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其實(shí)，思考早就寫(xiě)在我先前的簡(jiǎn)書(shū)和頭條的文章中，這里只不過(guò)是借兩道數(shù)學(xué)題來(lái)給讀者講解下先前的思考結(jié)果。 第一題  題1 這是今日頭條一位老師視頻中的題，我80年代末期讀高中自學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)應(yīng)該沒(méi)學(xué)過(guò)三次函數(shù)，刷的題不多，看的數(shù)學(xué)書(shū)不多，還看與學(xué)習(xí)無(wú)關(guān)的書(shū)籍，也沒(méi)碰到過(guò)和三次函數(shù)有關(guān)的這樣的求和題，但在高中把數(shù)學(xué)思維玩的熟練，初高中數(shù)學(xué)知識(shí)沒(méi)啥好玩的，容易學(xué)，玩數(shù)學(xué)思維才有意思，初高中數(shù)學(xué)知識(shí)是玩數(shù)學(xué)思維鍛煉思維時(shí)的工具，或指月之手，過(guò)河之舟，我們的目的是知道月亮在哪、過(guò)河、鍛煉數(shù)學(xué)思維能力，領(lǐng)悟思維之道，別一直偏重手指和舟，只盯著手指和舟。讀大學(xué)期間很少學(xué)習(xí)，掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)也不多，也不是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)，畢業(yè)后幾十年來(lái)也不玩數(shù)學(xué)。 此時(shí)我如何處理？ 我想到了聯(lián)想思維和類(lèi)比思維，從思維方法論工具箱中搬出它們來(lái)用。另外，窮則思變，碰到無(wú)從下手的題，要有變化的思想和聯(lián)系&關(guān)系思想，找關(guān)系建構(gòu)關(guān)系才有出路，要變化才有出路。 觀察題目特征，有3次函數(shù)，所以就聯(lián)想到2次函數(shù):  ，再聯(lián)想到二次函數(shù)的配方法(配平方)，所以就類(lèi)比出配立方，配立方就是變化的操作手段，最終方法如下圖。  做完之后，看了這位老師的視頻，原來(lái)三次函數(shù)有對(duì)稱(chēng)中心，用了二階導(dǎo)數(shù)求對(duì)稱(chēng)中心，利用對(duì)稱(chēng)中心求出m+n之和。那時(shí)讀高中，沒(méi)學(xué)過(guò)三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心和微積分，微積分到大學(xué)才學(xué)，三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心一直沒(méi)學(xué)過(guò)。 對(duì)這道題的解題思維過(guò)程，引發(fā)我們什么思考？ 1.數(shù)學(xué)知識(shí)重要，需要學(xué)。我沒(méi)學(xué)過(guò)三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心知識(shí)，所以不知道這位老師的方法。其實(shí)大多數(shù)知識(shí)不難學(xué)，可以自學(xué)，就像看新聞和收集信息一樣，你掌握的多，碰到問(wèn)題時(shí)很可能就比不掌握這些信息的人反應(yīng)快或做的決策要好，信息不對(duì)稱(chēng)，但也不一定，還要有思維之道。 2.掌握數(shù)學(xué)知識(shí)有多重要？或者說(shuō)高中掌握眾多的知識(shí)有多重要？庸俗點(diǎn)說(shuō)，可能可以考上理想的大學(xué)。但很多讀過(guò)高中和大學(xué)的，你掌握的眾多數(shù)學(xué)知識(shí)有多大用處?用到了多少？還能記得多少？ 3.很多時(shí)候，思維比知識(shí)重要，或者說(shuō)知識(shí)和思維同等重要。數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，鍛煉思維沒(méi)有比用數(shù)學(xué)更好的方式。知識(shí)很容易忘記，很多在人的一生中也用不上，但鍛煉出來(lái)的思維能力，靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、系統(tǒng)、深刻、辯證、批判的思維品質(zhì)，在很多行業(yè)和領(lǐng)域是需要的，受用終身的，不只是數(shù)學(xué)領(lǐng)域。思維是有靈性的有智慧的，知識(shí)是工具，是靠思維來(lái)驅(qū)動(dòng)的。 4.初高中乃至大學(xué)教育，一直偏重知識(shí)的輸貫，鮮有真正的思維能力的鍛煉熏陶，老師在講題過(guò)程中，很少有能把思維過(guò)程講透徹講清楚的，通常一上來(lái)就講解題方法和知識(shí)，層次不夠高，浪費(fèi)了用好題來(lái)鍛煉思維的機(jī)會(huì)，學(xué)生很難體會(huì)到思維的樂(lè)趣，不知道如何用思維方法論來(lái)探索發(fā)現(xiàn)解題方法，大多只是機(jī)械記住了解題方法和數(shù)學(xué)知識(shí)，過(guò)后很容易遺忘。 5.解題過(guò)程中和解題結(jié)束后，要回味自己的思維過(guò)程和解題后的思維總結(jié)體會(huì)，得與失：怎么思考分析的，運(yùn)用了哪些思維方法，哪些思想方法，寫(xiě)出對(duì)思維方法和思想方法的實(shí)踐體會(huì)。例如這道題我通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)題目特征:三次函數(shù)。類(lèi)比二次函數(shù)，類(lèi)比二次函數(shù)的配方法(配平方)，我想到要對(duì)三次函數(shù)配立方。這道題鍛煉了類(lèi)比思維能力和辯證法的聯(lián)系觀，關(guān)系思想、構(gòu)造和函數(shù)思想。 理想的數(shù)學(xué)考試，應(yīng)該取消選擇題，另一個(gè)對(duì)有些題，不能只有解題方法，要學(xué)生寫(xiě)出自己的思維過(guò)程和解題后的思維總結(jié)體會(huì)。 數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操，只有對(duì)各種思維方法和思想方法念念不忘，在初高中數(shù)學(xué)物理學(xué)習(xí)中，經(jīng)常把它們掛在嘴上，寫(xiě)在紙上，印在腦中，多探索多體會(huì)它們的作用。玩索而有得，這樣才能達(dá)到鍛煉思維的目的，而不只是偏重對(duì)知識(shí)的學(xué)習(xí)掌握，這樣即便掌握很多知識(shí)，碰到有難度的題，沒(méi)有思維方法去破題，眾多知識(shí)也難以運(yùn)用。 第二題 如圖，邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC，對(duì)三邊作6等分線，出現(xiàn)各種大小的三角形，求圖中三角形的總數(shù)。這題是小學(xué)題，但高中生也可以做，可以推廣擴(kuò)展下，考慮邊長(zhǎng)為n且n等分時(shí)的情況。  題-2 三角形計(jì)數(shù) 對(duì)這道題，要把做這道題鍛煉了什么思維方法和思想方法，讓學(xué)生理解，而不是只教學(xué)生數(shù)數(shù)。 這道題，鍛煉觀察能力，形象思維能力和歸納能力?？砂l(fā)現(xiàn)所有大大小小的三角形都是正三角形，且三角形有兩種形式，如下圖所示，一種是一個(gè)頂點(diǎn)在上方，另一種是兩個(gè)頂點(diǎn)在上方。  除此之外，這題顯然還鍛煉有序化思想、分類(lèi)思想、化整為零思想。三角形按邊長(zhǎng)大小分成6類(lèi)，對(duì)每一類(lèi)三角形計(jì)數(shù)，再匯總起來(lái)就是所求的總數(shù)。在計(jì)數(shù)時(shí)，按邊長(zhǎng)大小從小到大的順序計(jì)數(shù)，且從上到下，從左到右計(jì)數(shù)。這樣就不容易遺漏，也不容易重復(fù)。 對(duì)高中生，就不要只限于做這樣的題，要推廣擴(kuò)展下，考慮邊長(zhǎng)為n且n等分時(shí)的情況。 邊長(zhǎng)為n，這是抽象情況，抽象問(wèn)題如果不好解決，可運(yùn)用抽象到具體的辯證思維，以退為進(jìn)簡(jiǎn)化問(wèn)題，考察下邊長(zhǎng)為1、2、3、4、5、6等具體數(shù)字且數(shù)字較小時(shí)的情況，得到一些啟發(fā)和感性經(jīng)驗(yàn)，歸納猜想出結(jié)論，或從簡(jiǎn)化問(wèn)題中得到啟發(fā)和感性經(jīng)驗(yàn)之后，再回到邊長(zhǎng)為n的情況。 根據(jù)從邊長(zhǎng)為具體數(shù)字時(shí)得到的啟發(fā)和感性認(rèn)識(shí)：三角形為正三角形、可運(yùn)用分類(lèi)思想、有序化思想、化整為零思想。我們可得出n時(shí)的情況。 頭條文章中的數(shù)學(xué)公式會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)位和變形，所以下面一段文字用截圖。  遞推思想 自己回味總結(jié)下做這道題在思維&思想上的收獲。 每道有意義的數(shù)學(xué)題都這樣回味總結(jié)，數(shù)學(xué)思維能力就容易鍛煉好，不要只盯著解題方法和方法中涉及到的底層的數(shù)學(xué)知識(shí)和低級(jí)的數(shù)學(xué)方法，它們大多數(shù)很簡(jiǎn)單，難點(diǎn)在思維上，也就是難在如何想、想什么上，難在解題的分析與破題上，如何思考出解題方法，這才是需要領(lǐng)悟的大道：數(shù)學(xué)思維之道&數(shù)學(xué)思維方法論體系。否則就是本末倒置，買(mǎi)櫝還珠，撿了芝麻丟了西瓜。 |
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