練習(xí)305：計算極限

參考解答：

【思路一】(泰勒公式法) 由于分子的兩個函數(shù)為等價無窮小相減，并且拆分為兩項的差極限不存在，因此無法直接使用等價無窮小替換. 如果使用洛必達法則，則計算又非常復(fù)雜. 所以，我們還是考慮使用基本初等函數(shù)的帶皮亞諾余項的麥克勞林公式公式來計算. 這里雖然出現(xiàn)的是兩個復(fù)合的三角函數(shù)，但是展開式我們只用兩個基本初等函數(shù)，正弦函數(shù)與正切函數(shù). 由于分母中出現(xiàn)的冪函數(shù)的次數(shù)為3，所以只需要考慮使用三階帶皮亞諾余項的麥克勞林公式. 于是有

將以上變量分別用相應(yīng)的正切、正弦函數(shù)替換，于是可得

由于

所以原極限為

再一次將函數(shù)展開成3階帶皮亞諾余項的麥克勞林公式

所以有

即

當然，以上分子帶皮亞諾余項的麥克勞林公式也可以直接通過計算分子的函數(shù)在處的函數(shù)值、一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)值，直接由公式

得到帶皮亞諾余項的麥克勞林公式公式來計算。

【注】：通過一系列函數(shù)極限的計算方法，發(fā)現(xiàn)使用帶皮亞諾余項的麥克勞林公式公式在求自變量趨于0的函數(shù)極限問題中確實不失為一種有效的方法。

【分析二】(三角恒等式變換，等價無窮小方法) 通過加項、減項統(tǒng)一函數(shù)結(jié)構(gòu)，轉(zhuǎn)換為熟悉的表達式，然后借助三角很等式變換和基本求極限方法計算函數(shù)極限. 具體步驟如下：分子加、減 項，并考慮分式拆項，由極限的減法運算法則（后向驗證），得

對于兩個極限分別計算，得

所以最終的結(jié)果為

【注】：其中用到的相關(guān)三角恒等式為