二次函數(shù)動軸動區(qū)間最值探索——2020年秋伍家崗區(qū)九年級數(shù)學(xué)期末第24題解析

我們在研究二次函數(shù)最值問題時，經(jīng)常遇到動軸定區(qū)間或定軸動區(qū)間問題，無論誰定誰動，核心就是確定拋物線對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系。若軸在區(qū)間內(nèi)，則最值即為頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，若軸在區(qū)間外，根據(jù)開口方向來判斷最值取某個區(qū)間端點(diǎn)。

那如果對稱軸和區(qū)間均未定呢？其實(shí)方法仍然類似，只是在分類討論時會多出幾種情況罷了，對分類依據(jù)的掌握要求較高。

題目

關(guān)于x的兩個二次函數(shù)解析式為：y1=ax2-ax，y2=-ax2+(a+an)x-an，其中a為負(fù)常數(shù)，n為小于等于3的某個數(shù).

(1)若a為-1，試判斷(-1,-2)關(guān)于拋物線y1對稱軸的對稱點(diǎn)是否在拋物線y1上？

(2)如圖1，設(shè)拋物線y1=ax2-ax與x軸交于點(diǎn)O，另一點(diǎn)A.設(shè)拋物線y1與拋物線y2另一個交點(diǎn)為點(diǎn)B(兩交點(diǎn)不重合)，試問新函數(shù)z=2y1-y2當(dāng)x取值在A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間(含A，B橫坐標(biāo))時，是否存在最大值？求最小的最大值對應(yīng)的n的取值.

解析：

(1)將a=-1代入，則y1=-x2+x，本小題其實(shí)非常簡單，只是敘述上有點(diǎn)“繞”，因為拋物線本身就是軸對稱圖形，只要有一個點(diǎn)在拋物線上，那么它的對稱點(diǎn)一定也在拋物線上，因此只需要驗證(-1,-2)在不在y1=-x2+x上即可，顯然它在；

(2)仍然逐字讀題，“拋物線y1=ax2-ax與x軸交于原點(diǎn)O，另一點(diǎn)A”，我們將拋物線化為交點(diǎn)式便可看出點(diǎn)A坐標(biāo)，y1=ax(x-1)，點(diǎn)A(1,0)；

“設(shè)拋物線y1與拋物線y2另一個交點(diǎn)為點(diǎn)B(兩交點(diǎn)不重合)”，說明這兩條拋物線有兩個交點(diǎn)，為什么要說“另一個交點(diǎn)B”呢？通常情況下說“另一個”前，一定有“這一個”，然而前一句講的是拋物線y1與x軸的交點(diǎn)，并非兩條拋物線的交點(diǎn)，所以實(shí)際上是隱藏了一條信息，需要學(xué)生挖掘。

我們將拋物線y2也化為交點(diǎn)式，可利用因式分解中的分組分解法，也可利用十字相乘法來完成，推導(dǎo)如下：

我們可發(fā)現(xiàn)，這兩條拋物線y1和y2都經(jīng)過了同一個點(diǎn)A，即前面所謂的隱藏信息。

當(dāng)然，我們將它們都化為交點(diǎn)式，對后面的探索非常有幫助，我們想找到點(diǎn)B坐標(biāo)，聯(lián)立它們，推導(dǎo)如下：

由兩交點(diǎn)不重合，可得n≠2；

“試問新函數(shù)z=2y1-y2當(dāng)x取值在A，B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之間(含A，B橫坐標(biāo))時，是否存在最大值？”，這里出現(xiàn)了新函數(shù)z=2y1-y2，不妨將前面解析式代入，可得新函數(shù)的解析式，不過也為了后面解題求最值，盡量化為頂點(diǎn)式，推導(dǎo)如下：

可以看出，它的對稱軸為x=(3+n)/6，而取值范圍在1和n/2之間(含端點(diǎn))，下面開始分類討論前的準(zhǔn)備工作：

依據(jù)一：1和n/2哪個更大？

依據(jù)二：(3+n)/6與1、n/2的大小關(guān)系？

其中依據(jù)一有兩個結(jié)果，依據(jù)二有三個結(jié)果，因此利用下概率常識也知道可能有六種結(jié)果；

先從1和n/2開始，分兩大類，在這兩個大類之下，各細(xì)分三個小類：

①當(dāng)n/2>1，即當(dāng)2<n≤3時，請留意題目中對于n的限制“n為小于等于3的某個數(shù)”

對于范圍n/2≤x≤1，(3+n)/6可在其左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)：

我們將范圍用紅色加粗線描出，再作出拋物線z的頂點(diǎn)D，當(dāng)(3+n)/6≤1時，如下圖：

解上述不等式得n≤3，此時在范圍內(nèi)，x=1時取最大值0；

當(dāng)1<(3+n)/6<n/2時，如下圖：

解上述不等式組得n>3，但與2<n≤3不符；

當(dāng)(3+n)/6≥n/2時，解這個不等式得n≤3/2，也與2<n≤3不符；

②當(dāng)n/2<1，即當(dāng)n<2時

對于范圍1≤x≤n/2，(3+n)/6可在其左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)：

我們將范圍用綠色加粗線描出，也作出拋物線的頂點(diǎn)D，當(dāng)(3+n)/6≤n/2時，如下圖：

解上述不等式得3/2≤n<2，此時在范圍內(nèi)，x=n/2時取最大值an(n-2)/4，考慮到n的取值范圍，這個最大值大于0；

當(dāng)n/2<(3+n)/6≤1時，如下圖：

解上述不等式得n<3/2，此時在范圍內(nèi)，取頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值，為-a(n-3)2/12，顯然它大于0；

當(dāng)(3+n)/6>1時，解得n>3，不符合“n是小于等于3的某個數(shù)”；

我們綜合以上所有的情況，發(fā)現(xiàn)新函數(shù)z在A，B橫坐標(biāo)之間時，存在三個最大值，其中兩個大于0，一個等于0，即最小的最大值是0，對應(yīng)的n的范圍是2<n≤3.

解題反思

第1小題并不需要求對稱軸，再求對稱點(diǎn)，再代入解析式驗證，利用拋物線圖象軸對稱性即可判斷。此處的主要困難在于閱讀理解“關(guān)于拋物線y1對稱軸的對稱點(diǎn)是否在拋物線y1上”，解讀后，問題迎刃而解。

第2小題中，新函數(shù)的對稱軸含n，取值范圍也含n，因此屬于“動軸動區(qū)間”，在這個基礎(chǔ)上討論最值，對學(xué)生的空間構(gòu)圖要求比較高，雖然題目給出了兩個備圖供分析，但實(shí)質(zhì)上備圖中的拋物線只是y1，而不是新函數(shù)z，因此參考意義不大，同時這個新函數(shù)含參，拋物線不容易畫，歸根到底仍然要靠空間想像。

在分類討論的時候，要隨時留意題目主干條件中對n的范圍要求，以及分類時對n的范圍要求，相當(dāng)于不斷求不等式組解集，非?？简?zāi)托呐c細(xì)心。在排除掉不能取最值的情況之后，對于符合條件的最值進(jìn)行比較，三個最值中設(shè)計較為巧妙，只有一個最值為0的最小，另外兩個最值都是正數(shù)。

在求解過程中，值為正的兩個最值不好求，好在最終判斷時并不需要求具體值。

同樣本題考查學(xué)生的閱讀甄別能力，“求最小的最大值對應(yīng)的n的取值”，著實(shí)要費(fèi)一點(diǎn)眼力。