古希臘聯(lián)軍第一勇士阿基里斯永遠也追不上一只烏龜，這是為什么呢？公元前495年，古希臘傳說中有一位跑的最快的英雄阿基里斯，希臘聯(lián)軍第一勇士，海洋女神忒提斯和英雄珀琉斯之子。阿基里斯出生后，忒提斯捏著他的腳踝將他浸泡在冥河斯堤克斯中，使他全身刀槍不入，唯有腳踝被忒提斯手握著，沒有浸到冥河水，這是他唯一的弱點。在特洛伊戰(zhàn)爭中他被敵人射中腳踝而死。

有一天，阿基里斯遇到了一只烏龜。烏龜對阿基里斯說：'別看你跑得快，你永遠也追不上我。' 阿基里斯不相信的問：'為什么呢？'烏龜向他解釋道：開始比賽時，阿基里斯在后方A處，烏龜在前方B處，二者同時起跑。阿基里斯要追上烏龜，首先要追上烏龜先跑的一段路程AB，但是在這段時間烏龜也在向前跑，當阿基里斯到達B處時，烏龜已經(jīng)跑到了C處，還沒有追上。雖然此時BC的距離小于AB的距離。阿基里斯會繼續(xù)跑BC這一段，但是這段時間烏龜也沒閑著啊，跑到了D處，雖然CD小于BC，但是阿基里斯還是沒有追上烏龜。以此類推，阿基里斯和烏龜之間的距離只能不斷縮小，但是永遠都不會變?yōu)榱恪Ｋ?，阿基里斯就永遠追不上烏龜啦。

這就是著名芝諾悖論。所謂悖論，一般是指同一個命題中有兩個對立相反的結論。有的人嗤之以鼻，這是謬論！悖論本來指的就是推理的結論與常識相矛盾，卻不能發(fā)現(xiàn)邏輯上的漏洞。同樣似是而非的東西，如果一眼就能看得穿，不需要什么腦筋，叫'胡攪蠻纏'。如果讓人反復思考仍不得其解，那就上了檔次，叫'悖論'。悖論的價值在于促進人們思考。它的解決往往帶來的觀念的突破和新的理論建立。

而芝諾對于阿基里斯追烏龜問題的解釋不是推出對立的結論，而是完全違背常理，其實稱為詭辯更加合適。 這個詭辯錯在哪？要推翻這個詭辯其實也不難。芝諾將一個追及過程分割成無限多份，并且認為：既然段數(shù)無窮多，累加起來的時間自然也是無窮長，所以追不上。但是實際上，由于阿基里斯速度大，烏龜速度小，兩人之間的距離會越來越短。如果阿基里斯追了無窮多段，下次再追及的距離就是無窮小。這就是無窮小到底是不是0的問題。也就是第二次數(shù)學危機的核心問題。

據(jù)此古希臘哲學家芝諾（Zeno）提出了一系列關于運動不可分性的哲學悖論，二分法悖論就是其中之一。直到19世紀末，數(shù)學家們才為無限過程的問題給出了形式化的描述，類似于0.999……等于1的情境。那么究竟我們是如何到達目的地的呢？二分法悖論只是空谷傳音般放大了問題。若想妥善解決這個問題，還得靠物質、時間和空間是否無限可分等等這些20世紀的衍生理論。

芝諾比孔子略遲，比莊子要早。莊子曰：'一尺之捶，日取其半，萬世不竭。' 說的就是一根一尺長的木棍，每天砍掉它的一半，無論經(jīng)過多久都砍不光。的確，我們可以把木棍分割成越來越短的無限多份，但是加起來依然是一根木棍那么長，這與芝諾悖論多么相似！

今天所有學過高等數(shù)學的讀者也許都能看出二分悖論的誤區(qū)，那就是將一個無窮級數(shù)的項數(shù)無窮與結果無窮混為一談了。在適當?shù)膯挝幌拢帚Ｕ撍婕暗臒o窮級數(shù)是1/2＋1/4＋…，項數(shù)是無窮的，結果卻并不因項數(shù)無窮就成為無窮，而僅僅是1，是有限的。因此無論是那無窮多個中點，還是兩兩之間那無窮多段路徑，都能在有限時間內走完。

當然，二分悖論并不是等到高等數(shù)學出現(xiàn)之后才被反駁的。在歷史上，亞里士多德在《物理學》一書中就給出了一個很漂亮的反駁，要點是指出芝諾只對空間進行了無窮分割，卻忘記了同樣的手法也可用于時間。只要對時間和空間作同樣的無窮分割，走完芝諾分割出的無窮多個中點（或兩兩之間的無窮多段路徑）就只需有限的時間，因為那實際上是從用有限時間中分割出的無窮多個時間點（或兩兩之間的無窮多段時間）來完成的。亞里士多德還指出，無論對空間、時間還是其他連續(xù)之物，我們談論它們的'無窮'時必須區(qū)分兩種含義：一種是分割意義上的無窮，一種是延伸意義上的無窮，芝諾混淆了兩者故而得出了錯誤結論。

亞里士多德的這一表述跟我們通過無窮級數(shù)表述的看法有異曲同工之處，'分割意義上的無窮'相當于項數(shù)無窮，'延伸意義上的無窮'相當于結果無窮，將兩者混為一談正是二分悖論的誤區(qū)。只不過亞里士多德用的是芝諾自己的手法，可謂'以子之矛，攻子之盾'或曰'以毒攻毒'，是論辯的高招。

雖然同屬古希臘的亞里士多德就已對芝諾的悖論做出過相當一針見血的分析或反駁，但跟那個時代其他很多如今看來幼稚的學說相比，芝諾的悖論顯然有著強得多的生命力，時至今日，仍不僅能將普通人繞進去，甚至能讓哲學家陷入爭論。從數(shù)學的角度看，上面這兩種芝諾的悖論實際上是對涉及無窮的種種精微之處的早期困惑。從這種困惑中，芝諾還提出過對無窮大的否定，理由是——據(jù)后人記述——'事物必須與自身一樣多，不能更多也不能更少'，而無窮大不與自身一樣多，因此該被否定。什么叫做無窮大不與自身一樣多？一種很可能的猜測是，芝諾注意到了無窮集合的一個特點，那就是無窮集合可以與自身的某些真子集一一對應。空間是無限可分的。而無限的細分部分加在一起無法等于整體。

第二個是公元前212年阿基米德（Archimedes），他把每次追趕的路程相加起來計算阿基里斯和烏龜?shù)降着芰硕噙h。這問題歸結為無窮級數(shù)求和的問題。他用個巧妙的方法算出等比級數(shù)的和。說明阿基里斯和烏龜?shù)乃俣热绻杀壤脑挘麄€追趕過程是在有限的長度中。

在這種特例之外的情況，一直到了十九世紀柯西關于收斂性研究后才有了明確的答案。這結果是按照阿基米德的思路和收斂性研究的結果。結論是按照阿基里斯比烏龜快的條件，可能有兩種結果。如果這個追趕的路程相加起來的無窮級數(shù)求和收斂，這個過程是在有限的長度中，否則不是有限的。在后者情況阿基里斯確實追不上烏龜。

從這些方面看，芝諾可謂是最早對無窮這一概念進行深入思考的古希臘先賢，芝諾的悖論絕非幼稚之論，甚至也并非普通的詭辯，而是一段漫長探索的起點。為無窮這一概念建立可靠基礎后來成了數(shù)學家和邏輯學家長期努力的目標。德國數(shù)學家大衛(wèi)·希爾伯特（David Hilbert）在與保羅·伯奈斯（Paul Bernays）合著的《數(shù)學基礎》一書中曾經(jīng)表示，從數(shù)學上講，能否真正解決芝諾的悖論，關鍵是能否給出一個關于連續(xù)統(tǒng)的自洽的數(shù)學理論。這就把芝諾的悖論當做了那時正處于熱議中的數(shù)學基礎研究的重要組成部分（'連續(xù)統(tǒng)'指的是實數(shù)集，是數(shù)學基礎研究的重要對象）。

我們可以編出一個不收斂的例子如下：烏龜領先阿基里斯1尺，當阿基里斯趕上這1尺時，烏龜又爬了1/2尺，阿基里斯趕上這1/2尺時，烏龜又爬了1/3尺，阿基里斯趕上這1/n尺時，烏龜又爬了1/(n+1)尺，如此等等。阿基里斯確實比烏龜快，它們的距離每次都在縮短，但確實永遠也追不上。這個賦值的故事是調和級數(shù)求和，結果是無窮大。這時芝諾的推理與事實相符了，悖論成了佯謬，要糾正的是常識而不是推理。我們一般不再考慮這種情況了，專注于有爭議的收斂情況的解釋。

到了這里，大家都覺得這個悖論已經(jīng)被破解了。其實不然。阿基米德的思路確實是沿著芝諾追趕過程的邏輯走。把這個過程描寫成無窮級數(shù)求和的問題，給出整個追趕是在多長的范圍內。芝諾的邏輯說這個差距在追趕的過程中永遠存在，不會是零，所以不會被超越。對應著無窮級數(shù)求和是一個逼近的過程，它可以無限逼近它的極限值，但永遠不會達到。因此阿基米德和現(xiàn)代級數(shù)收斂計算的結果只是給出了悖論常識一方可能被超越時的邊界數(shù)值，而沒有跨過這永遠不會為零的間隙。

在收斂的情況下，阿基里斯事實上能夠達到這個極限點從而超越，然而在邏輯上，這與無窮級數(shù)求和只能無限逼近它的極限值仍然構成悖論矛盾的雙方。到底阿基里斯能不能追上烏龜，等價于這無窮級數(shù)求和能不能等于它的極限值。這就要涉及到數(shù)學上實無窮和潛無窮的哲學爭論了。實無窮認為無窮是可以達到的，當阿基里斯追上烏龜時便是這種情況，這時無窮級數(shù)的和等于它的極限值。潛無窮認為無窮是一個過程，不是實在的東西。在這個觀點下，無窮級數(shù)求和只能不斷逼近它的極限，而不是等于它。這個觀點導致阿基里斯永遠陷在追趕烏龜?shù)倪^程中。

畢達哥拉斯學派主張1>0.9999... 是贊成潛無窮觀點。用實無窮雖然可以解釋許多結果，但是它的使用產(chǎn)生出很多問題，很多人并不支持。在他以后的亞里士多德傾向潛無窮但在阿基里斯與烏龜?shù)膯栴}上含糊其辭，這時大家對無窮都很頭疼，以后的數(shù)學家從歐幾里德開始，都盡量回避無窮的問題，專注于談得清的有限問題。一直到牛頓和萊布尼茨的微積分，又采用了實無窮的概念，將導數(shù)表示為兩個無窮小之比，積分為許多無窮小的加權和，得出豐碩的成果。實無窮的思想回潮和濫用，又產(chǎn)生了很多問題和混亂，以致貝克萊把這些矛盾組合成悖論來反對微積分，導致數(shù)學第二次危機。到了魏爾斯特拉斯，他驅逐了實無窮，由潛無窮的概念發(fā)展出嚴謹?shù)臉O限概念，重鑄分析的基礎。百多年后，康托爾又在集合論中將實無窮請回來。在20世紀60年代，魯濱遜又把無窮小量請了回來，從而建立了非標準分析。數(shù)學的直覺主義學派如今仍然反對實無窮。以致希爾伯特感嘆說：'無窮是一個永恒的謎！'

芝諾的阿基里斯與烏龜?shù)你Ｕ摰钠平猓?jīng)過兩千多年兜了一圈又回到實無窮與潛無窮的爭論中去。今日人們實用主義地在不同場合分別使用這兩種概念。這當然是一種未澄清的矛盾狀態(tài)。到現(xiàn)在，中外數(shù)學，物理和哲學期刊里還不時有著討論實無窮，潛無窮及芝諾悖論的論文。爭論仍然沒有結束。

由上述問題可以看出，在沒有極限這個工具之前，人們遇到諸如阿基里斯不能跑過烏龜這樣的悖論時，顯得束手無策。而且無窮學說的提出，引起了數(shù)學界的巨大混亂。即使偉大的數(shù)學家牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立微積分時，還沒有給出極限嚴密的數(shù)學定義，直到柯西這個大神出現(xiàn)，他給出了極限的數(shù)學定義，正是有了極限這個工具才能解決了讓無數(shù)數(shù)學家煩惱不已的問題。從這個角度，我們稱柯西是近現(xiàn)代數(shù)學分析的奠基人一點兒都不為過，把極限稱為高數(shù)的靈魂就應該是理所當然。

最后讓我們用英國哲學家阿爾弗雷德·懷特海（Alfred Whitehead）的話來為芝諾的悖論蓋棺論定。懷特海曾經(jīng)表示，雖然所有人都不認同芝諾的結論，但'每個世紀都認為他值得反駁'，這就非常了得，因為'文字能被每個世紀所反駁乃是成就之巔峰'。所以我們在分析問題的時候，千萬不要被慣性思維誤導，在問題的關鍵中尋找漏洞，也許可以將看似堅不可摧的邏輯悖論破解！