手拉手模型，屬于初中幾何中圖形的旋轉(zhuǎn)，是最常見的一類重要模型。全等型手拉手模型有以下三個(gè)主要特征：雙等腰、共頂點(diǎn)、頂角相等。

如下左圖，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，且具有公共的直角頂點(diǎn)A， 頂角都是90⁰。這兩個(gè)三角形就像兩個(gè)人手拉著手一樣，所以我們稱之為手拉手模型。如下右圖，我們易證△ACE與△ABD全等（SAS）。實(shí)際上以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ACE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90⁰，就得到了△ABD。

又如下左圖，△ABC與△ADE都是等邊三角形，且具有公共的頂點(diǎn)A， 頂角都是60⁰。這個(gè)圖形滿足以下三個(gè)主要特征：雙等腰、共頂點(diǎn)、頂角相等，所以它就屬于手拉手模型。如下右圖，我們易證△ACD與△ABE全等（SAS）。實(shí)際上以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，把△ACD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60⁰，就得到了△ABE。

例1. 如圖，△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，其中∠BAC=∠DAE=90⁰，AB=AC，AD=AE。直線CE交BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G。

求證：（1）CE=BD；（2）CE⊥BD；（3）A、E、F、D四點(diǎn)共圓；

（4）AF平分∠CFD。

解析：圖中△ABC與△ADE都是等腰直角三角形，而且他們具有公共頂點(diǎn)A，頂角都是90⁰，所以該圖形就是典型的手拉手模型。

簡解：(1)易證△ACE≌△ABD（SAS），所以CE=BD；

（2）由△ACE≌△ABD可得：∠1=∠2。再由八字形可得：∠GFB=∠GAC=90⁰，所以CE⊥BD。

（3）由（2）得CE⊥BD，又∠DAE=90⁰，所以∠DAE+∠DFE=180⁰。所以A、E、F、D四點(diǎn)共圓。

（4）過A作AM⊥CE于M，作AN⊥BD于N。由△ACE≌△ABD，可得他們的面積相等，又由全等得CE=BD，所以AM=AN。所以AF平分∠CFD。（或者由A、E、F、D四點(diǎn)共圓，得到∠DFA=∠DEA=45⁰。所以∠EFA=∠DFA=45⁰。所以AF平分∠CFD。）

例2. 如下左圖，點(diǎn)C、A、E在一條直線上，△ABC與△ADE都是等邊三角形。CD與BE相交于點(diǎn)H。

求證：（1）CD=BE；（2）∠CHE=120⁰；（3）A、F、H、G四點(diǎn)共圓；

（4）AH平分∠CHE。

解析：圖中△ABC與△ADE都是等邊三角形，而且他們具有公共頂點(diǎn)A，頂角都是60⁰，所以該圖形就是典型的手拉手模型。

簡解：（1）易證△ACD≌△ABE（SAS），所以CD=BE；

（2）由△ACD≌△ABE可得：∠FCA=∠GBA。再由八字形可得：∠BHF=∠CAF=60⁰，∠CHE=120⁰。

(3)由（2）得∠CHE=120⁰，又∠FAG=180⁰-60⁰-60⁰=60⁰，所以∠CHE+∠FAG=180⁰。所以A、F、H、G四點(diǎn)共圓。

(4)類比例1（4）可證。

例3. 如圖，△ABC中，∠BAC=60⁰ ，AB=2倍根號3，AC=8，以BC為一邊作等腰△BCD，其中∠DBC=120⁰且BC=BD，連接AD。求AD的長。

 解析：無法直接求出AD的值，需要將線段AD進(jìn)行轉(zhuǎn)化。因?yàn)?/span>△BCD是頂角為120⁰的等腰三角形，所以我們可以以AB為一腰，再構(gòu)造出一個(gè)頂角為120⁰的等腰三角形，這樣就能應(yīng)用“手拉手模型”，將條件集中到一個(gè)三角形中。

簡解1：以AB為一邊向內(nèi)側(cè)作等腰△ABE，其中∠ABE=120⁰且BA=BE。連接DE。 顯然△ABC≌△EBD（SAS），所以DE=AC=8。由∠ABE=120⁰且BA=BE，AB=2倍根號3，易得AE=6。因?yàn)?/span>∠BEA=（180⁰-120⁰)/2=30⁰,∠BAC=120⁰ ，所以∠DEA=90⁰。最后在△EAD中，∠AED=90⁰，AE=6，DE=8，由勾股定理可得：AD=10。

簡解2：以AB為一邊向外側(cè)作等腰△ABF，其中∠ABF=120⁰且BA=BF。連接DF。顯然△FBC≌△ABD（SAS），所以CF=DA。由∠ABF=120⁰且BA=BF，AB=2倍根號3，易得AF=6。因?yàn)?/span>∠BAF=（180⁰-120⁰)/2=30⁰,∠BAC=120⁰ ，所以∠FAC=90⁰。最后在△FAC中，∠FAC=90⁰，AF=6，AC=8，由勾股定理可得：CF=10。所以AD=CF=10。

例4. 已知⊙O的半徑為2，A、B是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△ABC是等腰直角三角形，其中∠BAC=90⁰，AB=AC。求OC的最小值。

解析：直接求OC的最小值顯然不現(xiàn)實(shí)，所以我們要將線段OC進(jìn)行轉(zhuǎn)化。因?yàn)?/span>△ABC是等腰直角三角形，所以我們可以以OA為一腰，再構(gòu)造出一個(gè)等腰直角三角形，這樣就能應(yīng)用“手拉手模型”，將條件集中到一個(gè)三角形中。

簡解1：以O(shè)A為一邊向右側(cè)作等腰直角三角形△OAD，其中∠OAD=90⁰且AD=AO。連接OB。易證△AOC≌△ADB（SAS），所以BD=OC=2。因?yàn)?/span>等腰直角三角形△OAD中OA=2，所以O(shè)D=2倍根號2。最后在△OBD中，OB=2，OD=2倍根號2，由三角形的三邊關(guān)系可得：BD≥2倍根號2-2,最小值為2倍根號2-2。故OC的最小值為2倍根號2-2（當(dāng)O、B、D三點(diǎn)共線時(shí)）。

簡解2：以O(shè)A為一邊向左側(cè)作等腰直角三角形△OAE，其中∠OAE=90⁰且AE=AO。連接EC。易證△AEC≌△AOB（SAS），所以EC=OB=2。因?yàn)?/span>等腰直角三角形△OAE中OA=2，所以O(shè)E=2倍根號2。最后在△OCE中，EC=2，OE=2倍根號2，由三角形的三邊關(guān)系可得：OC≥2倍根號2-2，故OC的最小值為2倍根號2-2（當(dāng)O、C、E三點(diǎn)共線時(shí)）。

手拉手模型，是初中幾何最常見的一類重要模型，它又分為全等型手拉手模型和相似型手拉手模型，究其本質(zhì)就是圖形的旋轉(zhuǎn)全等和旋轉(zhuǎn)縮放。全等型手拉手模型具有以下三個(gè)主要特征：雙等腰、共頂點(diǎn)、頂角相等。如果圖中只有一個(gè)等腰三角形，我們可以再構(gòu)造出另一個(gè)等腰三角形，從而將圖形補(bǔ)成手拉手模型。這樣就能應(yīng)用“手拉手模型”中的三角形全等，將條件集中到一個(gè)三角形中，這樣問題就能迎刃而解。