一、三垂直模型的概念

我們在學習勾股定理的時候，學習了多種證明方法，其中有一種方法叫做總統(tǒng)證法，是1875年美國總統(tǒng)加菲爾德證明的，他將兩個全等的三角形△ABC≌△CDE，拼成如圖形狀，使得B、C、D三點共線，易得△ACE為等腰直角三角形，四邊形ABDE為直角梯形，假設三角形三邊長分別為a，b，c，則四邊形ABDE的面積可用兩種方法表示：

S=1/2ab+1/2ab+c2=1/2(a+b)(a+b)

整理可得a2+b2=c2

這就是勾股定理的總統(tǒng)證法。上面這個圖形。我們把它稱為三垂直模型，這個模型有以下幾個結論：1、△ABC≌△CDE

2、△ACE是等腰直角三角形

3、BD=AB+DE

其實，三垂直模型可以看做是由弦圖模型得來的，如下圖，弦圖模型分為內(nèi)弦圖和外弦圖，是由四個全等的直角三角形拼接而成的，將外弦圖的兩個三角形拿掉，就得到了三垂直模型。

當然從內(nèi)弦圖中還可以得到三垂直模型的變形：

以上所述三垂直是由兩個全等的直角三角形拼成的，這樣的三垂直我們把它叫做全等型三垂直，那么如果是兩個相似的直角三角形拼成如圖形狀，就變成了相似型三垂直，相似型三垂直有如下結論：

1、△ABC∽△CDE

2、AB:CD=BC:DE=AC:CE

三垂直的應用非常廣泛，在三角形、四邊形、平面直角坐標系、網(wǎng)格、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、圓中都會出現(xiàn)，在中考等大型考試中也是?？純?nèi)容，所以大家一定要熟練掌握。

二、三垂直模型的構造方法：

一般情況下，碰到斜著放置的等腰直角三角形，要想到在直角頂點所在的直線上構造全等型三垂直，若碰到的是一般的直角三角形，則在直角頂點所在的直線上構造相似型三垂直。

在下列各圖中構造出三垂直模型：

1、△OCD為等腰直角三角形                        

2、四邊形OABC為正方形

3、△OAB為直角三角形

三、三垂直在不同領域的應用

1、在三角形中

例1：如圖，直線l過等腰直角三角形ABC頂點B，A、C兩點到直線l的距離分別是2和3，則AB的長是         .

例2：如圖，在△ABC中，∠C=90°,D、E分別為BC、AC上一點，BD=AC，DC=AE，BE與AD交于點P，則∠ADC+∠BEC=          .

2、在矩形中

如圖,點是矩形ABCD的邊CD上一點,把△ADE沿AE對折,使點D恰好落在BC邊上的F點處。已知折痕AE=10√5cm，且CE:CF=3:4，那么該矩形的周長為          .

簡答：

如圖，紅色部分看做相似型三垂直模型，根據(jù)CE：CF=3：4，設CE=3k、CF=4k，利用勾股定理列式求出EF=5k，由折疊知DE=5k，根據(jù)矩形的性質(zhì)得AB=8k，由△ABF∽△FCE得BF=6k，AF=10k，根據(jù)勾股定理求得AE=5√5k，由已知得5√5k=10√5，因此k=2，從而周長為72．

針對練習：

1、如圖所示,將矩形紙片ABCD按如圖方式折疊,EF、EC為折痕,折疊后點A落在邊CD的A處,點B落在邊A′E的B'處.若A′D=4,BC=8,則AE的長是        .

2、如圖矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應點D′落在∠ABC的角平分線上時，DE的長為_____ 。

3、在一次函數(shù)中

平面直角坐標系中，點A（4,2），過點O作一條直線與OA夾角為45°，求該直線解析式。

簡答：將直線OA逆時針旋轉(zhuǎn)45°，過A點做垂線交于C點，則△OAC為等腰直角三角形，構造三垂直，如圖紅色部分，設AB=t，則CD=t，因為A（4,2），則OD=BC=t+2，BD=t+t+2=4，解得t=1，因此C點坐標（1,3），從而直線解析式為y=3x.若將直線OA 順時針旋轉(zhuǎn)45°，同樣的方法，可得另一條直線y=-1/3x

針對練習：

已知,如圖,直線y=﹣2x＋2與坐標軸交于A、B兩點．以AB為短邊在第一象限做一個矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1﹕2.求C、D兩點的坐標

4、在反比例函數(shù)中

如圖,已知點A. B分別在反比例函數(shù)y=1/x(x>0),y=?4/x(x>0)的圖象上,且OA⊥OB,則OB/OA的值為        。

簡答：

過點A作AM⊥y軸于點M，過點B作BN⊥y軸于點N，構造三垂直。

由△AOM∽△OBN，

∵點A,B分別在反比例函數(shù)y=1/x(x>0)，y=?4/x(x>0)的圖象上，

∴S△AOM：S△BON=1：4，

∴AO：BO=1：2，

∴OB：OA=2.

針對練習：

5、在三角函數(shù)中

已知α、β均為銳角，tanα=1/2，tanβ=1/3，則α+β=        。

簡答：

構造三垂直如圖：

設CM=k，則AM=2k，由△AMC∽△CNB可求得BN=1/3k，CN=2/3k，作BD⊥AM，則BD=MN=5/3k，AD=AM-MD=AM-BN=2k-1/3k=5/3k，所以α+β=45°.

也可以用網(wǎng)格來構造：

6、在二次函數(shù)中

如圖,經(jīng)過點A(0，-6)的拋物線y=1/2x2+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點. 
(1)求此拋物線的函數(shù)關系式和頂點D的坐標; 
(2)判斷△ADC的形狀,并說明理由; 

簡答：

（1）略，答案：y=1/2x2-2x-6

（2）過D點作y軸的垂線交y軸于E點，分別求出以下線段長度：OC=6，OA=6，AE=2，DE=2,因此△AED和△COA均為等腰直角三角形,∴∠CAD=90°，即△ADC為直角三角形。

針對練習：

1、如圖,經(jīng)過點A(0，-6)的拋物線y=1/2x2+bx+c與x軸相交于B(-2,0),C兩點. 
（1）求此拋物線的函數(shù)關系式和頂點D的坐標; 

（2）在該拋物線對稱軸上是否存在一點D，使得△ACD是以D為直角頂點的直角三角形，若存在，求出點D的坐標。

2、在平面直角坐標系xoy中，點P是拋物線y=x2上第一象限內(nèi)的一個動點，連接OP，過O點做OP的垂線，交拋物線于另一點Q，設點P的橫坐標為m，則點Q的坐標為           。