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【題目】 在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c. 已知A≠π/2，且3sinAcosB+? b sin2A =3sinC. (1)求a的值； (2)若A=2π/3，求△ABC周長的最大值. 【分析】 遇到這類題，先不要管讓求的是什么，先對所給的等式化簡， 化完之后讓求的東西自然會顯現(xiàn)出來； 此題，一定要時刻注意到A+B+C=π，從而做出sinC=sin(A+B)的轉化。 【過程】 (1)3sinAcosB+? b sin2A =3sinC， 3sinAcosB+bsinAcosA =3sin(A+B), =3sinAcosB+3cosAsinB, 因為A≠π/2，故cosA≠0， 從而得到bsinA =3sinB, 由正弦定理，ab=3b，a=3. (2)由余弦定理，a2=b2+c2-2bc cosA， 得：9=b2+c2+bc 9=(b+c)2-bc≥(b+c)2- 1/4 (b+c)2=3/4 (b+c)2, (b+c)2≤12，b+c≤2√3，當且僅當b=c時取得“=”. 故b+c的最大值為2√3, 從而周長的最大值為3+2√3. |
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