏導(dǎo)的時(shí)候,就把x都看成常數(shù)(導(dǎo)數(shù)為0),而y方向前面的系數(shù)為y(導(dǎo)數(shù)為1),所以E/y=0+1=1。 那么電場E的 散度▽·E就可以表示成這兩個(gè) 偏導(dǎo)數(shù)的和: ▽·E=E/x+E/y=0+1=1,也就是說,電場E的散度為1。 這雖然是一個(gè)非常簡單的求電場散度的例子,但是卻包含了我們求偏導(dǎo),求散度的基本思想。通過這種方式,我們可以很輕松的就把電場E的散度 ▽·E求出來了。 補(bǔ)了這么多的數(shù)學(xué)和推導(dǎo),我們現(xiàn)在有了一個(gè)定義良好,計(jì)算方便的 散度▽·表達(dá)式了,但是,你還記得我們在開始講到的 散度的定義么?我們最開始是怎樣引入散度的呢? 我們是從 麥克斯韋方程組積分形式引入 散度的。 高斯電場定律說通過一個(gè)閉合曲面的電通量跟這個(gè)閉合曲面包含的電荷量成正比,而且這個(gè)曲面可以是任意形狀。然后我們?yōu)榱藦暮暧^進(jìn)入微觀,就讓這個(gè) 曲面不停地縮小縮小,當(dāng)它縮小到 無窮小,縮小到只包含了一個(gè)點(diǎn)的時(shí)候,這時(shí)候我們就說 通過這個(gè)無窮小曲面的通量和體積的比就叫 散度(用 div表示)。

也就是說,我們最開始從 無窮小曲面的通量定義來的 散度和我們上面通過 偏導(dǎo)數(shù)定義來的 散度▽·指的是同一個(gè)東西。即:

13為何這兩種散度是等價(jià)的?

很多人可能覺得難以理解,這兩個(gè)東西的表達(dá)形式和來源都完全不一樣,它們怎么會是同一個(gè)東西呢?但是它們確實(shí)是同一個(gè)東西,那我們?yōu)槭裁匆獌商讝|西出來呢?在最開始我也說了,通過 無窮小曲面的通量定義的散度很容易理解,跟麥克斯韋方程組的積分形式的通量也有非常大的聯(lián)系,但是這種定義 不好計(jì)算(上面的例2,你用這種方式去求它的散度試試?),所以我們需要找一種能方便計(jì)算、實(shí)際可用的方式,這樣才出現(xiàn)了▽·形式的散度。 至于為什么這兩種形式是等價(jià)的,我給大家提供一個(gè) 簡單的思路。因?yàn)檫@畢竟是面向大眾的科普性質(zhì)的文章,具體的證明過程我就不細(xì)說了。真正感興趣的朋友可以順著這個(gè)思路去完成自己的證明,或者來我的 社群(回復(fù)“ 社群”即可)里討論。 證明思路:我們假設(shè)有一個(gè)邊長分別為Δx、Δy、Δz的小長方體,空間中的電場為E(x,y,z),然后假設(shè)在這個(gè)長方體的正中心有一個(gè)點(diǎn)(x,y,z),那么這個(gè)電場通過這個(gè)長方體 前面(沿著x軸 正方向)電場就可以表示為: Ex(x+Δx/2,y,z)。Ex表示電場在x方向上的分量(因?yàn)槲覀兪强紤]長方體上表面的通量,所以只用考慮電場的x分量),因?yàn)橹行淖鴺?biāo)為(x,y,z),那么沿著x軸移動到表面的坐標(biāo)自然就是( x+Δx/2,y,z)。而這個(gè)面的 面積ΔyΔz,那么通過前面的電通量就可以寫成: Ex(x+Δx/2,y,z)·ΔyΔz。 同樣的,通過長方體 后面(沿著x軸的 負(fù)方向)的 電通量,就可以寫成 Ex(x-Δx/2,y,z)·ΔyΔz。因?yàn)檫@兩個(gè)面的方向是 相反的(前面后面,一個(gè)沿著x軸正方向,一個(gè)沿著負(fù)方向),所以,這兩個(gè)沿著x軸方向的面的電通量之和 Φx就應(yīng)該是兩者相減: Φx=Ex(x+Δx/2,y,z)·ΔyΔz- Ex (x-Δx/2,y,z)·ΔyΔz)。 如果我們兩邊都除以 Δv(其中, Δv=ΔxΔyΔz),那么就得到: Φx/Δv=(Ex(x+Δx/2,y,z)- Ex (x-Δx/2,y,z))/Δx,然后你會發(fā)現(xiàn)等式的右邊剛好就是 偏導(dǎo)數(shù)定義(標(biāo)準(zhǔn)的極限定義 。也就是說, 電場通過沿著x軸的兩個(gè)面(前后兩面)的通量之和就等于電場的x分量對x的偏導(dǎo)數(shù)Φx/Δv=Ex/x。 同樣的,我們發(fā)現(xiàn)電場沿著 y軸的兩面(左右兩面)和 z軸的兩面(上下兩面)的電通量之和分別就等于電場的y分量和z分量對y和z的 偏導(dǎo)Φy/Δv=Ey/y, Φz/Δv=Ez/z。然后我們把這三個(gè)式子 加起來, 左邊就是電場通過六個(gè)面的通量除以體積,也就是通過這個(gè)長方體的通量除以體積,右邊就是我們▽·E的形式,這分別就是我們上面兩種 散度的表示方式, 證明完成。 這個(gè)證明一時(shí)半會沒看懂也沒關(guān)系,感興趣的可以后面慢慢去琢磨。我只是想通過這種方式讓大家明白 通過某一方向的兩個(gè)面的通量這方向的偏導(dǎo)數(shù)之間是存在這種對應(yīng)關(guān)系的,這樣我們就容易接受 無窮小曲面的通量▽·這兩種散度的定義方式了。 這兩種散度的定義方式各有所長,比如我們在判斷某一點(diǎn)的散度是否為零的時(shí)候,我用第一個(gè)定義,去看看包含這個(gè)點(diǎn)的無窮小曲面的通量是不是為零就行了。 如果這一點(diǎn)有電荷,那么這個(gè)無窮小曲面的電通量肯定就不為零,它的散度也就不為零;如果這個(gè)無窮小曲面沒有包含電荷,那這一點(diǎn)的散度一定為0,這就是 高斯電場定律微分方程想要告訴我們的東西。但是,如果你要計(jì)算這一點(diǎn)的散度是多少,那還是乖乖的拿起▽·去計(jì)算吧。
14散度的幾何意義
此外,跟梯度一樣,散度這個(gè)名字也是非常形象的。很多人會跟你說散度表示的是“ 散開的程度”,這種說法很容易讓初學(xué)者誤解或者迷惑,比如一個(gè)正電荷產(chǎn)生的產(chǎn)生的如下的電場線,它看起來是散開的,所以很多就會認(rèn)為這里 所有的點(diǎn)的散度都是不為零的,都是正的。

但是,根據(jù)我們上面分析,散度反映的是 無窮小曲面的通量,這直接跟這一點(diǎn) 是否有電荷對應(yīng)。那么,這個(gè)圖的中心有一個(gè)正電荷,那么這點(diǎn)的散度不為零沒毛病,但是其他地方呢?其他地方看起來也是散開的,但是其他地方并沒有電荷,沒有電荷的話,其他點(diǎn)電場的散度就應(yīng)該為0(因?yàn)檫@個(gè)地方無窮小曲面的通量有進(jìn)有出,它們剛好抵消了),而不是你看起來的好像是散開的,所以為正。 也就是說, 對于一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場,只有電荷所在的點(diǎn)的散度不為0,其他地方的散度都為0。我們不能根據(jù)一個(gè)電場看起來是散開的就覺得這里的散度都不為0,那么,這個(gè) 散開到底要怎么理解呢? 你可以這么操作: 你把電場線都想象成水流,然后拿一個(gè)非常輕的圓形橡皮筋放到這里,如果這個(gè)橡皮筋的面積變大,我們就說這個(gè)點(diǎn)的散度為正,反正為負(fù)。如果你把橡皮筋丟在電荷所在處,那么這點(diǎn)所有方向都往外流,那么橡皮筋肯定會被沖大(散度為正);但是在其他地方, 橡皮筋會被沖走,但是不會被沖大(散度為0 ),因?yàn)槔锿獾臎_力抵消了。這樣的話,這種 散開的模型跟我們 無窮小曲面的通量模型就不再沖突了。

15方程一: 高斯電場定律

說了這么多,又是證明不同散度形式( 無窮小曲面的通量和▽·)的 等價(jià)性,又是說明不同散度理解方式的 同一性無窮小曲面的通量散開的程度),都是為了讓大家從更多的維度全方位的理解 散度的概念,盡量避開初學(xué)者學(xué)習(xí)散度會遇到的各種坑。理解了這個(gè)散度的概念之后,我們再來看 麥克斯韋方程組第一個(gè)方程—— 高斯電場定律微分形式就非常容易理解了:
方程的左邊 ▽·E表示電場在 某一點(diǎn)散度,方程右邊表示 電荷密度ρ真空介電常數(shù)的比值。為什么右邊要用 電荷密度ρ而不是 電荷量Q呢?因?yàn)?散度是無窮小曲面的 通量體積的比值,所以我們的電量也要除以體積, 電量Q體積V的比值就是 電荷密度ρ。對比一下它的積分形式:
兩邊都除以一個(gè)體積V,然后曲面縮小到無窮?。鹤筮叺?通量就變成了電場的 散度▽·E,右邊的 電荷量Q就變成了 電荷密度ρ,完美! 麥克斯韋方程組積分形式和 微分形式是一一對應(yīng)的,理解這種對應(yīng)的關(guān)鍵就是 理解散度(和后面的旋度)這兩種不同定義方式背后的一致性,它是溝通積分和微分形式的橋梁。理解了它們,我們就能在這兩種形式的切換之間如魚得水,我們就能一看到積分形式就能寫出對應(yīng)的微分形式,反之亦然。
16方程二: 高斯磁場定律
理解了高斯電場定律的微分形式,那么 高斯磁場定律的微分形式就能輕松寫出來了。因?yàn)楝F(xiàn)在還沒有找到磁單極子,磁感線都是閉合的曲線,所以 閉合曲面的磁通量一定恒為0,這就是 高斯磁場定律積分形式的思想:
那么,我們一樣把這個(gè)曲面縮小到無窮小,通過這個(gè) 無窮小曲面磁通量就叫 磁場的散度,那么方程的左邊就變成了磁場的散度,而右邊還是0。也就是說: 磁場的散度處處為0。所以, 麥克斯韋方程組第二個(gè)方程—— 高斯磁場定律微分形式就是:


17旋度
靜電和靜磁的微分形式我們已經(jīng)說完了,那么接下來就是 磁如何生電法拉第定律了。關(guān)于 法拉第是如何通過實(shí)驗(yàn)一步一步發(fā)現(xiàn)法拉第定律的內(nèi)容,我在積分篇里已經(jīng)詳細(xì)說了,這里就不再多說。對 法拉第定律基本思想積分形式的內(nèi)容還不太熟悉的請先去看上一篇

積分篇

的內(nèi)容。 法拉第定律是法拉第對 電磁感應(yīng)現(xiàn)象的一個(gè)總結(jié),他發(fā)現(xiàn)只要一個(gè)曲面的 磁通量(B·a)發(fā)生了改變,那么就會在曲面的邊緣感生出一個(gè) 旋渦狀電場E出來。這個(gè)旋渦狀的 感生電場我們是用電場的 環(huán)流來描述的,也就是 電場沿著曲面邊界進(jìn)行的線積分。

用具體的公式表示就是這樣:
公式左邊是 電場E的環(huán)流,用來描述這個(gè)被感生出來的電場,而公式的右邊是 磁通量的變化率,用來表示磁通量變化的快慢。 這個(gè)法拉第定律是用積分形式寫的,我們現(xiàn)在要得到它的微分形式,怎么辦?那當(dāng)然還是跟我們上面的操作一樣: 從積分到微分,我把它無限縮小就行了。那么,這里我們把這個(gè)非閉合曲面縮小縮小,一直縮小到無窮小,那么我們這里就出現(xiàn)了一個(gè) 無窮小曲面的環(huán)流。 還記得我們怎么定義散度的么? 散度就是通過 無窮小閉合曲面通量和閉合曲面 體積的比值,而我們這里出現(xiàn)了一個(gè)無窮小非閉合曲面的環(huán)流,因?yàn)榉情]合曲面就沒有體積的說法,只有 面積。那么,通過 無窮小非閉合曲面環(huán)流和曲面 面積的比值,會不會也有是一個(gè)另外什么量的定義呢? 沒錯(cuò),這確實(shí)是一個(gè)全新的量,而且這個(gè)量我們在前面稍微提到了一點(diǎn),它就是 旋度。我們把 ▽算子矢量做類比的時(shí)候,說一個(gè)矢量有三種乘法:跟標(biāo)量相乘、點(diǎn)乘和叉乘。那么同樣的, ▽算子也有 三種作用:作用在標(biāo)量函數(shù)上叫 梯度z),以 點(diǎn)乘的方式作用在矢量函數(shù)上被稱為 散度▽·z),以 叉乘的方式作用在 矢量函數(shù)上被稱為 旋度(▽× z)。 也就是說,我們讓▽算子以 叉乘的方式作用在 電場E上,我們就得到了 電場E旋度▽×E,而這個(gè)旋度的另一種定義就是我們上面說的 無窮小非閉合曲面的環(huán)流和這個(gè)曲面的面積之比。因?yàn)樾鹊挠⑽膯卧~是 curl,所以我們用 curl(E)表示 電場的旋度。所以,我們就可以寫下下面這樣的式子:
跟散度的兩種定義方式一樣,我們這里的 旋度也有 ▽×無窮小曲面的環(huán)流兩種表述方式。在散度那里,我給大家證明了那兩種散度形式等價(jià)性,在旋度這里我就不再證明了,感興趣的朋友可以按照類似的思路去嘗試證明一下。
18矢量的叉乘
因?yàn)樾仁?▽算子叉乘×的方式作用在 矢量場上,所以這里我們來簡單的看一下 叉乘。兩個(gè)矢量 AB點(diǎn)乘被定義為: A·B=| A|| B|Cosθ,它們的 叉乘則被定義為 A×B=| A|| B|Sinθ,其中θ為它們的夾角。單從這樣看,它們之間的差別好像很小,只不過一個(gè)是乘以 余弦Cosθ,另一個(gè)是乘以 正弦Sinθ。 從它們的 幾何意義來說, 點(diǎn)乘表示的是 投影,因?yàn)閨OA|Cosθ剛好就是OA在OB上的投影,也就是OC的長度。如下圖:
那么 叉乘呢?叉乘是|OA|Sinθ,這是AC的長度,那么 A×B=| A|| B|Sinθ=|AC||OB|,這是啥?這是 面積啊,如果我以O(shè)A和OB為邊長作一個(gè)平行四邊形,那么AC就剛好是這個(gè)平行四邊形的 ,也就是說,矢量 AB的叉乘( A×B=|AC||OB|)就代表了 平行四邊形OADB的面積。
關(guān)于矢量的叉乘就說這么多,在前面講矢量 點(diǎn)乘的時(shí)候我還詳細(xì)介紹了點(diǎn)乘的 性質(zhì)坐標(biāo)運(yùn)算的方法,那是因?yàn)闉榱俗匀坏囊?▽算子,不得不講那些。 叉乘也有類似的性質(zhì)和坐標(biāo)運(yùn)算的法則,這個(gè)在網(wǎng)上隨便一搜或者找一本任意矢量分析的書都能找到。而且,你現(xiàn)在不會熟練的進(jìn)行叉乘運(yùn)算,并不會影響你對 麥克斯韋方程組微分形式的理解,這里了解一下它的定義和幾何意義就行了。
19方程三: 法拉第定律
好,知道了矢量的叉乘,知道了 ▽×E可以表示 電場的旋度,而且知道旋度的定義是: 無窮小非閉合曲面的環(huán)流和這個(gè)曲面的面積之比。那我們再來回過頭看一看 法拉第定律積分形式
公式的左邊是電場的環(huán)流,右邊是磁通量的變化率,它告訴我們變化的磁通量會在曲面邊界感生出電場。我在

積分篇

里說過,磁通量( B·a)的變化可以有兩種方式: 磁場(B)的變化和 通過曲面面積(S)的變化,我們上面這種方式是把這兩種情況都算在內(nèi)。但是,還有的學(xué)者認(rèn)為只有磁場(B)的變化產(chǎn)生的電場才算法拉第定律,所以法拉第定律還有另外一個(gè)版本:

這個(gè)版本的把原來對整個(gè) 磁通量(B·da)的求導(dǎo)變成了只對 磁感應(yīng)強(qiáng)度B的求偏導(dǎo),這就把磁感線通過曲面面積變化的這種情況給過濾了。 在積分形式里有這樣兩種區(qū)別,但是在 微分形式里就沒有這種區(qū)分了。為什么?你想想我們是怎么從 積分變到 微分的?我們是讓這個(gè)曲面不停的縮小縮小,一直縮小到無窮小,這個(gè)無窮小的曲面就只能包含一個(gè)沒有大小的點(diǎn)了,你還讓它的面積怎么變?所以我們的微分形式就只用考慮 磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化就行了(對應(yīng)后面那個(gè)法拉第定律)。 我們現(xiàn)在假設(shè)把那個(gè)曲面縮小到無窮小,方程的左邊除以一個(gè) 面積ΔS,那就是 電場的旋度▽×E的定義:
左邊除了一個(gè) 面積ΔS,那右邊也得除以一個(gè) 面積,右邊本來是 磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率(B/t)和 面積的乘積,現(xiàn)在除以一個(gè)面積,那么剩下的就是磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率B/t了。那么, 麥克斯韋方程組第三個(gè)方程—— 法拉第定律微分形式自然就是這樣:
簡潔吧?清爽吧?這樣表示之后, 法拉第定律微分形式看起來就比積分形式舒服多了,而且它還只有這一種形式。直接從方程上來看,它告訴我們某一點(diǎn) 電場的旋度等于 磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率。簡單歸簡單,要理解這種公式,核心還是要理解左邊,也就是 電場的旋度▽×E。
20旋度的幾何意義
我們知道 旋度的定義是 無窮小曲面的環(huán)流和面積的比值,但是它既然取了旋度這個(gè)名字,那么它跟 旋轉(zhuǎn)應(yīng)該還是有點(diǎn)關(guān)系的。我們變化的磁場感生出來的電場也是一個(gè) 旋渦狀的電場。那么,是不是只要看起來像漩渦狀的矢量場,它就一定有旋度呢?

這個(gè)問題我們在討論 散度的時(shí)候也遇到過,很多初學(xué)者認(rèn)為只要看起來發(fā)散的東西就是有散度的,然后我們通過分析知道這是不對的。一個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生靜電場,只要在電荷處散度不為零的,在其他地方,雖然看起來是散開的,其實(shí)它的 散度。如果我們放一個(gè)非常輕的橡皮筋在上面,除了電荷所在處,其它地方這個(gè)橡皮筋是不會被撐開的(即便會被沖走),所以其他地方的散度都為零。
同樣的,在旋度這里,一個(gè)變換的磁場會產(chǎn)生一個(gè)旋渦狀的電場,在旋渦的中心,在磁場變化的這個(gè)中心點(diǎn)這里,它的旋度肯定是不為零的。但是,在其它地方呢?從公式上看,其它地方的旋度一定為零,為什么?因?yàn)槠渌胤?并沒有變化的磁場啊,所以按照 法拉第定律微分形式, 沒有變化的磁場的地方的電場的旋度肯定是0。 跟 散度一樣,我們不能僅憑一個(gè)感生電場是不是旋轉(zhuǎn)狀的來判斷這點(diǎn)旋度是否為0,我們也需要借助一個(gè)小道具: 小風(fēng)車。我們把一個(gè)小風(fēng)車放在某一點(diǎn)上,如 果這個(gè)風(fēng)車能轉(zhuǎn)起來,就說明這點(diǎn)的旋度不為0。你只要把風(fēng)車放在 感生電場中心 以外的地方,就會發(fā)現(xiàn)如果外層的電場線讓小風(fēng)車 順時(shí)針轉(zhuǎn),內(nèi)層的電場線就會讓小風(fēng)車 逆時(shí)針轉(zhuǎn),這兩股力剛好 抵消了。最終風(fēng)車不會轉(zhuǎn),所以旋度為0。

如果大家能理解 靜電場除了中心點(diǎn)以外的地方 散度處處為零,那么理解 感生電場除了中心點(diǎn)以外的地方 旋度處處為零就不是什么難事。在非中心點(diǎn)的地方, 散度的流入流出兩股力量抵消了,旋度順時(shí)針逆時(shí)針的兩股力量抵消了,為什么剛好他們能抵消呢?本質(zhì)原因還是因?yàn)?這兩種電場都是隨著距離的平方反比減弱。如果它們不遵守 平方反比定律,那么你去計(jì)算里外的散度和旋度,它們就不再為零。 關(guān)于 旋度的事情就先說這么多,大家如果理解了旋度,對比法拉第定律的積分方程,要理解它的微分方程是很容易的。我前面花了很大的篇幅給大家講了矢量的 點(diǎn)乘散度,作為類比,理解矢量的 叉乘旋度也不是什么難事,它們確實(shí)太相似了。
21方程四: 安培-麥克斯韋定律
講完了磁生電的法拉第定律,我們麥克斯韋方程組就只剩最后一個(gè)電生磁的 安培-麥克斯韋定律了。它描述的是 電流變化的電場如何產(chǎn)生 旋渦狀的感生磁場的,因?yàn)樗姷膩碓从须娏骱妥兓碾妶鰞身?xiàng),所以它的形式也是最復(fù)雜的。方程的 積分形式如下(具體過程見

積分篇

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左邊的 磁場的環(huán)流,右邊是 曲面包圍的電流(帶enc下標(biāo)的I)和 電場的變化率。它告訴我們,如果我們畫一個(gè) 曲面, 通過這個(gè)曲面的電流和這個(gè)曲面里電通量的變化會在曲面的邊界感生出一個(gè)旋渦狀的磁場出來,這個(gè)旋渦狀的磁場自然是用 磁場的環(huán)流來描述。 可以想象,當(dāng)我們用同樣的方法把這個(gè)曲面縮小到無窮小的時(shí)候,如果我們在方程的左右兩邊都除以這個(gè)曲面的面積,那么方程的左邊就成了 磁場B的旋度▽×B,右邊的兩項(xiàng)除以一個(gè)面積會變成什么呢? 電通量的變化率除以面積之后就剩下電場的變化率E/t,這個(gè)跟法拉第定律的磁通量變化率除以面積類似。那么 電流(帶enc的I)那一項(xiàng)呢? 電流I除以 面積得到的東西是什么?這里我們定義了一個(gè)新的物理量: 電流密度J。很顯然,這個(gè) 電流密度J就是 電流除以電流通過的曲面的 面積(注意不是 體積)。相應(yīng)的,電流密度的單位是 A/m(安培每平方米)而不是A/m。 這樣, 麥克斯韋方程組第四個(gè)方程—— 安培-麥克斯韋定律微分形式就自然出來了:
雖然還是有點(diǎn)長,但是相比積分形式已經(jīng)是相當(dāng)良心了,它告訴我們某一點(diǎn) 感生磁場的旋度▽×B等于 電流密度J電場變化率E/t兩項(xiàng)的疊加。其實(shí)它跟積分形式講的都是一回事,都是在說電流和變化的電場能夠產(chǎn)生一個(gè)磁場,只不過 積分形式是針對一個(gè) 曲面,而 微分形式只是針對一個(gè) 點(diǎn)而已。
22麥克斯韋方程組
至此,麥克斯韋方程組的 四個(gè)方程:描述 靜電高斯電場定律、描述 靜磁高斯磁場定律、描述 磁生電法拉第定律和描述 電生磁安培-麥克斯韋定律微分形式就都說完了。把它們都寫下來就是這樣:
高斯電場定律電場的散度跟這點(diǎn)的電荷密度成正比高斯磁場定律磁場的散度處處為0。 法拉第定律感生電場的旋度等于磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化率。 安培-麥克斯韋定律感生磁場的旋度等于電流密度和電場強(qiáng)度變化率之和。 這里最引入注目的就是 ▽算子了,它以 點(diǎn)乘叉乘的方式組成的 散度▽·旋度▽×構(gòu)成了 麥克斯韋方程組微分形式的核心,這也是為什么我要花那么大篇幅從 偏導(dǎo)數(shù)、 矢量點(diǎn)乘一步步給大家引出 ▽算子的原因。也因?yàn)槿绱?,微分篇的?shù)學(xué)部分比積分篇要多得多得多,相對也要難以理解一些,所以大家要稍微有耐性一點(diǎn)。

從思想上來講, 微分形式和 積分形式表達(dá)的思想是一樣的,畢竟它們都是麥克斯韋方程組。它們的差別僅僅在于 積分形式是從 宏觀的角度描述問題,我們面對的 宏觀上的曲面,所以要用 通量環(huán)流來描述電場、磁場;而 微分形式是從 微觀的角度來描述問題,這時(shí)候曲面縮小都 無窮小,我們面對的東西就變成了一個(gè) 點(diǎn),所以我們使用 散度旋度來描述電場、磁場。 這一點(diǎn)是特別要強(qiáng)調(diào)的: 通量環(huán)流是定義在 曲面上的,而 散度旋度是定義在一個(gè) 點(diǎn)上的。我們可以說通過通過一個(gè)曲面的 通量或者沿曲面邊界的 環(huán)流,但是當(dāng)我們在說 散度旋度的時(shí)候,我們都是在說 一個(gè)點(diǎn)散度旋度。

理解了這些,你再回過頭去看看 麥克斯韋方程組積分形式

我們只不過把定義在 曲面上的 通量環(huán)流縮小到了 一個(gè)點(diǎn),然后順勢在這個(gè)點(diǎn)上用利用通量和環(huán)流定義了 散度旋度。因?yàn)槎x散度和旋度分別還除了一個(gè) 體積面積,所以我們積分方程的右邊也都相應(yīng)的除了一個(gè)體積和面積,然后就出現(xiàn)了 電荷密度ρ(電荷Q除以 體積V)和 電流密度J(電流I除以 面積S), 電通量磁通量那邊除以一個(gè)體積和面積就剩下電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B的變化率,僅此而已。 如果我們從這種角度去看麥克斯韋方程組的積分形式和微分形式,你就會覺得非常的自然和諧。給出積分形式,你一想散度和旋度的定義,就可以立馬寫出對應(yīng)的微分形式;給出微分形式,再想一想散度和旋度的定義,也能立刻寫出對應(yīng)的積分形式。當(dāng)我想從宏觀入手的時(shí)候,我看到了 曲面上的 通量環(huán)流;當(dāng)我想從微觀入手的時(shí)候,我也能立馬看到 一個(gè)點(diǎn)上的 散度旋度。積分和微分形式在這里達(dá)成了一種和諧的統(tǒng)一。
23結(jié)語
到這里,麥克斯韋方程組的 積分篇微分篇就都說完了。 長尾君在這兩篇文章里先從零開始引出了 通量,然后從通量的概念慢慢引出了 麥克斯韋方程組積分形式,再從積分形式用“ 把曲面壓縮到無窮小”推出了對應(yīng)的 微分形式。整個(gè)過程我都極力做到“ 通俗但不失準(zhǔn)確”,所有新概念的引出都會先做層層鋪墊,絕不從天而降的拋出一個(gè)新東西。目的就是為了讓多的人能夠更好的了解麥克斯韋方程組,特別是讓 中學(xué)生也能看懂,能理解麥克斯韋方程組的美妙,同時(shí)也激發(fā)出他們對科學(xué)的好奇和熱愛之心,打消他們對“高深”科學(xué)的 畏懼之心: 看,這么高大上的麥克斯韋方程組,年紀(jì)輕輕的我也能看懂,也能掌握~ 此外,麥克斯韋方程組是真的很美,你掌握的物理知識越多,就會越覺得它美。我也更希望 大家是因?yàn)樗拿蓝矚g這個(gè)方程組,而不僅僅是因?yàn)樗摹爸匾浴?/strong>。我們也都知道,麥克斯韋寫出這套方程組以后,就從方程推導(dǎo)出了 電磁波,當(dāng)他把相關(guān)的參數(shù)代入進(jìn)去算出電磁波的速度的時(shí)候,他驚呆了!他發(fā)現(xiàn)這個(gè) 電磁波的速度跟人們實(shí)驗(yàn)測量的 光速極為接近,于是他給出了一個(gè)大膽的預(yù)測: 光就是一種電磁波。

可惜的是,英年早逝的麥克斯韋(48歲去世)并沒能看到他的預(yù)言被證實(shí),人類直到他去世9年后,也就是1888年才由赫茲首次證實(shí)了“光是一種電磁波”。那么, 麥克斯韋是怎么從方程組導(dǎo)出電磁波的呢?既然我們已經(jīng)學(xué)完了 麥克斯韋方程組,想必大家也很知道如何從這套方程組推導(dǎo)出電磁波的方程,然后親眼見證“ 電磁波的速度等于光速”這一奇跡時(shí)刻。這部分的內(nèi)容, 長尾科技下篇文章再說。
最后,這篇文章主要參考了《 電動力學(xué)導(dǎo)論》(格里菲斯)和《 麥克斯韋方程直觀》(Daniel Fleisch),大家想對麥克斯韋方程組做進(jìn)一步了解的可以看看這兩本書,需要電子檔的可以在后臺回復(fù)“ 麥克斯韋方程組”。 最美的方程,愿你能懂她的美~ 

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