賭金分配問題與數(shù)學(xué)期望

huyanluanyuya 2021-04-05

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概率論是一門研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，也是一門研究事情發(fā)生的可能性的學(xué)問。但是你知道嗎？概率論的起源與歐洲文藝復(fù)興時期的賭博活動密切相關(guān)，今天大小吳就來和大家聊一聊這些往事。

1 梅累騎士的問題

1654年，法國貴族德·梅累騎士在一次名流聚會活動中向當(dāng)時名滿歐洲的天才數(shù)學(xué)家帕斯卡提出了這樣一個問題：

“
有兩個賭徒和，他們倆下賭金之后，約定誰先贏滿5局，誰就獲得全部賭金。對于兩人來說，游戲的規(guī)則是完全公平的（即兩人在每局游戲中獲勝的可能性相同）。賭了半天，贏了4局，贏了3局。這時突然有消息說警察馬上就要來了，兩人便急忙拿著獎金匆匆忙忙逃離了現(xiàn)場。

“
兩人到達安全地點后，開始商量如何分配賭金。贏了3局的認(rèn)為，由于兩人獲勝的局?jǐn)?shù)之比為.因此應(yīng)當(dāng)把賭金平均分成7份，按照這筆賭金的和進行分配是最合理的。

“
這時贏了4局的提出了異議：按照游戲規(guī)則，我只要再贏一局就可以贏得全部賭金，而你需要再連續(xù)贏兩局才能贏得全部賭金，顯然我能獲得全部賭金的可能性更大，按照的方式來分配賭金肯定對我不公平！

梅累騎士請教帕斯卡先生：在這種情況下，要如何分配賭金才合理呢？

如何當(dāng)場算出這個問題的比例，即便是當(dāng)時大家公認(rèn)的天才帕斯卡也完全沒有頭緒，不過帕斯卡向梅累騎士承諾：“我一定會想出這個問題的答案。”當(dāng)時在聚會中的人們被梅累騎士與帕斯卡的交談所吸引，但他們不知道自己正在親眼見證一個歷史性的瞬間。

這便是數(shù)學(xué)歷史上著名的賭金分配問題。

2 帕斯卡與費馬的通信

帕斯卡埋頭于這個難題，但當(dāng)時，這樣的概率計算還是有史以來的首次嘗試。即便是天才帕斯卡似乎也無法確認(rèn)自己的計算是否正確。于是，帕斯卡寫信給好友費馬（沒錯，就是那個本職工作是律師，但數(shù)學(xué)成就不比職業(yè)數(shù)學(xué)家差的“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”）。對于帕斯卡而言，當(dāng)時能夠參與解答這個難題的，非費馬莫屬。

帕斯卡在信中提出：

“
假設(shè)兩位賭徒繼續(xù)玩下去，再進行一局，若勝則可得全部賭金（獲得完整的1份賭金），若勝，則大家各勝4局，這種情況下和各有的可能性獲得賭金，所以這時賭金就應(yīng)該對半平分（和各獲得份賭金）。

“
綜上所述，在對于如何分配賭金的討論中，的概率應(yīng)當(dāng)全額分配給，剩下的概率應(yīng)該平分給和兩個人，因此分配方案為：

“
最終按照的比例進行分配，才是對兩人都公平的方案。

對于帕斯卡的問題，費馬則提出了另一種解法：

“
、兩人至多只要再玩兩局便可分出勝負(fù)。我們其實可以想象一下再玩兩局會出現(xiàn)的所有可能的情況：

第一局	第二局
勝	勝
勝	勝
勝	勝
勝	勝

“
每種情況都是等概率出現(xiàn)，其中前三種情況都是獲得全部賭金，而只有在最后一種情況時才能獲得全部賭金，因此應(yīng)該以的比例進行分配。

無論是帕斯卡的方法還是費馬的方法，他們都從不同的角度提出了如何合理分配賭金的方案。

3 數(shù)學(xué)期望

回顧一下這個問題，我們發(fā)現(xiàn)，僅僅考慮誰贏了幾局是不夠的，還必須和游戲一開始“率先贏滿5局者獲勝”的規(guī)則聯(lián)系起來。這樣，每個人的“期望值”便是不一樣的，離5局更近，“期望”就會高些，因而得到的賭金可以達到的份額；而離5局較遠，“期望”就會低些，得到的賭金就僅有了。

帕斯卡與費馬通過通信討論了合理分配賭金的問題，于是便有了上述關(guān)于“期望值”的數(shù)學(xué)，是為概率論之發(fā)端。

我們一般用來表示期望值（Expectation）.

已知離散型隨機變量在每一狀態(tài)下的取值以及對應(yīng)的概率.則期望可用如下公式計算：

比如在上述分配賭金問題中，能夠分得賭金的數(shù)學(xué)期望就是這樣計算而來的。