1980年代末，漢斯拉伊大學(xué)(Hansraj College)經(jīng)濟學(xué)榮譽畢業(yè)生的平均薪酬約為每年100萬印度盧比。這一數(shù)字大大高于80年代初或90年代初畢業(yè)的人們。

他們平均水平如此之高的原因是什么呢？沙魯克·汗是印度收入最高的名人之一，1988年畢業(yè)于漢薩拉吉學(xué)院，當(dāng)時他在那里攻讀經(jīng)濟學(xué)榮譽學(xué)位。

這一點，以及還有很多的例子都會告訴我們，平均值并不是很好的可以指示出數(shù)據(jù)的中心在哪里。它可能會受到異常值的影響。在這種情況下，查看中位數(shù)是更好的選擇。 它是一個很好的數(shù)據(jù)中心的指示器，因為一半數(shù)據(jù)位于中間值以下，另一半位于中間值上方。

到目前為止，一切都很好——我相信你已經(jīng)看到人們早些時候提出了這一點。問題是沒有人告訴你如何進行像假設(shè)檢驗這樣的分析。

統(tǒng)計檢驗用于制定決策。為了使用中位數(shù)進行分析，我們需要使用非參數(shù)檢驗。非參數(shù)測試是分布獨立的檢驗，而參數(shù)檢驗假設(shè)數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。說參數(shù)檢驗比非參數(shù)檢驗更加的臭名昭著是沒有錯的，但是前者沒有考慮中位數(shù)，而后者則使用中位數(shù)來進行分析。

接下來我們就進入非參數(shù)檢驗的內(nèi)容。

**注意：**本文假定你具有假設(shè)檢驗，參數(shù)檢驗，單尾檢驗和雙尾檢驗的先決知識。

1.非參數(shù)測試與參數(shù)測試有何不同？

當(dāng)總體參數(shù)的信息完全已知時使用參數(shù)檢驗，而當(dāng)總體參數(shù)的信息沒有或很少使用非參數(shù)檢驗，簡單的說，參數(shù)檢驗假設(shè)數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。然而，非參數(shù)檢驗對數(shù)據(jù)沒有任何分布。

但是參數(shù)是什么？參數(shù)不過是無法更改的總體特征。讓我們看一個例子來更好地理解這一點。

一位老師使用以下公式計算了班級學(xué)生的平均成績：

看上面給出的公式，老師在計算總分時已經(jīng)考慮了所有學(xué)生的分數(shù)。假設(shè)學(xué)生的分數(shù)是準確的，并且沒有遺漏的分數(shù)，你是否可以更改學(xué)生的總分數(shù)？并不可以。因此，平均分被稱為總體的一個參數(shù)，因為它不能被改變。

2.什么時候可以應(yīng)用非參數(shù)檢驗？

讓我們看一些例子。

1.比賽的獲勝者由名詞決定，而名次是根據(jù)越過終點線來進行排名的?，F(xiàn)在，第一個越過終點線的人排名第一，第二個越過終點線的人排名第二，依此類推。我們不知道獲勝者是以多遠的距離擊敗了另一個人，因此區(qū)別是未知的。

2.有20人接受了一個療程的治療，并且通過調(diào)查記錄他們的癥狀。遵循治療過程后，要求患者在5個類別中進行選擇。調(diào)查看起來像這樣：

現(xiàn)在，如果你仔細查看上述調(diào)查中的值可以發(fā)現(xiàn)，值是不可以擴展的，它是基于病人的經(jīng)驗來判斷的。而且，評分是被分配的而不是被計算的。在這種情況下，參數(shù)檢驗無效。

對于名義數(shù)據(jù)，不存在任何參數(shù)檢驗。

3.檢測極限是值通過給定的分析方法可以檢測到的物質(zhì)的最低數(shù)量，但是不一定要將其定量為精確值。例如，病毒載量就是你血液中的HIV含量。病毒載量可以超出檢測極限，也可以更高的數(shù)量。

4.在上面的平均薪酬方案的例子中，沙魯克的收入是一個離群值。什么是離群值？沙魯克的收入與其他經(jīng)濟學(xué)專業(yè)畢業(yè)生的收入相距異常。因此，沙魯克的收入在這里變得異常，因為它與數(shù)據(jù)中的其他值之間存在異常距離。

總而言之，非參數(shù)檢驗可以應(yīng)用于以下情況：

1. 數(shù)據(jù)不遵循任何概率分布
2. 數(shù)據(jù)由順序值或等級構(gòu)成
3. 數(shù)據(jù)中有異常值
4. 數(shù)據(jù)具有檢測極限

這里要注意的一點是，如果存在一個針對問題的參數(shù)檢驗，則使用非參數(shù)檢驗將產(chǎn)生非常不準確的答案。

3.使用非參數(shù)檢驗的優(yōu)缺點

在上面的討論中，你可能已經(jīng)注意到，我提到了使用非參數(shù)測試可能有利或不利的幾點，因此現(xiàn)在讓我們共同來看一下這些點。

優(yōu)點

使用非參數(shù)檢驗而不是參數(shù)檢驗的優(yōu)點是

1.即使樣本量很小，非參數(shù)測試也可以提供準確的結(jié)果。

2.當(dāng)正態(tài)性假設(shè)被違背時，非參數(shù)檢驗比參數(shù)檢驗更加有效。

3.它們適用于所有數(shù)據(jù)類型，例如標稱，序數(shù)，間隔或具有離群值的數(shù)據(jù)。

缺點

1.如果數(shù)據(jù)進行任何參數(shù)檢驗，那么使用非參數(shù)檢驗可能是一個可怕的錯誤。

2.非參數(shù)檢驗的臨界值表未包含在許多計算機軟件包中，因此這些測試需要更多的手工計算。

4.非參數(shù)檢驗的假設(shè)檢驗

現(xiàn)在你知道非參數(shù)檢驗對總體參數(shù)無所謂，因此它不對父級總體的均值、標準差等做出任何假設(shè)。這里的零假設(shè)是一般的，因為兩個給定的總體是相等的。

進行非參數(shù)檢驗時應(yīng)遵循的步驟：

第一步是建立假設(shè)并選擇一個顯著性水平

現(xiàn)在，讓我們看看這兩個是什么

假設(shè)：我的預(yù)測是Rahul會贏得比賽，另一個可能的結(jié)果是Rahul不會贏得比賽。這些都是我的假設(shè)。我的備擇假設(shè)是Rahul將贏得比賽，因為我們將讓備擇假設(shè)等于我們想要證明的。零假設(shè)是相反的假設(shè)，通常零假設(shè)是沒有差異的陳述。例如，

零假設(shè)：H0：樣本均值與總體均值之間沒有顯著性差異

備擇假設(shè)：H1：樣本均值與總體均值之間存在顯著性差異

顯著性水平： 它是做出錯誤決定的可能性。在上述假設(shè)陳述中，零假設(shè)表示樣本和總體均值之間沒有差異。假設(shè)樣本均值和總體均值之間沒有差異時，拒絕零假設(shè)的風(fēng)險為5％。這種拒絕零假設(shè)成立的風(fēng)險或可能性稱為顯著性水平。

顯著性水平用α表示

在非參數(shù)檢驗中，根據(jù)研究的興趣，假設(shè)檢驗可以是單側(cè)或雙側(cè)。

2.設(shè)置測試統(tǒng)計信息

要了解什么是統(tǒng)計量，讓我們看一個例子。一位老師計算了A部分學(xué)生的平均成績，例如36分，她使用A部分學(xué)生的平均成績來表示B，C和D部分學(xué)生的平均成績。這里要注意的是，老師沒有使用學(xué)生在所有部分中獲得的總成績，而是使用了A部分的平均成績。在這里，平均成績被稱為統(tǒng)計信息，因為老師沒有使用整個數(shù)據(jù)。

在非參數(shù)檢驗中，將觀察到的樣本轉(zhuǎn)換為等級，然后將等級視為檢驗統(tǒng)計量。

3.設(shè)定決策規(guī)則

決策規(guī)則只是告訴我們何時拒絕原假設(shè)的一個語句。

4.計算檢驗統(tǒng)計量

在非參數(shù)檢驗中，我們使用等級來計算檢驗統(tǒng)計量。

5.將檢驗統(tǒng)計量與決策規(guī)則進行比較

在這里，你將接受或拒絕基于比較的零假設(shè)。

在討論非參數(shù)檢驗的類型時，我們將更深入地研究這一部分。

5.非參數(shù)測試

1.曼·惠特尼U檢驗（Mann Whitney U test）

也稱為曼惠特尼威爾科克森（Mann Whitney Wilcoxon）和威爾科克森秩和檢驗（Wilcoxon rank sum test），是獨立樣本t檢驗的一種替代方法。讓我們通過一個例子來理解這一點。

一個制藥組織創(chuàng)造了一種新的藥物來治療夢游，一個月后對5名患者進行了觀察。另一組5人已經(jīng)服用了舊藥物一個月。然后，該組織要求個人記錄上個月的夢游病例數(shù)。結(jié)果是：

如果你看這張表，服用新藥的一個月內(nèi)發(fā)生夢游的病例比服用老藥的少。

查看下面給出的圖形。

現(xiàn)在，在這里你可以看到當(dāng)一個人服用新藥時，他發(fā)生夢游的幾率會降低。

理解這個問題了嗎？我們來看看Mann Whitney U測試是如何工作的。我們很想知道服用不同藥物的兩組報告的夢游病例數(shù)是否相同。假設(shè)如下：

H0:兩組報告的病例數(shù)量相同

H1:兩組報告的病例數(shù)不同

我選擇5%的顯著性水平進行測試。下一步是設(shè)置一個測試統(tǒng)計信息。

對于Mann Whitney U檢驗，檢驗統(tǒng)計量由U 表示，U是U 1 和U 2 的最小值。

$$

$$
其中r1為第一組的秩和，r2為第二組的秩和，n1為第一組的大小，n2為第二組的大小。

現(xiàn)在，我們將通過合并這兩組來計算秩?，F(xiàn)在的問題是

如何分配秩？

秩是非參數(shù)檢驗的非常重要的組成部分，因此，學(xué)習(xí)如何為樣本分配秩非常重要。讓我們學(xué)習(xí)如何分配秩。

1.我們將兩個樣本合并，并按升序排列。我分別對舊藥和新藥使用OD和ND來代替。

此處，最小值被賦值為1，第二個最小值被賦值為2，依此類推。

但是請注意，數(shù)字1、4和8在組合樣本中出現(xiàn)了多次。因此分配的秩是錯誤的。

樣本中有聯(lián)系時如何分配秩呢？

聯(lián)系基本上是一個樣本中出現(xiàn)多次的數(shù)字。排序數(shù)據(jù)后，查看樣本中數(shù)字1的位置。在這里，數(shù)字1出現(xiàn)在第一和第二位置。在這種情況下，我們?nèi)?和2的平均值（因為數(shù)字1出現(xiàn)在第一和第二位置），并將平均值分配給數(shù)字1，如下所示。我們對數(shù)字4和8遵循相同的步驟。這里的數(shù)字4出現(xiàn)在第5位和第6位上，它們的均值為5.5，因此我們將數(shù)字5.5分配給數(shù)字4。沿這些行計算數(shù)字8的等級。

當(dāng)樣本中存在聯(lián)系時，我們分配平均秩，以確保每個大小為n的樣本的秩和相同。因此，秩和將始終等于
n ( n + 1 ) 2 \frac{n(n+1)}{2} 2n(n+1)?
2.下一步是計算組1和組2的秩和。

R 1 = 15.5
R 2 = 39.5

3.使用U 1 和U 2 的公式，計算它們的值。

U 1 = 24.5
U 2 = 0.5

現(xiàn)在，U = min（U 1 ，U 2 ）= 0.5

注意：對于Mann Whitney U test，U的值在（0，n 1 * n 2 ）范圍內(nèi)，其中0表示兩組完全不同，n 1 * n 2 表示兩組之間存在一定的關(guān)系。而且，U 1 + U 2 始終等于n 1 * n 2 。請注意，此處的U值為0.5，非常接近0。

現(xiàn)在，我們使用臨界值表來確定臨界值（用p表示）， 該值是從檢驗的顯著性水平得出的一個點 ，用于拒絕或接受無效假設(shè)。在Mann Whitney U test中，檢驗標準為

接受H0：U ≤ 臨界值

拒接H0：U > 臨界值

在這里，p = 2

U <臨界值，因此，我們拒絕零假設(shè)，并得出結(jié)論，沒有重要證據(jù)表明兩組報告的夢游病例數(shù)目相同。

2.威爾科克森符號秩檢驗（Wilcoxon Sign-Rank Test）

當(dāng)樣本違反正態(tài)分布假設(shè)時，就可以使用該檢驗代替配對t檢驗。

一位老師在課堂上教了一個新題，并決定在第二天進行突擊測驗。一共有6名學(xué)生接受了測試，滿分為10分，第一次測試分數(shù)如下：

注意：假定以下數(shù)據(jù)違反了正態(tài)分布的假設(shè)。

現(xiàn)在，老師決定在一周的自習(xí)課中再次參加考試。分數(shù)如下

讓我們檢查一下一周后的學(xué)生成績是否有所提高。

在上表中，在某些情況下，學(xué)生的得分比以前低，并且在某些情況下，學(xué)生4的進步相對較高。這可能是由于隨機效應(yīng)。我們將使用此測試分析差異是系統(tǒng)的還是偶然的。

下一步對差值的絕對值進行排序。請注意，只有在按升序排列數(shù)據(jù)后才能執(zhí)行此操作。

在Wilcoxon sign-rank test中，我們需要符號秩，基本上是將與差異相關(guān)的符號分配給秩，如下所示。

容易吧？那么現(xiàn)在的假設(shè)是什么？

H0：正秩和

H1：負秩和

假設(shè)可以是單側(cè)的，也可以是雙側(cè)的，我使用單側(cè)假設(shè)，使用5％的顯著性水平。因此，α=0.05

此測試的測試統(tǒng)計量是W在下面定義的W 1 和W 2中的較小者：

W1：正秩和

W2：負秩和

W 1 = 17.5

W 2 = 3.5

W =min（W 1 ，W 2 ）= 3.5

在這里，如果W 1 與W 2 相似，那么我們接受零假設(shè)。否則，在中，如果差異反映出學(xué)生得分的提高，則我們拒絕原假設(shè)。

W的臨界值可以在表中查到。

接受或拒絕零假設(shè)的標準是

接受H0：W ≤ 臨界值

拒絕H0：W＞臨界值

**在這里，W>臨界值= 2，因此我們接受零假設(shè)并得出結(jié)論，兩個檢驗的分數(shù)之間沒有顯著差異。 **

W

在這里，W>臨界值= 2，因此我們接受零假設(shè)并得出結(jié)論，兩個測試的標記之間沒有顯著差異。

3.符號檢驗（Sign Test）

該檢驗與Wilcoxon Sign-Rank Test相似，如果數(shù)據(jù)違反正態(tài)性假設(shè)，也可以用它代替配對t檢驗。我將使用在Wilcoxon Sign-Rank Test中使用的相同例子（假設(shè)它不遵循正態(tài)分布）來解釋符號測試。

讓我們再次查看數(shù)據(jù)。

在Sign Test中，我們沒有考慮大小，因此忽略了等級。假設(shè)與以前相同。

H0：中位數(shù)差為0

H1：中位數(shù)差為正

在這里，如果我們看到相同數(shù)量的正差和負差，則零假設(shè)成立。否則，如果我們看到更多的正號，則拒絕零假設(shè)。

測試統(tǒng)計量：此處的測試統(tǒng)計量小于正負號的數(shù)量。

確定臨界值，拒絕和接受原假設(shè)的標準為：

接受H0：如果+和-的符號數(shù)量≤臨界值

拒絕H0：如果+和-的符號數(shù)量＞臨界值

在這里，+＆–符號的較小數(shù)目= 2 <臨界值=6。因此，我們拒絕零假設(shè)，并得出結(jié)論，沒有明顯的證據(jù)表明中位數(shù)差為零。

4.秩和檢驗（Kruskal-Wallis Test）

當(dāng)你處理兩個以上的獨立群體時，該測試是非常有用的，它可以比較k個群體的中位數(shù)。當(dāng)數(shù)據(jù)違反了正態(tài)分布的假設(shè)并且樣本量太小時，此測試可以替代單因素方差分析。注意：Kruskal-Wallis Test可用于連續(xù)和有序級別的因變量。

讓我們看一個例子，以增強我們對Kruskal-Wallis Test的理解。

登革熱患者分為3組，并給予三種不同類型的治療。經(jīng)過3天的療程后，患者的血小板計數(shù)如下。

請注意，三種治療的樣本量不同，可以使用Kruskal-Wallis Test來解決。

處理1、2和3的樣本量如下：

方法1；n 1 = 5

方法2；n 2 = 3

處理3；n 3 = 4

n = n 1 + n 2 + n 3 = 5 + 3 + 4 = 12

假設(shè)在下面給出，選擇5%的顯著性水平

H0：三種方法的中位數(shù)相同

H1：三種方法的中位數(shù)不同

將這些樣本從最小到最大進行排序，然后將秩分給樣本。

回想一下，秩和將始終等于n（n + 1）/ 2。

在這里，秩和= 78

n（n + 1）/ 2 =（12 * 13）/ 2 = 78

我們必須檢查3個總體中位數(shù)之間是否存在差異，因此我們將基于秩在檢驗統(tǒng)計數(shù)據(jù)中匯總樣本信息。在此，測試統(tǒng)計量由H表示，并由以下公式給出
H = ( 12 n ( n + 1 ) ∑ j = 1 k R j 2 n j ) ? 3 ( n + 1 ) H=\left(\frac{12}{n(n+1)} \sum_{j=1}^{k} \frac{R_{j}^{2}}{n_{j}}\right)-3(n+1) H=(n(n+1)12?j=1∑k?nj?Rj2??)?3(n+1)
在這里 ：k=比較的組數(shù)，

n=總樣本大小，

nj=第j組的樣本量，

Rj=第j組的秩和。

下一步就是利用臨界值確定H的臨界值，測試標準如下：

接受H0：H ≥ 臨界值

拒絕H0：H＜臨界值

H的值計算出來是6.0778，臨界值為5.656。因此，我們拒絕零假設(shè)，并得出結(jié)論，沒有重要證據(jù)表明這三個總體中位數(shù)相同。

注意：在Kruskal-Wallis Test中，如果有3個或更多獨立的比較組，每組中有5個或更多觀察值，則檢驗統(tǒng)計量H近似為k-1自由度的卡方分布。因此，在這種情況下，你可以在卡方分布表中找到檢驗的臨界值作為臨界值。

5.斯皮爾曼等級相關(guān)性（Spearman Rank Correlation）

假如我去市場買了一條裙子，巧合的是，我的朋友從她附近的市場上買了同一條裙子，但她為此付出了更高的價錢。與我的朋友相比，我朋友家附近的市場更加昂貴。那么，地區(qū)會影響商品價格嗎？如果確實如此，那么該地區(qū)與商品價格之間便存在聯(lián)系。我們在這里使用斯皮爾曼等級相關(guān)性是因為它確定兩個數(shù)據(jù)集之間是否存在相關(guān)性。

蔬菜的價格因地區(qū)而異。我們可以使用斯皮爾曼等級相關(guān)性來檢查蔬菜價格和面積之間是否存在關(guān)系。這里的假設(shè)是：

H0：價格與面積無關(guān)

H1：價格與面積有關(guān)

在這里，趨勢線表明蔬菜價格與面積之間呈正相關(guān)。但是，應(yīng)使用斯皮爾曼等級相關(guān)性檢查相關(guān)方向和強度。

斯皮爾曼等級相關(guān)性是皮爾遜相關(guān)系數(shù)的非參數(shù)替代，用Rs表示。Rs的取值范圍（-1,1），其中

-1代表秩之間存在負相關(guān)關(guān)系

0代表秩之間沒有相關(guān)性

1代表秩之間存在正相關(guān)性

將秩分配給樣本后，使用以下公式計算S斯皮爾曼秩相關(guān)系數(shù)。

Case 1 :當(dāng)數(shù)據(jù)中沒有聯(lián)系時
ρ = 1 ? 6 ∑ d i 2 n ( n 2 ? 1 ) \rho=1-\frac{6 \sum d_{i}^{2}}{n\left(n^{2}-1\right)} ρ=1?n(n2?1)6∑di2??
Case 2:當(dāng)數(shù)據(jù)中有聯(lián)系時
ρ = 1 n ∑ i = 1 n ( ( R ( x i ) ? R ( x ˉ ) ) ( R ( y i ) ? R ( y ˉ ) ) ) ( 1 n ∑ i = 1 n ( R ( x i ) ? R ( x ˉ ) ) 2 ) ( 1 n ∑ i = 1 n ( R ( y i ) ? R ( y ˉ ) ) 2 ) \rho=\frac{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\left(R\left(x_{i}\right)-R(\bar{x})\right)\left(R\left(y_{i}\right)-R(\bar{y})\right)\right)}{\sqrt{\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(R\left(x_{i}\right)-R(\bar{x})\right)^{2}\right)\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(R\left(y_{i}\right)-R(\bar{y})\right)^{2}\right)}} ρ=(n1?∑i=1n?(R(xi?)?R(xˉ))2)(n1?∑i=1n?(R(yi?)?R(yˉ?))2) ?n1?∑i=1n?((R(xi?)?R(xˉ))(R(yi?)?R(yˉ?)))?
在這里R（x）和R（y）為秩，R（xbar）和R(ybar)為平均秩

讓我們通過一個例子來理解這些公式的應(yīng)用。下表包括學(xué)生的數(shù)學(xué)和科學(xué)的的分數(shù)。

零假設(shè)表示標記之間沒有關(guān)系，備擇假設(shè)指出標記之間有關(guān)系。選擇5%的顯著性水平進行測試

現(xiàn)在計算秩和d，d是秩和n之間的差值，而n是樣本大小=10。執(zhí)行以下操作：

現(xiàn)在，使用該公式計算斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)。因此，斯皮爾曼等級相關(guān)性為0.67，這表明在數(shù)學(xué)和科學(xué)測試中獲得的學(xué)生排名之間呈正相關(guān)，這意味著你在數(shù)學(xué)中的排名越高，你在科學(xué)中的排名越高，反之亦然。

你也可以通過使用顯著性水平和樣本量確定臨界值來檢查此情況。拒絕或接受零假設(shè)的標準為：

接受H0：|rs| ≥臨界值

拒絕H0：|rs|＜臨界值

注意：此處的自由度為n-2。

臨界值為0.033，小于0.67因此我們拒絕零假設(shè)。

結(jié)束

當(dāng)參數(shù)檢驗的假設(shè)被違反時，非參數(shù)檢驗將更強大，并且可以用于所有數(shù)據(jù)類型，例如標稱，有序，區(qū)間以及數(shù)據(jù)具有離群值的情況。如果任何參數(shù)檢驗對問題是有效的，則使用非參數(shù)檢驗將給出非常不準確的結(jié)果。

總而言之，

Mann Whitney U Test用于檢驗兩組獨立組間的差異，分別為有序因變量和連續(xù)因變量

Wilcoxon sign rank test用于檢驗兩個相關(guān)變量之間的差異，該差異考慮了差異的大小和方向，但是Sign檢驗忽略了大小，僅考慮了差異的方向。

Kruskal-Wallis Test通過使用中位數(shù)比較了兩個以上獨立組的結(jié)果。

Spearman Rank Correlation技術(shù)用于檢查兩個數(shù)據(jù)集之間是否存在關(guān)聯(lián)，還可以說明關(guān)聯(lián)的類型。