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在數(shù)學(xué)的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么?！呥_哥拉斯 盡管古代希臘的數(shù)學(xué)起源晚于美索不達米亞和古埃及，盡管泰勒斯可謂古代希臘第一位數(shù)學(xué)家，但真正意義上把數(shù)學(xué)作為一個學(xué)科研究是始于畢達哥拉斯，他也被譽為“數(shù)學(xué)之父”。 羅素《西方哲學(xué)史》：“數(shù)學(xué)，在證明式的演繹推論的意義上的數(shù)學(xué)，是從他開始的；而且數(shù)學(xué)在他的思想中乃是與一種特殊形式的神秘主義密切地結(jié)合在一起的。自從他那時以來，而且一部分是由于他的緣故，數(shù)學(xué)對于哲學(xué)的影響一直都是既深刻而又不幸的?！?/p> 一、畢達哥拉斯生平 畢達哥拉斯（Pythagoras，約公元前580年—約公元前497年）出生于米利都附近的薩摩斯島（Samos Island）的一個貴族家庭，自幼聰明好學(xué)，尤其對幾何學(xué)、自然科學(xué)以及哲學(xué)非常感興趣。 1955年希臘郵票：薩摩斯古地圖 九歲時畢達哥拉斯被富商父親送到提爾（古代腓尼基人的城市，今屬黎巴嫩），在閃族敘利亞學(xué)者那里學(xué)習(xí)并接觸了東方的宗教和文化。后來，他在薩摩斯的詩人克萊非洛斯那里學(xué)習(xí)了詩歌和音樂。 公元前551年，畢達哥拉斯來到米利都成為泰勒斯的學(xué)生。學(xué)了一段時期之后就到處游歷，包括埃及、巴比倫和印度，并可能在那里學(xué)到一些數(shù)學(xué)和神秘主義的教條。 畢達哥拉斯在49歲時返回家鄉(xiāng)薩摩斯，創(chuàng)辦哲學(xué)學(xué)校。他認為婦女也和男人一樣有求知的權(quán)利，允許她們來聽講。 公元前520年左右，因為政治原因，畢達哥拉斯離開薩摩斯，移居西西里島，后來定居在克羅托內(nèi)（Crotone，今屬意大利南部）。在那里他廣收門徒，建立了一個宗教、科學(xué)和哲學(xué)性質(zhì)的秘密社團——畢達哥拉斯學(xué)派。 這個社團里有男有女，一切財產(chǎn)公有。每個學(xué)員都要在學(xué)術(shù)上達到一定的水平，加入組織還要經(jīng)歷一系列神秘的儀式，以求達到“心靈的凈化”。他們要接受長期的訓(xùn)練和考核，遵守很多的規(guī)范和戒律（最出名的是禁食豆子），并且宣誓永不泄露學(xué)派的秘密和學(xué)說。畢達哥拉斯自稱是神的兒子，可以在死后不斷轉(zhuǎn)世，他的門徒尊他為圣人。 據(jù)信畢達哥拉斯學(xué)派的人參與政治活動，與貴族黨派結(jié)盟，因此被民主黨派驅(qū)逐。畢達哥拉斯被迫移居梅塔蓬圖姆（Metapontum，今意大利南部塔蘭托Taranto），并于公元前497年被害于此。 他的門人散居到希臘其它學(xué)術(shù)中心，繼續(xù)進行數(shù)學(xué)、哲學(xué)研究，以及政治方面的活動，直到公元前4世紀中葉。畢達哥拉斯學(xué)派持續(xù)繁榮了兩個世紀之久。 二、畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)貢獻 1、創(chuàng)立純數(shù)學(xué) 畢達哥拉斯將數(shù)視為心智想象出的東西，這是數(shù)學(xué)研究對象抽象化的開端，是對數(shù)學(xué)的重大影響之一。畢達哥拉斯認為，研究數(shù)學(xué)的目的并不在于使用而是為了探索自然的奧秘，對幾何形式和數(shù)字關(guān)系的沉思能達到精神上的解脫。 畢達哥拉斯率先對純數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作了區(qū)分，其中純數(shù)學(xué)包括算術(shù)與幾何，研究心智想象出的東西；應(yīng)用數(shù)學(xué)包括音樂和天文，研究感官探知到的東西。歐德摩斯（Eudemus）說，畢達哥拉斯創(chuàng)立了純數(shù)學(xué)，把它變成一門高尚的藝術(shù)。 2、萬物皆數(shù) 在畢達哥拉斯學(xué)派看來，數(shù)為宇宙提供了一個概念模型，數(shù)量和形狀決定一切自然物體的形式，數(shù)不但有量的多寡，而且也具有幾何形狀。在這個意義上，他們把數(shù)理解為自然物體的形式和形象，是一切事物的總根源。因為有了數(shù)，才有幾何學(xué)上的點，有了點才有線、面和立體，有了立體才有火、氣、水、土這四種元素，從而構(gòu)成萬物，所以數(shù)在物之先。自然界的一切現(xiàn)象和規(guī)律都是由數(shù)決定的，都必須服從“數(shù)的和諧”，即服從數(shù)的關(guān)系。 他們賦予數(shù)字不同的含義和神秘主義的宗教色彩： “1”是數(shù)的第一原則，萬物之母，也是智慧； “2”是對立和否定的原則，是意見； “3”是萬物的形體和形式； “4”是正義，是宇宙創(chuàng)造者的象征； “5”是奇數(shù)和偶數(shù)，雄性與雌性和結(jié)合，也是婚姻； “6”是神的生命，是靈魂； “7”是機會； “8”是和諧，也是愛情和友誼； “9”是理性和強大； “10”包容了一切數(shù)目，是完滿和美好。 后世學(xué)者曾對算術(shù)、幾何、音樂、天文四大領(lǐng)域在畢達哥拉斯學(xué)說中的地位作過有趣的概括：算術(shù)是數(shù)的本身，幾何是空間中的數(shù)，音樂是時間上的數(shù)，天文是時空里的數(shù)。 畢達哥拉斯學(xué)派徽標：圣十(Tetractys) 3、 數(shù)論研究 畢達哥拉斯對數(shù)論作了許多研究，將自然數(shù)區(qū)分為奇數(shù)、偶數(shù)、素數(shù)、三角形數(shù)、正方形數(shù)（平方數(shù)）、多角數(shù)、完全數(shù)和親和數(shù)等。 1，3，6，10這些數(shù)叫三角形數(shù)，因為相應(yīng)的點子能排列成正三角形（上圖）。第四個三角形數(shù)10特別使畢達哥拉斯學(xué)派神往，因為代表完滿和美好。并且這個三角形的每邊有4點，而4代表正義。他們認識到1，1+2，1+2+3等這些和數(shù)都是三角形數(shù)，并且知道：1+2+...+n=n（n+1）/2。 1，4，9，16這些數(shù)他們稱之為正方形數(shù)（下圖），因為用點表示時可以排成正方形。合數(shù)中凡不恰好是正方形數(shù)的，叫做長方形數(shù)。相鄰兩個三角數(shù)之和是正方形數(shù)，即： n（n+1）/2+（n+1）（n+2）/2=（n+1）2 畢達哥拉斯學(xué)派再用下圖所示方案從一個正方形數(shù)得出下一個正方形數(shù)，即： n2+（2n+1）=（n+1）2 也意味著：1+3+5+...+（2n-1）=n2 。 畢達哥拉斯學(xué)派還研究多角數(shù)，如五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其它多邊形數(shù)。從下圖可知，第n個五邊形數(shù)是（3n2-n）/2，第n個六邊形數(shù)是2n2-n。 若一數(shù)等于它的所有因數(shù)（包括1但不包括自身）之和，則稱之為完全數(shù)，如6，28和496。數(shù)本身大于其因數(shù)之和的叫盈數(shù)，小于其因數(shù)之和的叫虧數(shù)。 【注】直到1952年人們才發(fā)現(xiàn)12個完全數(shù)。歐幾里德的《原本》第九卷的最后一個命題是，證明：如果2^n-1是一個質(zhì)數(shù)，則2^(n-1)·(2^n-1)是一個完全數(shù)。由這個公式所給出的完全數(shù)都是偶數(shù)。后來大數(shù)學(xué)家歐拉證明了每一個偶完全數(shù)必定是這種形式的。人們自然會問，是否還有其他的完全數(shù)？即有沒有奇完全數(shù)？但至今還沒有人能夠回答這個問題。 若有兩數(shù)彼此等于另一數(shù)的因子之和，則稱這兩數(shù)為親和數(shù)。 【注】220與284是畢達哥拉斯最早發(fā)現(xiàn)的一對親和數(shù)，同時也是最小的一對親和數(shù)。1636年，法國數(shù)學(xué)家費馬發(fā)現(xiàn)了第二對親和數(shù)，它們是17962與18416。兩年后笛卡兒找出了第三對親和數(shù)9437056和9363584。瑞士的大數(shù)學(xué)家歐拉曾系統(tǒng)地去尋找親和數(shù)，1747年他一下子找出了30對，3年后他又把親和數(shù)增加到了60對。令人驚奇的是，除去220與284之外最小的一對親和數(shù)1184與1210竟然被這些數(shù)學(xué)大師們漏掉了。它被一個16歲的意大利男孩帕加尼尼在1886年發(fā)現(xiàn)。至今，已經(jīng)知道的親和數(shù)已有1000對以上。 畢達哥拉斯學(xué)派還研究了質(zhì)數(shù)、遞進數(shù)列，以及他們認為美的一些比和比例關(guān)系。一般認為，畢達哥拉斯學(xué)派是西方研究和聲（五度相生律）的始祖。他們發(fā)現(xiàn)弦樂發(fā)出的聲音取決于弦長，而兩根長度成整數(shù)比的同質(zhì)料繃緊的弦會發(fā)出諧音。例如，他們知道截取一根弦的2/3可以得到一個五度音，截取同一根弦的一半可得到一個八度音，由此得到一個 “和諧比例”（Harmonic proportion），因為1:1/2 = (1-2/3):(2/3-1/2)。調(diào)和級數(shù)的名稱也由此研究而來。 畢達哥拉斯學(xué)派認為由太陽、月亮、星辰的軌道和地球的距離之比，分別等于三種協(xié)和的音程，即八度音、五度音、四度音。
4、畢達哥拉斯定理 該定理早已為巴比倫人所知（在中國叫勾股定理，由周朝商高提出），不過最早的證明歸功于畢達哥拉斯。他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。滿足該定理的三個整數(shù)叫三元組數(shù)。
【故事】相傳畢達哥拉斯應(yīng)邀到朋友家做客，被地面上的正方形大理石吸引，醉心思考大理石彼此間產(chǎn)生的數(shù)的關(guān)系。他在4塊大理石拼成的大正方上，以每塊大理石的對角線為邊，畫出一個新的正方形，發(fā)現(xiàn)這個正方形的面積正好等于2塊大理石的面積；他又以2塊大理石組成的矩形對角線為邊，畫成一個更大的正方形，而這個正方形正好等于5塊大理石的面積。畢達哥拉斯定理由此證明。為了慶賀，畢達哥拉斯宰了一百頭牛，所以也叫百牛定理。 畢達哥拉斯定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理，被譽為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用。它是歷史上第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理，也是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，并引出了費馬大定理。畢達哥拉斯定理的證明是論證幾何的發(fā)端，目前有超過500種證明方法。
5、無理數(shù)的發(fā)現(xiàn) 畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯（Hippasus）發(fā)現(xiàn)：邊長為1的正方形其對角線長度√2既不能用整數(shù)，也不能用分數(shù)表示，而只能用一個新數(shù)（無理數(shù)Irrational number，不可公度比）來表示。這直接否定了畢達哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比（可公度比，即有理數(shù)rational number）。就因這一發(fā)現(xiàn)希帕索斯被扔進海里淹死了。
無理數(shù)的誕生，并引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機。直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)，并把實數(shù)理論建立在嚴格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認為“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的 第一次大危機。 【注】有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別并非是否“有道理”，而是能否表示為整數(shù)比。rational的詞根是ratio，即比率的意思。 歐幾里得《幾何原本》中提出了一種證明無理數(shù)的經(jīng)典方法（歸謬法，即反證法）： 證明: √2是無理數(shù) 假設(shè)√2不是無理數(shù) ∴√2是有理數(shù) 令√2 =p/q（p、q互質(zhì)且q≠0） 兩邊平方得2=p2/q2 通過移項，得到：2q2=p2 ∴p2必為偶數(shù) ∴p必為偶數(shù) 令p=2m 則p2=4m2 ∴2q2=4m2 化簡得q2=2m2 ∴q2必為偶數(shù) ∴q必為偶數(shù) 綜上，p和q都是偶數(shù) ∴p、q互質(zhì)，且p、q為偶數(shù)（） 矛盾原假設(shè)不成立 ∴√2為無理數(shù) 6、其它幾何學(xué)貢獻
7、開創(chuàng)演繹邏輯 畢達哥拉斯堅持數(shù)學(xué)論證必須從“假設(shè)”出發(fā)，從已知的事物開始演繹、推斷，得出新的理論。這種演繹推理的方法對后來西方哲學(xué)和科學(xué)的發(fā)展起到了很大的影響。
畢達哥拉斯是歷史上最有趣味而又最難理解的人物之一......簡單地說來，可以把他描寫成是一種愛因斯坦與艾地夫人（十九世紀美國基督教科學(xué)會的創(chuàng)辦人）的結(jié)合?！_素 |
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