 如圖，構(gòu)造△ABC的外接圓，圓心O，過O作OE⊥AB于E，過O作OF//AB，交CD延長線于F.連接OA,OC,AB. ∵AD=6,BD=20 ∴AE=BE=13 ∴DE=7 ∵∠ACB=135° ∴∠AOB=90° ∴OE=13,AO=BO=CO=13√2 由輔助線易得，四邊形OEDF是矩形. ∴OF=7 由勾股定理可得，CF=17 ∴CD=4 如圖，延長AC，過點B作BE⊥AC延長線于E 設(shè)，BE=x,因為∠ACB=135°，所以∠BCE=45°，則CE=x,BC=√2x,則勾股定理可得其余線段的長度如上圖。 由題很容易得到△ADC∽△AEB，則 則CD=4或9√10（多出來一個解，有誰知道為什么嗎？）. 備注：上面的方程很難解！所以雖然這個方法可以解出來，但是不推薦。如果數(shù)字小一點，可以使用。 向另外一邊作垂線一樣可以求出，如下圖： 評述： 第一種方法，根據(jù)135度圓周角所對圓心角是90度，巧妙的構(gòu)造圓，然后巧妙轉(zhuǎn)化，解決問題。第二種方法，從135度的鄰補角是45度入手，構(gòu)造直角三角形。通過勾股定理來解決。第一種方法輔助線多，構(gòu)思巧妙，不容易想到，第二種方法容易想到，但是數(shù)字比較大，方程難解。從普通的條件入手，開拓思路，張引路老師的方法還是很巧妙的 如上圖，過A作AE//BC,BE//AC交于E點.過E作EF⊥BC于F. 因為∠ACB=135°，所以∠CBE=45° ∴ ∴ ∴ 解得 x=4 簡評：這個方法同樣存在方程難題的問題，如果數(shù)字比較小可以用。 直接用三角形面積公式，不過初中沒有學(xué)過這個公式，還有一個就是sin135°的問題，好的學(xué)生可以補充，老師參考一下，拓寬一下思路。
如圖，設(shè)CD=x，則根據(jù)勾股定理可得AC，BC如上。  解得x=4 簡評：方法和解法一一樣，解法一是站在學(xué)生的角度考慮。這個方法略微超出初中的范圍。
如上圖，把ΔADC沿AC翻折得到ΔAEC，把ΔBDC沿BC翻折得到ΔBFC，延長AE，BF交于G，設(shè)CD=x，則其它的線段值如上圖。 ∵∠ACB=135° ∴∠CAB+∠CBA=45° ∴∠GAC+∠GBC=90° ∴∠G=90° 在直角ΔAGB中，由勾股定理得：
解得：x=4,x=-30(舍去） x=4時，直角ΔAGB的三邊分別是10,24,26,大家熟悉的勾股數(shù)5，12，13的2倍。 簡評：估計這解解法就是出題人本來期望的解法。建立在熟悉的基礎(chǔ)上，又高于基礎(chǔ)，體現(xiàn)了對思維的訓(xùn)練。很巧妙的解法。 簡評：神一般的解法，可一步得結(jié)果（如上解法含推到過程）！
如圖，延長BA，BC，過A作FA⊥AC交BC延長線于F，過F作FE⊥AB交BA延長線于 ∵∠ACB=135° ∴∠ACF=45° ∴AC=AF 很容易得到ΔADC≌ΔFEA 設(shè)CD=x，則EF=AD=6，AE=CD=x ∵∠CDB=∠FEB=90°，∠B=∠B ∴ΔBDC∽ΔBEF ∴
簡評：通過135°和45°的聯(lián)系，構(gòu)造出一線三角K字模型，巧妙創(chuàng)造相似條件，思路開闊！
如圖，在等腰直角△ACB中，設(shè)BC=b，則AC=b，在AC上任取一點D，連接BD，則∠1+∠2=45°
應(yīng)用上面的結(jié)論：
簡評：這個方法最先出現(xiàn)在于特的講座中，對于解決和是45°兩角問題非常好用，經(jīng)?？梢悦霘?，受到許多老師推崇。 延長CD，在CD延長線上截取DM，使DM=AD，截取DN，使DN=DB，則△ADM，△BDN都是等腰直角三角形，如下圖。由題可知DM=AD=6，DN=BD=20.
因為∠ACB=135°，∠AMC=45°，∠CNB=45° 所以∠CAM=∠NCB 所以△AMC∽△CNB
簡評：本方法和一線三角有異曲同工之妙，利用135°和45°的特殊關(guān)系構(gòu)造出相似，構(gòu)思巧妙。
如上圖，在AD上截取DE，使DE=CD，連接CE，則ΔCDE是等腰直角三角形。設(shè)CD=x,則ED=6，AE=6-x. ∵∠ACB=135° ∴∠A+∠B=45° ∵∠A+∠1=45° ∴∠1=∠B ∴ΔACE∽ΔABC ∴AC2=AE×AB ∴x2+62=(6-x)×26 解得：x=4,x=-30(舍去） 簡評：這種解法沒有構(gòu)造很多輔助線。建立在熟悉的基礎(chǔ)上，又高于基礎(chǔ)，體現(xiàn)了對思維的訓(xùn)練。很巧妙的解法。
如上圖，在AD上截取DE，使DE=CD，連接CE，在BD上截取DF，使DF=CD，連接CF，則ΔECF是等腰直角三角形。設(shè)CD=x,則ED=x，AE=6-x,DF=x,BF=20-x,CE=CF=√2x. ∵∠ACB=135° ∴∠A+∠B=45° ∵∠ACB=135°,∠ECF=90° ∴∠ACE+∠BCF=45° ∵∠A+∠ACE=45° ∴∠ACE=∠B,∠A=∠BCF ∴ΔACE∽ΔCBF ∴AE:CF=CE:BF ∴2x2=(6-x)(20-x) 解得：x=4,x=-30(舍去） 簡評：這種解法和上種解法差不多，構(gòu)造兩個等腰直角三角形后，表示更方便一點，很巧妙的解法。
如圖，構(gòu)造矩形AEFB，在ＥＣ上截取EG=x，則CG=6-x，在FC上截取FH＝ｘ，則ＣH＝20-ｘ， ∵∠ACB=∠AGC=∠CHB=135° ∴∠GCA=∠HBC 很容易得到ΔAGC∽ΔCHB ∴AG:CH=GC:HB ∴2x2=(6-x)(20-x) 解得：x=4,x=-30(舍去） 簡評：通過135°和45°的聯(lián)系，構(gòu)造出一線三角K字模型，巧妙創(chuàng)造相似條件，思路開闊！ |
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