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動圖展示|線性規(guī)劃全解

 FX_WBQ 2019-11-08

二元線性規(guī)劃問題,是高考的常考題型,主要處理二元目標函數(shù)的最值,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。

線性規(guī)劃問題的處理,關(guān)鍵在于正確理解不等式表示的區(qū)域,以及對于各種二元代數(shù)式特征的認識,尤其是對代數(shù)式幾何意義的理解。

不等式表示的區(qū)域

01

作圖關(guān)鍵:

線定界、點定域

02

03

一般來說,線性不等式組表示的區(qū)域如果是封閉圖形,一定是多邊形。在尋找該區(qū)域時,要遵循“線定界、點定域”的原則,可將直線表示成斜截式的形式:

y<kx+b表示直線下方區(qū)域,

y>kx+b表示直線上方區(qū)域。

04

作出不等式表示的區(qū)域,是解決線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ),除了線型不等式,曲線型不等式表示的區(qū)域,也須能夠處理。

但其實,處理的思路基本都是不變的:線定界、點定域而已。

線性規(guī)劃模型

截距型

其實,如果僅是客觀題,可以直接將區(qū)域的三個頂點坐標代入,得到的值中最大或最小值即為目標函數(shù)相應(yīng)最值。

目標函數(shù)取最大值時,直線處于最高還是最低處,主要取決于斜截式中的縱截距中是否含有負號。

距離型

凡是平方和的形式,都可構(gòu)造為兩點間的距離公式,或圓的半徑。

絕對值的問題,除了直接用截距型方法,求得絕對值內(nèi)代數(shù)式范圍后再轉(zhuǎn)化為絕對值外,也可以看作點到直線的距離,用幾何法處理。

我一般認為,在代數(shù)式中具有幾何意義的量,主要有三個:平方和、絕對值分式

平方和一般可理解為兩點間距離,絕對值可理解為點到直線的距離。

當然,分式就是大家所熟知的直線的斜率了。

斜率型

直線斜率由兩種算法可得,一是傾斜角,另一便是兩點坐標。因此,分式型代數(shù)式最基本的幾何形態(tài)便是斜率。

分式的幾何形態(tài)是直線的斜率,但有時并非表象,可以作適當化簡后,結(jié)合直線的知識,重新構(gòu)造斜率。

其實,線性規(guī)劃問題,有時在考題中出現(xiàn)還是比較隱秘的。

那么,我們解決的關(guān)鍵就在于對線性規(guī)劃的理解了。

一般我認為,對于二元代數(shù)式的最值或值域問題的處理:

首選方法為基本不等式法,只是它的作用是有限的,只能求代數(shù)式單側(cè)的最值;

其次可以考慮消元法,尤其是如果有條件等式的話,消元法應(yīng)該是一種常規(guī)解法了。當然,如果沒有條件等式,換元消元也是一種很好的思路;

再其次應(yīng)該就是線性規(guī)劃了,只是線性規(guī)劃中一般含有條件不等式,如果只有條件等式,但又不便于消元,那么就可以按照線性規(guī)劃的思路去處理,只是我們一般說叫數(shù)形結(jié)合,但其本質(zhì)依然是線性規(guī)劃。

總之,條件不等式下的二元代數(shù)最值問題,肯定是線性規(guī)劃問題了。

來源:素人素言(ID:Pengxidong666),作者:彭西東;如存在文章/圖片/音視頻使用不當?shù)那闆r,或來源標注有異議,請聯(lián)系微信:ABC-shuxue處理。

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