將其代入Y方程并進(jìn)行分離變量處理，最終獲得如下2個(gè)方程：

 

7.3 量子數(shù)及其意義

      可以證明，為滿(mǎn)足波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件，能量E必須滿(mǎn)足：

可以寫(xiě)為：L²Y＝l(l+1)Y，

      從而說(shuō)明，量子數(shù)l是與角動(dòng)量模有關(guān)的一個(gè)量子數(shù)。角動(dòng)量模sqrt(l(l+1))是量子化的。l稱(chēng)為角量子數(shù)。

      最后，發(fā)現(xiàn)m只能取值 m＝0,±1,±2,…,±l。由前面的Φ方程            

經(jīng)積分電流一周，獲得相應(yīng)的磁矩為：

 

      各量子數(shù)的意義總結(jié)如下：

      n決定電子在核外空間出現(xiàn)概率最大的區(qū)域離核的遠(yuǎn)近，并且是決定電子能量高低的主要因素。

      l決定原子軌道的形狀，并且是多電子原子中決定電子能量高低的次要因素。

      m決定原子軌道在空間的伸展方向。m有幾個(gè)取值, 就有幾種空間伸展方向。

      從上頁(yè)的方程可知，對(duì)于每個(gè)主量子數(shù)n，角量子數(shù)l可以有n個(gè)不同取值，而對(duì)于每個(gè)角量子數(shù)l，磁量子數(shù)m可以有2l＋1個(gè)不同取值。因?yàn)槊咳齻€(gè)量子數(shù)的一個(gè)組合就確定了系統(tǒng)的一個(gè)量子態(tài)，所以每一個(gè)給定的主量子數(shù)n所對(duì)應(yīng)的量子態(tài)個(gè)數(shù)為：

7.4 角動(dòng)量方向及其量子化

 

      由左邊關(guān)系可推測(cè)出磁量子數(shù)與角動(dòng)量z分量的對(duì)應(yīng)性。我們?cè)俅慰吹?，量子力學(xué)中角動(dòng)量不能象經(jīng)典力學(xué)那樣用一個(gè)矢量來(lái)表達(dá)，由原點(diǎn)發(fā)出的每個(gè)角動(dòng)量矢只能利用上圖所示的一個(gè)圓錐面來(lái)表達(dá)。即，角動(dòng)量矢量的模和在z方向的投影長(zhǎng)度是確定的，而它在xy平面的指向則呈現(xiàn)類(lèi)似電子云般的均勻概率分布。

7.5 能級(jí)

能級(jí)和光譜線(xiàn)系列

      主量子數(shù)n決定能級(jí)，電子在不同能級(jí)之間躍遷伴隨著相應(yīng)能量的改變，以吸收或放出光子的形式表現(xiàn)出來(lái)，這就是光譜線(xiàn)的來(lái)源。

 

      我們看到，和波爾模型類(lèi)似，只要知道電子初態(tài)和終態(tài)兩個(gè)量子數(shù)，通過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算就可精確地得到光譜線(xiàn)波長(zhǎng)。過(guò)去人們實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的賴(lài)曼系、巴耳末系等光譜線(xiàn)系列，只是代表了終態(tài)相同而初態(tài)不同的一系列發(fā)射光子的過(guò)程。然而，波爾是基于電子有軌道的概念獲得的公式，我們這里的電子并沒(méi)有軌道，有的只是電子云，然而電子的能級(jí)確是量子化的。正是兩者能級(jí)的一致性，才導(dǎo)致了輻射公式的一致。然而，當(dāng)考慮了下一節(jié)將論述的角動(dòng)量效應(yīng)導(dǎo)致的光譜線(xiàn)精細(xì)結(jié)構(gòu)后，波爾公式將不再適應(yīng)了。

?塞曼效應(yīng)－磁量子數(shù)在光譜線(xiàn)精細(xì)結(jié)構(gòu)上的反映

      當(dāng)沒(méi)有外加磁場(chǎng)時(shí)，主量子數(shù)n相同的所有態(tài)的譜線(xiàn)都重合在一起，不可區(qū)分。在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，譜線(xiàn)發(fā)生分裂。如下圖所示，對(duì)于角量子數(shù)l=1的情形，譜線(xiàn)分裂為磁量子數(shù)m=-1,0,1三條譜線(xiàn)。

      對(duì)與l=2的情形，譜線(xiàn)將分裂為磁量子數(shù)m=-2,-1,0,1,2五條譜線(xiàn)。并且，l=2的譜線(xiàn)分裂后與l=1的并不重合。    

7.6 波函數(shù)形態(tài)

徑向波函數(shù)

方位波函數(shù)

7.7 徑向與方位組合形成最終的波函數(shù)

 

      此處借用了經(jīng)典術(shù)語(yǔ)“軌道”，這并不是表示電子確是運(yùn)行在經(jīng)典力學(xué)概念的某種軌道中，這里的軌道實(shí)際上只是用來(lái)區(qū)別不同波函數(shù)電子云的形態(tài)。s軌道的波函數(shù)在各個(gè)方向上完全相同，它具有中心對(duì)稱(chēng)的特點(diǎn)。下面我們來(lái)具體看一下在n取不同值的情形下其波函數(shù)的具體形式。

 

      圖中的4行圖片分別對(duì)應(yīng)著主量子數(shù)n的4種取值，最左列給出了相應(yīng)徑向波函數(shù)的公式與圖形，右上角處則給出了方位波函數(shù)的公式與圖形。兩者的乘積給出了完整的波函數(shù)，它的電子云表示由次末列的圖像表達(dá)，它用亮度刻畫(huà)了電子在(x,z)平面各處的存在幾率。由于在xy平面存在各向同性，將圖形沿z軸旋轉(zhuǎn)一周將得到電子在3維空間各處的幾率分布。

      我們看到，在波動(dòng)方程描述的氫原子里，我們?cè)僖膊荒艿弥娮釉诿恳粫r(shí)刻確切的空間位置，再也沒(méi)有軌道的概念。我們得到的只能是電子在空間各處出現(xiàn)的幾率。薛定諤的波函數(shù)顯示電子總是處于幾率云中，幾率大的地方出現(xiàn)的概率大，幾率小的地方出現(xiàn)的概率小。并且隨著主量子數(shù)n的增多，電子云的密集環(huán)帶個(gè)數(shù)也增多。

      最末一列則對(duì)3維電子云繪出了包絡(luò)曲面(即只把幾率取特定值的點(diǎn)子繪出形成3維曲面)，圖中為了看清內(nèi)部結(jié)構(gòu)，我們把3維曲面從中間切開(kāi)了。

2）p軌道(L=1)波函數(shù)之m=0情形

 

3）p軌道(L=1)波函數(shù)之m=1情形

 

      圖中右下角處空白是由于目前沒(méi)有找到該電子云（n=4,L=1,m=1）包絡(luò)的圖像。

4）d軌道(L=2)波函數(shù)

        圖中下面的2行圖片分別對(duì)應(yīng)著主量子數(shù)n的2種取值，不同于前圖，這里沒(méi)有給出相應(yīng)徑向波函數(shù)的公式與圖形。圖中頂部一行給出了3個(gè)方位波函數(shù)的公式與圖形，它們對(duì)應(yīng)著磁量子數(shù)m的3個(gè)不同取值的情形。每個(gè)方位波函數(shù)圖形下面都分為兩列，左列給出了完整的波函數(shù)的電子云，它用亮度刻畫(huà)了電子在(x,z)平面各處的存在幾率。右列給出了該電子云的3維包絡(luò)曲面。圖中空白是由于目前沒(méi)有找到有關(guān)電子云包絡(luò)的圖像。

5）f軌道(L=3)波函數(shù)

      由于目前沒(méi)有找到有關(guān)電子云包絡(luò)的圖像，故后三個(gè)方位波函數(shù)圖形下面只給出了電子云分布，沒(méi)有給出電子云包絡(luò)的圖像。

      自此，我們已經(jīng)簡(jiǎn)述完了氫原子的量子力學(xué)方程的求解?過(guò)程及獲得的主要結(jié)論和圖形。就像是我們?cè)诹孔拥奈⒂^世界里遨游了一番，我們心中一定會(huì)生起許多驚奇、許多疑問(wèn)和許多感悟吧，這就是量子的世界，接觸它的每一個(gè)人都會(huì)有這番感受。下一章我們將探索元素周期表的形成機(jī)理，哈哈，似乎感覺(jué)我們好像要從物理邁向化學(xué)啊！

             （未完待續(xù)），遨游我心_健康，2013.09.26

?