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【題記】
【說明】《面積的認(rèn)識》是義務(wù)教育景山學(xué)校小學(xué)數(shù)學(xué)第五冊上的內(nèi)容。由特級教師錢坤南老師執(zhí)教。通過本課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體驗(yàn)什么叫做面積，而且面積是有大小的，比較面積大小的方法是多種多樣的（其中主要體會出“數(shù)格子”方法的優(yōu)越性）。 一、談話引入 師：同學(xué)們，蘇州市發(fā)展很快，人民的生活水平也在不斷提高。許多住上了新房子。誰來說說，你們的房子有多大？ （學(xué)生爭相回答） 師：像這些“××平方米”，就是房子的面積。今天，我們就一起來認(rèn)識“面積”（板書：面積） 二、創(chuàng)設(shè)情境 師：同學(xué)們，請看看每個小組的桌子，桌上都有些什么東西？ 生：有桔子、方糖盒子、易拉罐。 ［既提供平面學(xué)具、又提供曲面的學(xué)具，拓寬了學(xué)生的認(rèn)知領(lǐng)域。］ 師：這些東西都叫物體。現(xiàn)在請同學(xué)們一起來摸摸這些物體的面。（同學(xué)們以小組為單位進(jìn)行觸摸）大家摸到了嗎？ 生（齊）：摸到了！ 師：這說明物體都是有面的。它的哪個面大，哪個面?。?/span> 生1：易拉罐的面大，方糖盒子的有一個面也比較大。 生2：（指著方糖盒子的一個面）這個面比較小。 師：大家來看方糖盒子，誰再來說說方糖盒子表面有幾個面呢？ 生：它有六個面。（指著盒子說）這個面較大，這個面較小。 師：說得很好。（把一個事先準(zhǔn)備好的、相對面的背面涂成不同顏色的方糖盒子展開）請同學(xué)們看，怎樣來求方糖盒子表面的面積呢？ 生：就是要把這六個面合起來算。 ［借助于生活中的常見物品來教學(xué)，能及時喚起學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)。同時，通過對長方體特征初步的感性認(rèn)識，又為后繼知識的學(xué)習(xí)進(jìn)行了巧妙的滲透和鋪墊。］ 師：同學(xué)們，看到桌子上的桔子嗎？現(xiàn)在，我們來開展一項(xiàng)“剝桔子”比賽，看誰的手最巧，剝得最快？ 師：（老師找到剝得最快的兩個同學(xué)，并放在實(shí)物投影儀上）現(xiàn)在我們來比較一下，這兩個桔子的表面，哪個大？哪個??？（學(xué)生回答） 師：這說明桔子也有表面，它的面也是有大有小的。 師：大家看到桌子上的易拉罐嗎？它有幾個面呢（展示事先準(zhǔn)備好的、已經(jīng)剪開的易拉罐）？ 生：它有三個面，其中一個是長方形，一個是圓形的。 ［通過展示圓柱體的側(cè)面和底面有3個面，為后繼學(xué)習(xí)打下良好伏筆。］ 師：是的。剛才我們看到物體的表面，知道了它們的面是各不相同的，也是有大有小的。（板書：物體表面 大小，見下） 師：物體的表面有大小，那么平面圖形的表面有沒有大小之分呢？大家請看──（燈片出示一組圖形）在下面的這組圖形中，哪個面的面積較大？哪個面的面積較??？ 生：長方形、梯形、三角形較大。 生：圓、正方形、平行四邊形較小。 師：（又單獨(dú)出示一個圖形）那么這個圖形和上面的圖形比，哪個大，哪個小呢？ 生：下面的大。 生：不對，它缺一個角，不能比。 ［評析：通過反例，讓學(xué)生更 理解概念，對關(guān)鍵詞語“圍成”有了更好的理解。］ 師：對，這個圖形沒有圍成一個完整的圖形，就不能比較它的大小了。（完成板書：或圍成的平面圖形的）誰連起來說一說？ 生（齊讀）：物體表面或圍成的平面圖形的大小，叫做面積。 ［評析：從“物體表面”和“圍成平面圖形”兩個層次分別建立了“面積”概念，并完成歸納過程。層層感悟、體驗(yàn)，使學(xué)生理解概念更充分。］ 三、小組探究 師：我們已經(jīng)對面積有了初步的認(rèn)識?，F(xiàn)在，我們以小組為單位來開展一個實(shí)驗(yàn)。請每個小組先拿出1號信封進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并選一個人做記錄人，做好實(shí)驗(yàn)記錄。如果實(shí)在不行，可以動用每個桌子上的2號信封（內(nèi)有直尺、剪刀、一張長方形格子紙）。（燈片同時出示要求，見下） 想一想，怎樣比較下面每組圖形的大小： 四、討論小結(jié) （學(xué)生小組探究活動大約8分鐘后） 師：通過一段時間的討論，小組中先統(tǒng)一意見，然后再請一位代表進(jìn)行發(fā)言。現(xiàn)在大家準(zhǔn)備好了嗎？ 生：對于第一題和第二題，我是用重疊法來進(jìn)行比較的。很容易看出是右邊的那個面積較大，左邊的那個面積較小。（老師演示并板書：重疊法） 生：其實(shí)也不用什么重疊了，我一看就能看出來了。 師：對！這種方法我們叫它觀察法。（板書：觀察法） 生：第四題我也是用觀察法知道的，它們是一樣大。 生：我來說第3題，我是把平行四邊形剪下來，再拼一下（因?yàn)楸葎澙щy，老師叫他到前面在實(shí)物投影儀上進(jìn)行操作），結(jié)果正好是一個長方形。我想：這個平行四邊形和長方形一樣大。 師：這種方法，我們叫它剪拼法。（教者演示并板書：剪拼法）那么第五題呢？ 生：好像左邊的長方形大。 生：不對，是右邊的正方形大！ 師：你們是用什么方法進(jìn)行比較的呢？ 生：我是用重疊法進(jìn)行的。 生：不行，重疊的時候有的露出來，有的不能露出來，就不能比較大小了。 師：那么，到底是長方形面積大，還是正方形的面積大呢？ 生：……（學(xué)生似乎有些為難） 師：同學(xué)們有沒有動用2號信封的其它工具的。 師：（自己進(jìn)行演示，讓學(xué)生理解）同學(xué)們請看，現(xiàn)在我們把長方形和正方形放在透明的格子紙，你們發(fā)現(xiàn)了什么呢？
（學(xué)生通過數(shù)格子知道長方形是24格，正方形是25格） 師：現(xiàn)在知道哪個面積大，哪個面積小了吧。 生：知道了！正方形的面積大，長方形的面積小。 師：誰來給這種方法取個名字？ 生：可以叫“數(shù)格子”。 師：對，就依你的，叫“數(shù)格子”（板書：數(shù)格子）。 師：（出示燈片）現(xiàn)在請同學(xué)們看黑板上圖形，先猜一猜，再在書上數(shù)一數(shù)，哪個的面積最大？哪個的面積最小？
（最后，同學(xué)們通過的“數(shù)格子”方法比較出來，分別是12格、10格、9格、8格。所以第一個最大，最后一個最小。教師演示。） ［評析：在放手讓學(xué)生學(xué)習(xí)比較面積大小時，教師既充分尊重學(xué)生的方法，又引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“數(shù)格子”的方法，讓學(xué)生在比較中體會到“數(shù)格子”是比較有效的方法。］ 五、拓展延伸 師：同學(xué)們，通過這一課，我們學(xué)到了什么？ 生：我知道了什么叫做面積。面積就是物體表面或平面圖形的大小。 生：我知道用各種方法進(jìn)行面積的大小比較，主要有重疊法、觀察法、剪拼法。 生：還有數(shù)格子的方法。 師：最后，我們來做一個游戲。男生看的時候，女生不能看，女生看的時候，男生不能看?，F(xiàn)在開始，女生先看，（出示一個長方形的硬紙板正面）形這個圖形有多少格？（男生全部閉眼） ［評析：在學(xué)生的注意力開始之時，用游戲的方法又一次調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。］ 女生（齊說）：6格！ 師：（女生閉眼，老師出示一個同一個長方形硬紙板的反面）男生來看，這時有多少格子？ 男生（齊說）：24格！ 師：（把這張長方形硬紙板正反交替慢慢翻轉(zhuǎn)）請男生和女生同時看，現(xiàn)在請大家想想，誰看到的圖形大？ 生：一樣大。 師：那么，為什么用數(shù)格子的方法不能比較大小呢？看來我們不要學(xué)習(xí)更多的方法和知識，才能解決這個問題。今天的課，就學(xué)到這里，下課！ （雖然下課了，同學(xué)們有的陷入沉思，有的小聲議論著……） ［評析：真是獨(dú)具匠心的設(shè)計！讓學(xué)生帶著疑問離開課堂，正是新課程著力倡導(dǎo)的。更為可貴的是，已經(jīng)滲透了“統(tǒng)一面積單位”的重要性，為后繼學(xué)習(xí)打下伏筆。］ 【解讀】《面積的認(rèn)識》是小學(xué)階段學(xué)生從一維到二維空間觀念飛躍的重要起始教學(xué)。雖然，這樣的起始課已有多人研究過、探討過，但教者的精心設(shè)計與課堂實(shí)施，卻高人一籌，充分體現(xiàn)了對《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》重要理念的“高屋建瓴”地整體把握和感知。這堂課有一個特點(diǎn)，那就是── 讓學(xué)生“在過程中體驗(yàn)，在親歷中建構(gòu)” ！ 一、在過程中體驗(yàn) 全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）“前言”之“基本理念”中強(qiáng)調(diào)指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程應(yīng)當(dāng)是一個生動活潑、主動的和富有個性的過程。”而且，值得注意的是，在《標(biāo)準(zhǔn)》中還首次使用了“經(jīng)歷（感受）、體驗(yàn)（體會）、探索”等刻畫數(shù)學(xué)活動水平的過程性目標(biāo)的動詞和一些關(guān)于過程性目標(biāo)的描述。如,經(jīng)歷將一些實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的過程，經(jīng)歷探究物體與圖形形狀、大小、位置關(guān)系和變換的過程，經(jīng)歷提出問題、收集和處理數(shù)據(jù)、做出決策和預(yù)測的過程，等等。 由此可知，《標(biāo)準(zhǔn)》對“過程”賦予了更為深刻的含義，明確了“過程”的定位：過程本身就是一個課程目標(biāo)，即首先必須要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中去“經(jīng)歷……過程”。過程肯定和一些具體的知識、技能或方法聯(lián)系在一起，但經(jīng)歷過程不單單是為了這些結(jié)果，如果是這樣，讓教師“講”過程不是更省力？經(jīng)歷過程會帶給學(xué)生探索的體驗(yàn)、創(chuàng)新的嘗試、實(shí)踐的機(jī)會和發(fā)現(xiàn)的能力，這些比具體的結(jié)果更重要。所以需要我們花足力氣、濃墨重彩。 現(xiàn)在，我們就一起來領(lǐng)略一下這堂課是如何引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)“面積”的意義的。 “面積”這個詞，由于不是生活在真空中，他們對這個詞已經(jīng)早早接觸了，但是學(xué)生是否真正理解呢？還沒有。這正是錢老師這堂課教學(xué)的一個起點(diǎn)，而這個起點(diǎn)恰恰是從學(xué)生已有的生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平出發(fā)的。果然，開始的發(fā)問，學(xué)生馬上能夠回答出自己家的房子是多少平方米（有點(diǎn)學(xué)生竟然比較老道的用上“平米”，這就是現(xiàn)在的孩子?。?。接著，教者很有層次地讓學(xué)生進(jìn)行一系列的操作活動，孩子們既摸了平面（如桌面、書面，方糖盒子的面），同時還摸了曲面（如桔子的面、易拉罐的側(cè)面），體驗(yàn)到“物體都是有面的”。然后，又通過觀察比較它們的大小，體驗(yàn)到“面是有大小的”。這是第一層次。在第二層次，教者又引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識平面圖形，體驗(yàn)“平面圖形也是有大小的”，進(jìn)而總結(jié)出“面積”的意義：“物體表面或平面圖形的大小，叫做面積”?！?/span> 以往的教學(xué)，在這方面往往是不夠重視的。許多老師不肯在這方面花時間讓學(xué)生去實(shí)驗(yàn)、去體驗(yàn)，去經(jīng)歷這樣的過程，他們認(rèn)為這樣做不值得，有的甚至認(rèn)為：即使花力氣去做，學(xué)生的考試成績就會提高嗎？這些十分功利的教學(xué)觀念，顯然是與數(shù)學(xué)新課程中倡導(dǎo)學(xué)生持續(xù)、健康、和諧發(fā)展的理念相違背的。 當(dāng)今，“體驗(yàn)學(xué)習(xí)”已成為一種教學(xué)潮流?！绑w驗(yàn)”的“體”，意為設(shè)身處地、親身經(jīng)歷；“驗(yàn)”，意為察看感受、驗(yàn)證查考。所謂“體驗(yàn)學(xué)習(xí)”，即置身于一定的情境（真實(shí)的生活情境、模擬情境）之中，經(jīng)歷之、感受之、考察之，最終認(rèn)識之，掌握之。換言之，“體驗(yàn)學(xué)習(xí)”就是在一定情境下的行動，看似僅獲得直接的知識經(jīng)驗(yàn)，但因?yàn)樗瑫r伴隨著需要的滿足、心理的平衡、悟性的獲得等種種內(nèi)在精神活動，因此它是實(shí)在可以說是個體整個身心過程的全面激活?？偨Y(jié)起來，小學(xué)生“空間與圖形”方面的“體驗(yàn)學(xué)習(xí)”主要有下列一些形式： 1、動手操作。操作可使枯燥的知識趣味化，使抽象的概念具體化。如“長方體的認(rèn)識”一課，一位老師是這樣教學(xué)的：課前讓每位學(xué)生準(zhǔn)備一塊橡皮泥（也可用面團(tuán)代替）和十幾根火柴棒做為學(xué)具，在學(xué)生認(rèn)識了生活中哪些物體是長方體的基礎(chǔ)上，要求大家制作長方體，在操作中進(jìn)一步“體驗(yàn)”長方體的特征。課末進(jìn)行鞏固練習(xí)時，教師又設(shè)問：如果現(xiàn)在要做一個長方形的骨架，需要幾根火柴棒、幾個小泥團(tuán)？（12根和8個），又一次通過動手操作加深了對知識的理解。 2、開展實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)“實(shí)驗(yàn)”往往是用來驗(yàn)證、證明數(shù)學(xué)定理的正確性的。如一位老師在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”時，先布置學(xué)生畫一個任意三角形，量出其中兩個角的度數(shù)。教師猜出第三個角的度數(shù)。學(xué)生不信，一量果然如此。這個活動使學(xué)生建立猜想：“三角形的內(nèi)角和一定是180度嗎？”激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步去探究和發(fā)現(xiàn)。之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生從不同角度探索（銳角、直角、鈍角三角形），進(jìn)而得出結(jié)論，接著指導(dǎo)學(xué)生按下圖做一個實(shí)驗(yàn)：把三角形沿虛線折過去，三個角正好組成一個平角。這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)活動從表面上看是 實(shí)驗(yàn)，但實(shí)際上是從動手操作形式表現(xiàn)出來的證明。這種讓學(xué)生“碰釘子”后，自己“撥釘子”的教法，給學(xué)生以深刻的“體驗(yàn)”，收到“初次見面，印象深刻”的良好效果。正如心理學(xué)家研究所說：“保持和再現(xiàn)，在很大程度上依賴于有關(guān)心理活動第一次出現(xiàn)時注意和興趣的強(qiáng)度”。 3、實(shí)際測量。實(shí)際測量是學(xué)生十分喜愛的戶外實(shí)踐體驗(yàn)活動。實(shí)際測量有利于學(xué)生開闊眼界，增長見識，促進(jìn)數(shù)學(xué)交流，解決生活中的實(shí)際問題。 4、規(guī)劃設(shè)計。“規(guī)劃設(shè)計”式的“體驗(yàn)學(xué)習(xí)”，可以培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識解決實(shí)際問題的綜合能力和實(shí)踐創(chuàng)新能力。如，學(xué)習(xí)了“長方體和正方體的認(rèn)識”后，我設(shè)計了如下一道題：某工廠生產(chǎn)A、B、C、D、E五種產(chǎn)品。廠方要求設(shè)計師一種通用的包裝盒子，能包裝這一種產(chǎn)品中的任何一種。設(shè)計師按要求設(shè)計了如下圖所示的包裝盒子F，但部門經(jīng)理認(rèn)識，這還不是最節(jié)省材料的包裝盒，你能幫助設(shè)計師們一下，設(shè)計出最節(jié)省材料的包裝盒嗎？(結(jié)果如下圖G)
二、在親歷中建構(gòu) 教學(xué)活動中，學(xué)生通過觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等獲得對圖形的感性認(rèn)識，進(jìn)一步他們通過尋求證據(jù)或舉出例子，清晰地、有條理地表達(dá)自己的思考過程，并學(xué)會與他人合作與交流，這不僅建構(gòu)起他們的從點(diǎn)到面、從面到體的空間觀念，同時也在這種實(shí)證思維、推理思維、應(yīng)用思維和成功體驗(yàn)根植于他們的個性化的學(xué)習(xí)品質(zhì)之中。 “紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”。建構(gòu)主義教學(xué)論認(rèn)為，學(xué)生的建構(gòu)不是教師傳授與灌輸?shù)慕Y(jié)果，而是通過親歷，通過與學(xué)習(xí)環(huán)境單交互作用來實(shí)現(xiàn)的。 如果說錢老師前半段對“面積”從感性到理性的歸納是“實(shí)踐到認(rèn)識”的過程，那么后半段的小組活動進(jìn)一步“比較面積的大小”就是從“認(rèn)識現(xiàn)到實(shí)踐”的過程。在小組合作學(xué)習(xí)中，不斷有新的問題，激發(fā)其認(rèn)知沖突，又一次次通過合作、討論與交流化解矛盾沖突，進(jìn)入新的天地，在這種人與學(xué)習(xí)環(huán)境（學(xué)習(xí)的物理環(huán)境和心理環(huán)境）的交互作用下，學(xué)生知道并理解了比較面積大小的方法有觀察法、重疊法、剪拼法、數(shù)格子等等，而且不同的學(xué)生學(xué)到了不同的數(shù)學(xué)，因?yàn)樗麄冎溃簯?yīng)該根據(jù)具體的問題情境，選擇較為科學(xué)有效的方法才行。 最后的結(jié)尾又是絕妙之筆！“數(shù)格子”方法不是很管用嗎？為什么同樣面積大小的紙板卻有不同格子數(shù)呢？為什么在這里“數(shù)格子”的方法就不管用了呢？學(xué)生認(rèn)知的“平衡”再一次被打破，他們帶著疑問離開課堂，體現(xiàn)了“學(xué)起于疑，又終于疑”的新教學(xué)理念。學(xué)生在通過觀察法、重疊法、剪拼法之后，已經(jīng)對“統(tǒng)一面積單位”進(jìn)行比較有了一定的感性認(rèn)識，知道“數(shù)格子”就是一個方法。但是這種“數(shù)格子”統(tǒng)一面積單位進(jìn)行面積大小比較的方法還不是最科學(xué)的方法，從而激發(fā)了它們尋找、探究“面積單位“的欲望，這樣就為后面學(xué)習(xí)“面積單位”這一知識單元打下一個很好的伏筆了。 在這里，同學(xué)們不僅僅是在接受知識，而且通過自己的經(jīng)驗(yàn)在構(gòu)造自己對認(rèn)識客體的理解，是一種設(shè)身處地的移情，進(jìn)而達(dá)到對大自然奧秘、事物固有秩序的尊重與敬畏，直至對整個世界的關(guān)注。因此，這種親歷性的學(xué)習(xí)，不僅是用“腦”去學(xué)習(xí)，更是用“心”去學(xué)習(xí)，用心靈去體會，用整個身心去感受、理解。這對培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神，形成良好的素質(zhì)和個性的十分有益的。 （本文曾收入朱紅偉主編《新課程核心理念與案例·小學(xué)數(shù)學(xué)卷》，東南大學(xué)出版社）
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