【原】三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題之ω的應(yīng)用

播南數(shù)學(xué) 2021-08-29

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三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問(wèn)題之ω的應(yīng)用

?方法導(dǎo)讀

近幾年高考降低了對(duì)三角變換的考查要求,而加強(qiáng)了對(duì)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查,因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容,是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ),又是解訣生產(chǎn)實(shí)際問(wèn)題的工具,因此三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn).要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來(lái),同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象,這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì),又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.在高考各種題型均有出現(xiàn)如選擇題、填空題和解答題,其試題難度屬中檔題.

?高考真題

【2019·全國(guó)Ⅲ卷理·12】設(shè)函數(shù),已知在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論:

①在有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)

②在有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)

③在單調(diào)遞增④的取值范圍是

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是( )

A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④

?解題策略

【過(guò)程分析】

方法一:首先由得到,再結(jié)合在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),得到,從而得到的取值范圍;然后由知,結(jié)合圖像可以判斷出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);又因?yàn)?/span>時(shí),聯(lián)系到在單調(diào)遞增,可知,得出滿足條件的的取值范圍,與大前提對(duì)比,看是否滿足要求.

方法二:函數(shù)在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),結(jié)合圖像可知恰

好位于第五個(gè)交點(diǎn)和第六個(gè)交點(diǎn)之間(包括第五個(gè)不包括第六個(gè)),

從而可判斷出極值點(diǎn)情況,且,得出的取值范圍,

再根據(jù)結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分析可得結(jié)論.

【深入探究】

在三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)中,與有關(guān)的問(wèn)題,往往難度相對(duì)比較大,常常利用整體換元的思想,數(shù)形結(jié)合的思想求解.數(shù)形結(jié)合思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化、生動(dòng)化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì).運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法,可更好的理解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).如三角函數(shù)的定義域,值域,周期性,奇偶性,單調(diào)性,對(duì)稱性等都可以從三角函數(shù)的圖象上直觀的顯現(xiàn)出來(lái),而利用三角函數(shù)的圖象又非常容易理解三角函數(shù)的這些性質(zhì).因此,明確研究三角函數(shù)問(wèn)題都可用代數(shù)和幾何相結(jié)合的思想方法,拓寬思維空間,提高解決問(wèn)題的能力.

?解題過(guò)程

方法一:

當(dāng)時(shí),,∵在有且僅有5個(gè)零點(diǎn),

∴,∴,故④正確;

由,知時(shí),令時(shí)取得極大值,①正確;

極小值點(diǎn)不確定,可能是個(gè)也可能是個(gè),②不正確;因此由選項(xiàng)可知只需判斷③是否正確即可得到答案,當(dāng)時(shí),,若在單調(diào)遞增,則,即,∵,故③正確.

方法二:

如圖,根據(jù)題意知,,根據(jù)圖像可知函數(shù)在有且僅有個(gè)極大值點(diǎn),所以①正確;但可能會(huì)有個(gè)極小值點(diǎn),所以②錯(cuò)誤;根據(jù),有,得,所以④正確;當(dāng)時(shí),,因?yàn)?/span>,所以,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,所以③正確.

?解題分析

本題為三角函數(shù)與零點(diǎn)結(jié)合問(wèn)題,難度大,可數(shù)形結(jié)合,分析得出答案,要求高,理解深度高,考查數(shù)形結(jié)合思想.注意本題中極小值點(diǎn)個(gè)數(shù)是動(dòng)態(tài)的,易錯(cuò),正確性考查需認(rèn)真計(jì)算,易出錯(cuò).

方法一通過(guò)整體換元得到,得到的取值范圍,再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像分析得出答案.

方法二結(jié)合圖像確定,即,得出的取值范圍,從而分析可得結(jié)論.

?拓展推廣

(一)函數(shù)圖象的平移變換解題策略

(1)對(duì)函數(shù),或的圖象,無(wú)論是先平移再伸縮,還是先伸縮再平移,只要平移個(gè)單位,都是相應(yīng)的解析式中的變?yōu)?/span>,而不是變?yōu)?/span>.

(2)注意平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致,若不一致,應(yīng)用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)再平移.

(二)結(jié)合圖象及性質(zhì)求解析式的方法

(1)求,,已知函數(shù)的最大值和最小值,則,.

(2)求,已知函數(shù)的周期,則.

(3)求,常用方法有:

①代入法:把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入(此時(shí),,,已知).

②五點(diǎn)法:確定值時(shí),往往以尋找“五點(diǎn)法”中的第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,具體如下:

“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與軸的交點(diǎn)中距原點(diǎn)最近的交點(diǎn))為;

“第二點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)為;

“第三點(diǎn)”(即圖象下降時(shí)與軸的交點(diǎn))為;

“第四點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)為;“第五點(diǎn)”為.

(三)三角函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略

(1)已知三角函數(shù)解析式求單調(diào)區(qū)間.

①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)遵循簡(jiǎn)單化原則,將解析式先化簡(jiǎn),并注意復(fù)合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”;

②求形如或(其中,)的單調(diào)區(qū)間時(shí),要視“”為一個(gè)整體,通過(guò)解不等式求解.但如果,那么一定先借助誘導(dǎo)公式將化為正數(shù),防止把單調(diào)性弄錯(cuò).

(2)已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù).先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后利用集合間的關(guān)系求解.

(3)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求值域(或最值).形如或可化為的三角函數(shù)的值域(或最值)問(wèn)題常利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決.

(四)三角函數(shù)的奇偶性、周期性、對(duì)稱性的處理方法

(1)求三角函數(shù)的最小正周期,一般先通過(guò)恒等變形化為,,的形式,再分別應(yīng)用公式,,求解.

(2)對(duì)于函數(shù),其對(duì)稱軸一定經(jīng)過(guò)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn),對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)一定是函數(shù)的零點(diǎn),因此在判斷直線或點(diǎn)是否為函數(shù)的對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心時(shí),可通過(guò)檢驗(yàn)的值進(jìn)行判斷.

(3)若為偶函數(shù),則,同時(shí)當(dāng)時(shí),取得最大或最小值.

若為奇函數(shù),則,同時(shí)當(dāng)時(shí),.

(五)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)與三角恒等變換相結(jié)合的綜合問(wèn)題

(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化成或的形式.

(2)利用公式求周期.

(3)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值,另外求最值時(shí),根據(jù)所給關(guān)系式的特點(diǎn),也可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值.

變式訓(xùn)練1

函數(shù)在區(qū)間上至少存在個(gè)不同的零點(diǎn),則正整數(shù)的最小值為( )

A B C D

變式訓(xùn)練2

已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào),且在區(qū)間內(nèi)恰好取得一次最大值,則的取值范圍是( )

A B C D