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一、原函數(shù) 如果在區(qū)間上，，則稱為的一個原函數(shù).【注】如果一個函數(shù)存在原函數(shù)，那么它有無窮多個原函數(shù)，而且其中任何兩個原函數(shù)之間只相差一個常數(shù)．對于不同描述形式的原函數(shù)，相差的常數(shù)可以通過取特定變量值來得到. 比如(1) 若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則在區(qū)間上存在原函數(shù).(2) 如果在區(qū)間上函數(shù)有第一類間斷點(diǎn)和第二類無窮間斷點(diǎn)，則函數(shù)在該區(qū)間上沒有原函數(shù)；如果函數(shù)在區(qū)間上僅僅具有第二類振蕩間斷點(diǎn)，則有可能存在有原函數(shù).例1 包含振蕩間斷點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)定義的函數(shù)可能存在有原函數(shù). 如為的振蕩間斷點(diǎn)，在全體實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有原函數(shù).例2 包含第一類間斷點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)函數(shù)不存在原函數(shù). 在點(diǎn)出分別為函數(shù)的第一類跳躍間斷點(diǎn)和可去間斷點(diǎn)，它們在區(qū)間上都不存在原函數(shù). 對于，在處對應(yīng)著分段函數(shù)的尖點(diǎn)位置；對于，假設(shè)有原函數(shù)，則在時，有，由可導(dǎo)必定連續(xù)，則，所以在內(nèi)，從而有，從而與所設(shè)為的原函數(shù)矛盾.例3 包含第二類無窮間斷點(diǎn)的區(qū)間內(nèi)函數(shù)不存在原函數(shù). 如 在區(qū)間上不存在原函數(shù)，其中為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn). 雖然通常記 但這僅僅是一種形式上的記法，并不代表在區(qū)間上存在原函數(shù)，因?yàn)閷?shù)函數(shù)在處根本沒有定義，當(dāng)然也就不可能存在導(dǎo)數(shù). 三、不定積分 函數(shù)在區(qū)間上所有原函數(shù)的一般表達(dá)式稱為在上的不定積分，并且有- 稱為被積表達(dá)式，計算中就為原函數(shù)的微分，即
- 稱為積分變量，即僅僅對變量求導(dǎo)數(shù)或微分，其余符號對于積分而言為常數(shù)．
【注】 不定積分是所有原函數(shù)的集合，結(jié)果一定不能缺少！沒有則僅僅是原函數(shù)集合中的一個元素. 四、不定積分基本性質(zhì) 1、求導(dǎo)、微分與積分的互逆運(yùn)算【注】 不定積分與求導(dǎo)、微分互為逆運(yùn)算，交替使用相互“抵消”. 最后的一個運(yùn)算決定結(jié)果形式，最后運(yùn)算為不定積分，則結(jié)果不能忽略任意常數(shù)；為微分運(yùn)算，則結(jié)果不能缺少.2、不定積分線性運(yùn)算性質(zhì)五、基本不定積分公式 由基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本公式，逆向推導(dǎo)有基本初等函數(shù)的不定積分基本計算公式，它們是求不定積分的基礎(chǔ)，必須熟記和掌握！具體基本積分表參見后面的課件或教材！【注1】基本不定積分基本公式表中的公式中的d就為微分運(yùn)算符. 其中的積分變量符號x可以直接替換為任意可導(dǎo)函數(shù)表達(dá)式.不過記得一定是等式兩端所有x都換成相同的表達(dá)式. 如由此可知是的一個原函數(shù). 這個結(jié)果的應(yīng)用直接得到后面不定積分的“湊微分”法或第一類換元法. 【注2】對于不定積分結(jié)果在計算出來以后，一定要通過求導(dǎo)運(yùn)算驗(yàn)證其結(jié)果是否就為被積函數(shù). 只要求導(dǎo)結(jié)果為被積函數(shù)，則不管結(jié)果的描述形式如何都為正確結(jié)果.
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