無窮問題的由來

全體自然數與它們的平方數，哪個多哪個少？這是意大利著名科學家伽利略在1638年提出的一個問題。

就人們的常識來說，自然數的平方仍是自然數，這樣自然數平方的集合N?應該是自然數集的一個真子集，所以自然數集中元素的個數應該多于集合N?中元素的個數。但是從另一個角度講，每個自然數都唯一對應了一個平方數，且兩集合元素都是無窮的，兩者好像很難比較。伽利略本人對這個問題困惑不解，同時代的其他科學家也甚為迷惘，不知道如何作答，因為不管如何回答都會自相矛盾。后來人們把這個問題稱為伽利略悖論。所謂“悖論”就是自相矛盾的命題，誰能料想，正是從解決類似“悖論”出發(fā)，200多年后誕生了一門成為整個數學基礎的學科——集合論。

歷史上人們對“無窮”的理解經歷了潛無窮與實無窮的多次爭辯。

數學上的實無窮思想是指：把無限的整體本身作為一個現成的單位，是已經構造完成了的東西，換言之，即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。按照此觀點，所有的自然數可以構成一個集合，因為可以將所有的自然數看做是一個完成了的無窮整體?？低袪柕臉闼丶险摼褪墙⒃趯崯o窮的基礎之上。舉個形象點的例子就是，一條線段上的點有無數個，但是這條線段本身又是有限的。

數學上的潛無窮思想是指：把無限看作是永遠在延伸著的，一種變化著、成長著的東西來解釋。它永遠處在構造中，永遠無法完結，是潛在的、永遠在創(chuàng)造著的過程。按照此觀點，自然數不能構成為一個集合，因為這個集合是永遠也完成不了的，它不能構成一個實在的整體，而是永遠都在構造之中。舉個形象點的例子就是，構成一條直線的點有無數個，并且這條直線永遠延伸著，不會有終結的時候。

其實，早在古希臘時代，無窮集合就已經引起數學家和哲學家的注意了。其中，芝諾(約公元前490前430)提出的悖論可能是與無窮有關的最早記錄。其中一個是說物體的運動是無法完成的，因為若物體要運動一段距離，則它需要先運動到這段距離的一半處，則它又需要先運動到一半的一半處，這個過程會一直持續(xù)無法終結，所以物體無法運動。這就類似于有1秒時間，我們先要過一半即1/2秒，再過一半即1/4秒，再過一半即1/8秒，這樣下去我們永遠都過不完這1秒，因為無論時間再短也可無限細分。其實，盡管看上去我們要過1/2、1/4、1/8秒……，好像永遠無窮無盡，但時間是正常流動的，1/2、1/4、1/8秒，時間越來越短，看上去無窮無盡，然而加起來只是個常數而已，也就是1秒。不過芝諾將無窮以悖論的形式掲露出來，迫使人們去思考，對數學的發(fā)展無疑起到了積極的影響。

古希臘的亞里士多德也考慮過無窮集合。但他不承認一個無窮集合可以作為固定的整體而存在。對他來說，集合只能是潛無窮而不可能是實無窮。

中國古代也很早就注意到了“無窮”，《莊子?天下篇》中的“一尺之種，日取其半，萬世不竭”，就蘊涵著無窮的觀念。

伽利略在他的《兩門新科學》中提出：兩個不等長的線段AB與CD上的點可以構成一一對應(見下圖),從而可以想象它們含有同樣多的點。加之他注意到前面的正整數可以和它的平方數構成一一對應，這就會導致無窮大的不同的“數量級”。伽利略說這是不可能的：所有的無窮大數量都一樣，不能比較大小。他確實與無窮集合作過斗爭，但卻因為它們不可理喻而放棄了。

直到中世紀，關于是否有實實在在無窮多個元素的集合這個問題，哲學家們仍然是各執(zhí)一詞，眾說紛紜。當時人們已經注意到這樣的事實：把兩個同心圓上的點用公共半徑連起來，就構成兩個圓上的點之間的一一對應關系，但大圓的周長卻比小圓的長，人們對這樣的問題無法解釋。

但是，微積分的創(chuàng)立卻成為解決無窮問題的催化劑，因為微積分最初是不嚴密的。微積分在創(chuàng)立之初采用的是實無窮的思路，將微積分中的dx, dy等符號視為實際存在的無窮小量，而dy/dx則是它們之間的比值，也就是無限小尺度下的斜率。在牛頓、萊布尼茲的時代，實無窮的概念雖然符合直覺，但是卻被批評為不夠嚴謹。后來，德國數學家卡爾·魏爾斯特拉斯（1815-1897）創(chuàng)建極限的潛無窮描述，提出極限的ε-δ語言，替代實無窮作為微積分的基礎，被學界認為是微積分的一大勝利，它能夠嚴謹地表示與證明，其定義和證明的過程都不涉及實際的無限小'量'，而以可無限趨近的'程序'代替。再后來，1960年代初，德國數學家亞伯拉罕·魯濱遜提出非標準分析，構建了超實數系，使數學分析回到實無窮的思路上(不過這不是學界的主流，數學界還是以ε-δ語言為主)。

在微積分的背景下，關于無窮集合的許多問題就再也無法回避了。19世紀末，一位年輕的德國數學家用無與倫比的超人智慧撥去籠罩在無窮集合上的重重迷霧，終于使人們看清了“無窮”的真面目，他就是建立“無窮集合論”的德國數學家康托爾(1845-1918)。

康托爾與集合論

康托爾致力于思考如何比較兩個無窮集合的規(guī)模。由于元素的“多少”已不適用于無窮集合，所以必須重新定義“一樣多”。對于兩個有限集，我們可以把“一樣多”定義為元素個數相同，這與我們的直覺完全一致，幾乎沒有任何理解障礙。但是對于兩個無窮集，就不能如此了，因為我們無法確定無窮集的元素個數。

怎么解決這個問題呢？康托爾提出一種創(chuàng)新思路，就是拋棄直接計算元素個數這種低級方法，采用所謂的對應關系來比較集合的規(guī)模：如果兩個無窮集之間能夠建立一一對應，我們就認為這兩個無窮集的元素“一樣多”，稱兩個集合具有相同的“勢”( power),或者說有相同的“基數”( cardinal number)。

這個解決方案好不好呢？也許是好的。因為它不僅解決了無窮集比較規(guī)模的困難，而且這種比較標準對于有限集也是同樣適用的。

按照康托爾的方法可以得到很多結果：自然數與其平方數一樣多，偶數與自然數一樣多，負整數與整數一樣多…，因為它們之間都能構建一一對應關系。

然而，這種反直覺的觀點，卻讓人很難接受(例如自然數中除了偶數還有奇數，讓人很難相信它們是一樣多的)。也許，真正讓我們困惑的并不是集合論的思想，而是我們根深蒂固的整體大于部分的樸素直覺。這個直覺對有限集來說是十分自然的，但是放在無窮集的場合就不成立了，換句話說，如果我們承認集合論，就不得不拋棄整體大于部分這個傳統(tǒng)觀點，這或許正是我們接納集合論所必須付出的代價。

這個代價值得嗎？在很多人看來，并不值得。在康托爾創(chuàng)立集合論的初期，主流數學界就把他天才而大膽的想法視為異端邪說，甚至把他逼成了瘋子。但是現在，集合論的思想已經被普遍接受了。何以如此？也許是因為集合論能夠解決的問題比它制造的麻煩遠遠多得多。

自然數集是數學家最鐘愛的集合，所以康托爾用數集來闡明他關于“勢”的概念，他引進了“可數”(enumerable)這個詞，對于凡是能和自然數集構成一一對應的任何一個集合都稱為可數集合，并且是最小的無窮集合。

首先，康托爾證明了全體有理數集合是可數的。這與直覺有很大出入，因為有理數是“稠密的”，即在任何兩個不同的有理數之間都存在無數個有理數，而自然數卻不是。對于這個結論，康托爾給出了著名的“對角線證明”：

把正有理數排列成如上圖形式的陣列。其中，第一行依大小次序包括所有以1為分母的正分數，即全體正整數；第二行依大小次序包括所有以2為分母的正分數；第三行依大小次序包括所有以3為分母的正分數……顯然，每個正有理數都出現在這個陣列中(因為有理數就是分數)。必須注意的是，其中有些有理數是重復出現的?，F在我們從 開始，按照箭頭所示的方向依次指定1對應 ,2對應 ,3對應 ,4對應 ……每一個有理數必將在某一步對應于一個被指定的自然數。于是，上面列出的有理數集合與自然數集合構成一一對應。把重復的去掉后，這個有理數集合仍然是一個無窮集合。從而必然是可數的，因為可數集合是最小的無窮集合。

康托爾同樣以另一個“對角線方法”證明了實數集是不可數的：

假設所有實數都和自然數構成一一對應，把所有實數都寫成無限小數（如果是有限小數，就在其后面加 0 ，把它變成無限小數），按照一個列表一一列出，比如：

a1 = 0.0147574628…
a2 = 0.3721111111…
a3 = 0.2323232323…
a4 = 0.0004838211…
a5 = 0.0516000000…
………

康托爾發(fā)現總能找到至少一個列表之外的數，來說明這個列表不全。他構造了這么一個小數，小數點后第一位不等于 a1 的第一位，小數點后第二位不等于 a2 的第二位，總之小數點后第 i 位不等于 ai 的第 i 位。這個數顯然不在列表里，因為它和列表里的每一個數都有至少一位是不同的。這樣就證明了實數是不可數的。

按照康托爾的這個觀點，可以推得許多看似“荒謬絕倫”的結論：有限線段上的點與無限直線上的點一樣多；一米長的線段上的點與地球表面上的點一樣多;地球表面上的點與地球內部的點“一樣多”；兩個球內的點與其中一個球內的點也“一樣多”等等。他明確指出：實數比有理數多，無理數比有理數多，在數軸上，有理數點與無理數點相比少得幾乎可以忽略不計，等等。

舉例來說,當x∈(-π/2,π/2)時,有tanx∈(-∞,+∞),數集(-π/2,π/2)與(-∞,+∞)構成了一一對應，從而這兩個集合中的數“一樣多”：

這里稍微提一下，無理數的數目為什么比有理數多得多。我們知道，有理數是無限循環(huán)小數，無理數是無限不循環(huán)小數。我們直觀的想象一下，我們面前有10個球，上面標著0到9的數字，我們閉著眼睛隨機抓取一個球，球上標注的數字就作為小數點后面的第一個數字，把球放回去再抓，就作為第二個數字，持續(xù)進行，無限的抓下去，生成有理數的概率簡直可以忽略。就像將一副牌洗勻了再隨機發(fā)出去，發(fā)出一順子的概率是遠遠低于發(fā)出一亂序的概率的。同理實數中“有規(guī)律”的循環(huán)出現的概率是遠遠低于“無規(guī)律”的亂序出現的概率的，其實無理數才是常態(tài)，有理數才是沒有道理的數。

康托爾從數學上嚴格證明了“無窮”也是有差別的，并非所有的無窮集合都有相同的大小，而且無窮的大小也是可以比較的。最令人不可思議的結果是，無窮集合的整體可以與自身的部分一一對應，這就打破了統(tǒng)治數學界兩千多年的《幾何原本》中的公理“整體大于部分”。在無窮的世界里，康托爾推翻了歐幾里得在有限范圍內這條天經地義，顛撲不破的真理。

「《幾何原本》公理 ：

公理1:等于同量的量彼此相等。

公理2:等量加等量，其和仍相等

公理3:等量減等量，其差仍相等。

公理4:彼此能夠重合的物體是全等的。

公理5:整體大于部分?！?/p>

康托爾的無窮集合理論給數學的發(fā)展帶來了一場革命。然而由于康托爾的理論超越直觀(反直覺)，雖然解決了許多長期懸而未決的問題，但也顛覆了許多人根深蒂固的想法，因此很難被人立即接受。他的許多結論，如有理數與實數相比是微不足道的，部分可以等于整體，無窮本身也是有大小的，等等，都令當時許多數學家甚至是最具權威性的大數學家們無法接受。

康托爾的集合理論一問世，各種誹謗嘲諷和責難便紛至沓來。幾何學家克菜因(1849-1925)對康托爾的思想大加鞭笞毫不留情，數學家外爾(1885-1955)稱康托爾的集合論是“霧中之霧”，法國數學家龐加萊(1854-1912)稱集合論是“病態(tài)數學”。要知道，這些都是當時世界數學界叱咤風云的人物。在康托爾的眾多反對者中，還包括他的老師克羅內克。

后來，康托爾由于用腦過度和不被理解，再加上家庭生活的經濟壓力，于1884年患上抑郁癥，最終導致精神失常并被送進醫(yī)院。但病情一好轉，他便立即投入到集合論的研究中，并充滿信心地說：“我的理論堅如磐石，任何想要動搖它的人都將搬起石頭砸自己的腳?！?918年，康托爾帶著諸多遺憾和無限的苦悶離開了人世。

雖然康托爾的集合理論在當時沒能獲得世人的理解與支持，而且遭受了一批人的責難與攻擊，但也有一些有遠見的數學家，如戴德金和魏爾斯特拉斯、希爾伯特等，看到了康托爾集合論中蘊涵的智慧之光。魏爾斯特拉斯雖然以潛無窮的方式提出了極限的ε-δ語言，但他本人也贊賞康托爾的實無窮觀點，是當時康托爾為數不多的支持者之一(康托爾曾做過他的學生)。

康托爾的集合論揭開了籠罩在無窮上的神秘面紗，終于使隱藏在無窮后面的千古之謎水落石出?？低袪栒J為，數學理論必須肯定無窮是確實存在的，但是不能把有限所具有的性質強加于無窮，同時康托爾還認為，盡管人類的認識能力有限，但是有限的認識能力卻可以認識無窮。

真理的光輝終究會大放異彩。在許多數學家的努力下，康托爾的集合論思想逐漸被越來越多的人所接受，并終于成為數學發(fā)展道路上的一座里程碑，甚至可以說引起了人類思維的一次革命?，F在，集合論已經成為一門獨立的數學分支，并且成為整個數學的理論基石。

事實上，不止數學，現代科學上很多的觀念都是反直覺的。按照我們的直覺，太陽是圍繞地球轉的，因此日心說是反直覺的；按照我們的直覺，要讓一個物體運動需要施加外力，因此牛頓的慣性定律是反直覺的。但是經過科學的革命，我們已經把這些反直覺的觀點接納為科學常識了，并且也已經在實際運用上取得了足夠成功。更何況，數學是“形式世界”中的學問，在這種立場上，出現個別反直覺的東西，其實是不值得奇怪的。

驚世的創(chuàng)舉往往是反直覺且不拘泥于權威約束的，它敢于否定經典，打破金科玉律。如非歐幾何的誕生就是建立在對《幾何原本》中第五公設的修改上。

「 《幾何原本》公設 ：

公設1:過任意兩點可以作一條直線

公設2:一條有限直線可以繼續(xù)延長。

公設3:以任意點為圓心，任意長為半徑，可以畫圓

公設4:所有的直角都彼此相等。

公設5:同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若直線同側的兩個內角之和小于兩直角和，則這兩條直線經無限延長后，在這一側相交?！?/p>

《幾何原本》誕生后，第五公設引起了數學家的極大關注，這是因為，公設應盡可能地簡單明了，而第五公設卻并非如此。多年以來，許多數學家前赴后繼試圖從其他公理、公設中把它推導出來，結果都以失敗而告終。在努力的過程中唯一取得的一點進展就是找到了與第五公設等價卻更加簡單的陳述形式：通過直線外一點能且只能作一條平行線。當時代進入19世紀，一種革命性的幾何觀念正在醞釀：歐幾里得幾何不是唯一描述物質空間的幾何學，在不同的公理基礎上可以建立不同的幾何學體系。在這個背景下高斯、羅巴切夫斯基、波爾約等創(chuàng)立了羅氏幾何。羅氏幾何用“在一平面上，過已知直線外一點至少有兩條直線與該直線共面而不相交”代替歐氏幾何中的第五公設。再后來黎曼又創(chuàng)立了黎曼幾何，這種幾何采用“同一平面上任何兩條直線一定相交”代替歐氏幾何中的第五公設。羅氏幾何與黎曼幾何統(tǒng)稱為非歐幾何。

羅素悖論

在康托爾后，集合論得到了繼續(xù)發(fā)展，然而羅素悖論的出現卻使集合論陷入危機。

羅素悖論與一個古老的邏輯悖論——說謊者悖論，有同樣的構成。這個悖論可以說是所有邏輯悖論的始祖，但卻有著最簡單的形式：

我說的這句話是謊話

這句話是真話還是假話？說它是真話，則它是假話：說它是假話，則它是真話。邏輯學中的二值原理表明：一個命題非真即假，或兩個互相矛盾的命題不可能同時為真，也不可能同時為假。但是按照二值原理卻無法判斷說謊者悖論的真假。

羅素悖論使當時的數學界和邏輯學界同時感到問題的嚴重性，這就是數學史上的第三次危機。

羅素悖論使整個數學大廈動搖了。無怪乎德國數學家弗雷格（1848-1925)在收到羅素的信之后，在他即將出版的《算術基本規(guī)律》第2卷末尾寫道：“一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎卻垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置于這種尷尬的境地?！?/p>

集合論的主要思想之一就是概括原則，正是由于這個原則，才在數學中引入了無窮。但是，人們很快發(fā)現，集合論中的這個概括原則卻是悖論產生的主要癥結。因為在數學定義中就應用了概括原則的思想，即所規(guī)定的具有相應條件的集合是允許的。這樣就不可避免地要出現矛盾：一方面，使集合論中包含了“可以戳穿一切盾的矛”，即由任一個集合S,都可以得到更大的集合，比如它的冪集(由它的所有子集構成的集合)，這種集合的擴展是沒有限制的、無條件的；另一方面，又使集合論中包含了一個“可以抵擋一切矛的盾”，即在集合論中可以有一個包含一切集合的集合，即最大的集合。這種矛盾必然會出現在康托爾的集合論中。比如，那個最大的集合的冪集是否比那個最大的集合還要大？

1908年，德國數學家策梅洛(1871-1953)首先提出了公理集合論的思想，方法是：對“集合”作一些必要的限制，排除諸如“所有集合的集合”那種過大的集合，從而排除矛盾。他提出了7條公理，構成一個集合必須滿足這幾個公理。后來經過許多人，特別是德國數學家弗蘭克爾(1891-1965)的修改和完善，成為比較嚴格的形式化公理體系。所以，改造后的公理集合論通常稱為ZF系統(tǒng)。ZF系統(tǒng)的公理集合論可以為數學建立嚴格的基礎，即ZF系統(tǒng)的無矛盾性保證了數學的無矛盾性。但是，ZF系統(tǒng)自身的無矛盾性并沒有得到證明，所以還不能保證它永遠不會出現悖論。因此龐加萊形象地評論到：“為了防狼，羊群已經用籬笆圈起來，但卻不知道圈內有沒有狼?！?/p>

1931年，年僅25歲的奧地利數學家哥德爾(1906-1978)證明了著名的“哥德爾不完全性定理”。該定理表明：任何形式系統(tǒng)都不能完全刻畫數學理論，總有某些問題從形式系統(tǒng)的公理出發(fā)不能解答。

哥德爾不完全性定理破天荒地第一次分清了數學中“真”與“可證”是兩個不同的概念。可證明的命題固然是真的，但真的命題卻未必一定可證。這一切突破了人們對數學真理的傳統(tǒng)理解，永遠地改變了數學家們的真理觀，使數學真理的認識走向了新高度。

對無窮的總結

現代數學的主流是以經典數學為基礎的，經典數學以ZF公理集合論系統(tǒng)為基礎，承認無窮集合的存在，故經典數學接受實無窮觀，同時也不排斥無窮作為一個潛在過程存在，可以認為經典數學中的無窮觀是潛無窮與實無窮辯證統(tǒng)一的無窮觀。

從哲學上講，從公元前400多年開始就對無窮的觀念產生了分歧，對于潛無窮與實無窮的無窮觀之爭一直延續(xù)至今。如果堅持潛無窮論，將導致一些與實際相矛盾的現象(如芝諾關于時間、空間無窮可分的悖論的一個癥結就在于認為相應無窮劃分是一個“潛無窮”過程，永遠不能完成；如果使用實無窮論，認為相應無窮劃分雖然是一個無窮過程，但這是一個已經完成的過程，就不會出現悖論了)，并且數學上將導致現代數學失去大部分內容。當然堅持實無窮論，也會出現一些與日常知識不一致的方面(如整體大于部分將不再絕對成立)?；谡軐W上對無窮不同認識的影響，數學中也始終存在著潛無窮與實無窮的爭論。

兩種無窮思想在數學上經歷了“江山代有才人出，各領風騷數百年”的此消彼長與往復更迭后，已在現代數學中日趨合流，實際上現在數學中早已是既離不開實無窮思想也離不開潛無窮思想了。標準分析與非標準分析的使用表明：用兩種不同的無窮思想為據，采取不同的方式是可以各自自洽的，意味著兩種無窮思想可以避開“兩虎相爭，必有一傷”而走向“平分秋色，輝映成趣”了。

當我們采用辯證法的觀點時，可能會獲得對兩者關系的更清楚認識。

辯證法告訴我們，要從整體，從兩方面看問題。如同我們所熟悉的“金銀盾”的故事那樣，看到金一面的說是金盾，見到銀一面的說是銀盾，而實際上對盾的認識應是“一面是金，一面是銀”，數學家們對無窮的認識也如此。看到無窮實在性一方面的說無窮是實無窮，見到無窮潛在性一面說無窮是潛無窮，但對無窮的認識或許應該是“無窮既是實無窮，又是潛無窮”，就像光的“波粒二象性”一樣。無窮本身就是一個矛盾體，它既是一個需無限趨近的過程，又是一個實體，一個可研究的對象。而無窮正是這矛盾雙方的對立統(tǒng)一。事物并非只是“非此即彼”而是可以“亦此亦彼”的。實無窮、潛無窮只是一枚硬幣的兩面罷了，這并非是哲學的玄奧思辯，而是辯證法為我們上的生動一課！