在幾何中常出現(xiàn)兩個(gè)相似的圖形有公共的頂點(diǎn)，進(jìn)而產(chǎn)生了各種相似與全等的問(wèn)題。也就是大家熟知的手拉手模型。

本文題目選自以下地區(qū)：

2019·鞍山、2019·煙臺(tái)

2019·深圳、2019·眉山

2019·宜賓、2019·聊城

2019·濰坊、2019·南充

2019·菏澤、2019·濱州

【中考真題】

（2019·宜賓）如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點(diǎn)A、C、E在同一直線上，AD與BE、BC分別交于點(diǎn)F、M，BE與CD交于點(diǎn)N．下列結(jié)論正確的是　　            （寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．

①AM＝BN；②△ABF≌△DNF；③∠FMC+∠FNC＝180°；④1/MN=1/AC+1/CE

【分析】本題中兩個(gè)等邊三角形有公共的頂點(diǎn)，且一組邊在一條直線上。

本圖有很多結(jié)論，其中最關(guān)鍵的就是利用SAS證明△ACD≌△BCE。有了這個(gè)結(jié)論之后，就可以得到很多的邊角關(guān)系，進(jìn)而得到結(jié)論。

對(duì)了，一般4個(gè)選項(xiàng)中，都是有3個(gè)是正確，其中一個(gè)是錯(cuò)誤的。而且結(jié)論越復(fù)雜，一般正確率越高。

當(dāng)然，考試還是少一點(diǎn)蒙，多一點(diǎn)實(shí)力！

【答案】①③④

【解析】證明：①∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝60°，

∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，

即∠BCE＝∠ACD，

在△BCE和△ACD中，

BC=AC，∠BCE=∠ACD，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD（SAS），

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∠CAD＝∠CBE，

在△DMC和△ENC中，

∠MDC=∠NEC，DC=BC，∠MCD=∠NCE=60°，

∴△DMC≌△ENC（ASA），

∴DM＝EN，CM＝CN，

∴AD﹣DM＝BE﹣EN，即AM＝BN；

②∵∠ABC＝60°＝∠BCD，

∴AB∥CD，

∴∠BAF＝∠CDF，

∵∠AFB＝∠DFN，

∴△ABF∽△DNF，找不出全等的條件；

③∵∠AFB+∠ABF+∠BAF＝180°，∠FBC＝∠CAF，

∴∠AFB+∠ABC+∠BAC＝180°，

∴∠AFB＝60°，

∴∠MFN＝120°，

∵∠MCN＝60°，

∴∠FMC+∠FNC＝180°；

④∵CM＝CN，∠MCN＝60°，

∴△MCN是等邊三角形，

∴∠MNC＝60°，

∵∠DCE＝60°，

∴MN∥AE，

∴MN/AC=DN/CD=(CD-CN)/CD，

∵CD＝CE，MN＝CN，

∴MN/AC=(CE-MN)/CE，

∴MN/AC=1-MN/CE，

兩邊同時(shí)除MN得1/AC=1/MN-1/CE，

∴1/MN=1/AC+1/CE．

故答案為①③④

【舉一反三】