【原】第2講　三角恒等變換與解三角形

播南數(shù)學(xué) 2021-07-31

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第2講　三角恒等變換與解三角形

高考定位　1.三角函數(shù)的化簡與求值是高考的命題熱點，其中關(guān)鍵是利用兩角和與差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等進行恒等變換，“角”的變換是三角恒等變換的核心；2.正弦定理與余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查邊、角、面積的計算及有關(guān)的范圍問題.

真題感悟

1.(2019·全國Ⅱ卷)已知α∈(0,π/2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　)

解析　由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos²α.

則2sin α＝cos α，代入sin²α＋cos²α＝1，解得sin²α＝15，

又α∈(0，π/2)，所以sin α＝5)/5.

答案　B

2.(2018·全國Ⅱ卷)在△ABC中，BC＝1，AC＝5，則AB＝(　　)

3.(2018·全國Ⅰ卷)在平面四邊形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos∠ADB；

考點整合

1.三角函數(shù)公式

(1)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β；

tan(α±β)＝tan α±tan β1?tan αtan β.

(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos²α－sin²α＝2cos²α－1＝1－2sin²α.

(3)輔助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tan φ＝ba.

2.正弦定理、余弦定理、三角形面積公式

(1)正弦定理

在△ABC中，a/sin A＝b/sin B＝c/sin C＝2R(R為△ABC的外接圓半徑)；

變形：a＝2Rsin A，sin A＝a/2R，

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等.

(2)余弦定理

在△ABC中，a²＝b²＋c²－2bccos A；

變形：b²＋c²－a²＝2bccos A，

(3)三角形面積公式

S_△_ABC＝1/2absin C＝1/2bcsin A＝1/2acsin B.

熱點一　三角恒等變換及應(yīng)用

探究提高　1.三角恒等變換的基本思路：找差異，化同角(名)，化簡求值.三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系.

2.求解三角函數(shù)中給值求角的問題時，要根據(jù)已知求這個角的某種三角函數(shù)值，然后結(jié)合角的取值范圍，求出角的大小.求解時，盡量縮小角的取值范圍，避免產(chǎn)生增解.

熱點二　正弦定理與余弦定理

角度1　利用正(余)弦定理進行邊角計算

【例2－1】 (2019·鄭州調(diào)研)已知在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且asin B－bcos A＝0.

(1)求角A的大小.

探究提高　1.高考的熱點是利用正弦定理、余弦定理求三角形的邊、角、面積等基本計算，或?qū)蓚€定理與三角恒等變換相結(jié)合綜合解三角形.

2.關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口.

角度2　正、余弦定理的實際應(yīng)用

【例2－2】如圖，小明在山頂A處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在A處測得公路上B，C兩點的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽車從B點到C點歷時14 s，則這輛汽車的速度約為

探究提高　1.實際問題經(jīng)抽象概括后，若已知量與未知量全部集中在一個三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

2.實際問題經(jīng)抽象概括后，若已知量與未知量涉及兩個或兩個以上的三角形，這時需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時需設(shè)出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解.

【訓(xùn)練3】某氣象儀器研究所按以下方案測試一種“彈射型”氣象觀測儀器的垂直彈射高度：在C處(點C在水平地面下方，O為CH與水平地面ABO的交點)進行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個觀察點A，B兩地相距100米，∠BAC＝60°，其中A到C的距離比B到C的距離遠40米.A地測得該儀器在C處的俯角為∠OAC＝15°，A地測得最高點H的仰角為∠HAO＝30°，則該儀器的垂直彈射高度CH為(　　)