培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力有兩個(gè)基本途徑,即:理解數(shù)學(xué)問題和解決數(shù)學(xué)問題.

理解數(shù)學(xué)問題就是讀懂用數(shù)學(xué)語言所表達(dá)的數(shù)學(xué)知識(shí)或數(shù)學(xué)問題（以下統(tǒng)稱數(shù)學(xué)問題）.數(shù)學(xué)問題的表達(dá)方式一般不是用通俗易懂的生活語言,而是用數(shù)學(xué)的專業(yè)語言.如:抽象的符號(hào)語言或直觀的圖形語言,沒有學(xué)過數(shù)學(xué)的人是根本看不懂的,學(xué)過數(shù)學(xué)的人也未必真的能看懂,可見其專業(yè)性的強(qiáng)大.即使是用文字語言所表達(dá)的數(shù)學(xué)問題,也是以數(shù)學(xué)名詞為主要的形式.正因?yàn)槿绱?數(shù)學(xué)語言是需要理解才有可能看懂的語言,而一個(gè)人能夠看懂?dāng)?shù)學(xué)語言的能力本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)思維能力.這種能力要能夠從抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語言中體會(huì)到其所蘊(yùn)含的豐富內(nèi)涵;要能夠從直觀的圖形語言中抽象出代數(shù)關(guān)系;要能夠?qū)⒂梦淖终Z言表達(dá)的數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為自己精神層面的思維方式,并能用符號(hào)語言或圖形語言來表達(dá).

理解數(shù)學(xué)問題的思維是可以教的.原因在于這種思維活動(dòng)是依據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行的.正如在理解表達(dá)函數(shù)性質(zhì)的數(shù)學(xué)符號(hào)語言的時(shí)候,思維活動(dòng)的焦點(diǎn)是:誰是函數(shù)的自變量？自變量的變化規(guī)律是什么?相應(yīng)的因變量的變化又有什么規(guī)律？可以看出,理解函數(shù)問題的思維活動(dòng)是有顯著特征的,無論面對(duì)的是什么樣的數(shù)學(xué)符號(hào)語言或函數(shù)圖象,思維活動(dòng)的切入點(diǎn)都是要關(guān)注函數(shù)的自變量和因變量,這就是依據(jù)函數(shù)的概念理解函數(shù)問題時(shí)思維活動(dòng)的特征.正是由于理解數(shù)學(xué)問題是以數(shù)學(xué)概念為思維活動(dòng)的依據(jù)的原因,那么,在理解不同板塊數(shù)學(xué)問題的時(shí)候,由于每個(gè)板塊的數(shù)學(xué)核心概念是不同的,也就決定了理解它的思維特征是不一樣的.

在教學(xué)中, 教師為了能夠真正教學(xué)生數(shù)學(xué)思維,其運(yùn)用的教學(xué)語言應(yīng)該具有專業(yè)性，要能夠因所教授的數(shù)學(xué)知識(shí)的不同,呈現(xiàn)出不同的思維特征.如:在初中引導(dǎo)學(xué)生理解平面幾何問題的時(shí)候,教師的教學(xué)語言應(yīng)該是聚焦在對(duì)幾何圖形的幾何特征上;在高中引導(dǎo)學(xué)生理解平面解析幾何問題的時(shí)候,教師就要引導(dǎo)學(xué)生去關(guān)注幾何對(duì)象是“動(dòng)”還是“不動(dòng)”的.教師要避免提出類似“你發(fā)現(xiàn)了什么信息”這樣的模棱兩可的問題,因?yàn)檫@樣的提問沒有思維特點(diǎn),幾乎可以在理解任何數(shù)學(xué)問題的時(shí)候都這樣去問,也就意味著這樣的問題是多么的平淡無趣,教師要意識(shí)到類似這種沒有特征的思維是無法教會(huì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題的.

要讓學(xué)生能夠領(lǐng)悟到你在教他（她）理解數(shù)學(xué)問題的思維方法的話,就要針對(duì)研究問題對(duì)象的屬性,提出能反映出數(shù)學(xué)思維特征的問題.如:面對(duì)直觀的函數(shù)圖象時(shí),為了引導(dǎo)學(xué)生能夠從看似不變的函數(shù)圖象中抽象出兩個(gè)變量,以及其中一個(gè)變量引起另一個(gè)變量變化的規(guī)律,可以提出下面的問題讓學(xué)生去思考:“你從這個(gè)圖象所描述的數(shù)學(xué)問題中看到了變化了嗎？”、“在這個(gè)變化的過程中存在著幾個(gè)變量？”、“誰引起了誰的變化？”等.讓提出的問題具有思維的含量,能夠直指數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的本質(zhì).學(xué)生從這樣的問題中是能夠領(lǐng)悟到理解函數(shù)問題的思維特征是怎么樣的.同樣,在理解解析幾何問題的時(shí)候,不要一上來就問學(xué)生如何設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)、如何建立曲線方程？類似這樣的問題指向的是對(duì)幾何對(duì)象的代數(shù)化，但放棄了對(duì)幾何研究對(duì)象理解的思維活動(dòng),違背了研究數(shù)學(xué)問題的思維規(guī)律.

解決數(shù)學(xué)問題的思維活動(dòng)分兩步:

1.要對(duì)數(shù)學(xué)問題的主體（也就是數(shù)學(xué)問題中的研究對(duì)象）進(jìn)行研究.

其思維活動(dòng)是與理解問題的思維活動(dòng)交融在一起、密不可分的.研究?jī)?nèi)容主要是數(shù)學(xué)問題中的每個(gè)主體具有什么樣的性質(zhì)?不同主體之間具有什么樣的關(guān)系（如兩個(gè)函數(shù)之間的代數(shù)關(guān)系或兩個(gè)幾何圖形之間的位置關(guān)系）?這些研究是以用數(shù)學(xué)語言所表達(dá)的已知條件為載體的,其演繹方法稱之為通性通法或一般方法.

課堂教學(xué)中,很多教學(xué)內(nèi)容都是在教學(xué)生如何研究數(shù)學(xué)問題主體的性質(zhì)或關(guān)系,如初中平面幾何教學(xué)中的圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等;高中函數(shù)教學(xué)中的函數(shù)性質(zhì)、冪指對(duì)函數(shù)等;在圓錐曲線的教學(xué)中,以曲線方程為載體,不僅要研究橢圓、雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì),還要研究直線與它們之間的位置關(guān)系,等等.可以說,在課堂上我們花了大量的時(shí)間都是在教學(xué)生研究數(shù)學(xué)問題主體的性質(zhì)或關(guān)系的一般方法.

做為教師要堅(jiān)信:一般方法是可以教會(huì)的,因?yàn)檫@種方法具有規(guī)律性.一般方法的規(guī)律性體現(xiàn)在這種研究是對(duì)問題主體的本質(zhì)來進(jìn)行研究的,表現(xiàn)在:如果問題主體是代數(shù)的研究對(duì)象,那么就要研究其具有何種代數(shù)性質(zhì)或代數(shù)關(guān)系,再進(jìn)行演繹.這種演繹可能是轉(zhuǎn)化為幾何的形式,如圖象;也有可能是進(jìn)行代數(shù)的推理等;如果問題主體是幾何的研究對(duì)象,那么就要研究其幾何特征（包括幾何性質(zhì)或幾何對(duì)象之間的位置關(guān)系）,再用代數(shù)的數(shù)量關(guān)系來刻畫.

2.要解決數(shù)學(xué)問題中提出來的具體問題.

任何數(shù)學(xué)問題都會(huì)提出若干個(gè)具體問題,如:求某一個(gè)待定的數(shù)值、求某一個(gè)變量的取值范圍或證明某一個(gè)結(jié)論,等等.解決數(shù)學(xué)問題的目的就是要回答出具體問題所提出的要求.解決具體問題的方法不同于前面所說的一般方法,它不是為了研究問題主體的性質(zhì)或關(guān)系的,而是要以之前運(yùn)用一般方法所研究出來的性質(zhì)或關(guān)系（也包括具體問題附帶的條件）為基礎(chǔ)，探索出解決具體問題的方法,這種方法稱之為具體方法.探索尋找具體方法的關(guān)鍵在于是否充分運(yùn)用了一般方法去研究問題主體的性質(zhì)或關(guān)系.

教學(xué)中,要防止將探索尋找具體方法的思維過程題型化.這種題型化由于是為了能夠以最快的速度解決數(shù)學(xué)問題以滿足“應(yīng)試”的需要,寄希望于通過大量的重復(fù)訓(xùn)練,達(dá)到不用分析問題主體的性質(zhì)或關(guān)系就可以解決具體問題的目的.這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)背離了學(xué)科教育教學(xué)的本質(zhì),對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力也是一種傷害,是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)生態(tài)的一種毒化.

總之,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù).如何在教學(xué)中通過知識(shí)的教學(xué),給予學(xué)生的是精神層面的豐富營養(yǎng),收獲的是學(xué)生思維能力的成長(zhǎng)和提高,是需要教師認(rèn)真研究、探索并實(shí)踐的.

教要不留痕跡,但教師對(duì)于要教什么心里要明確,怎么教要設(shè)計(jì);能夠把學(xué)生教會(huì)、教明白是教學(xué)藝術(shù),是獨(dú)具風(fēng)格的創(chuàng)造性教學(xué)活動(dòng),不僅要能夠通過理解數(shù)學(xué)問題提高學(xué)生讀懂?dāng)?shù)學(xué)語言的能力,還有能夠在解決數(shù)學(xué)問題的過程中提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行演繹的能力,最終為學(xué)生打下創(chuàng)造性思維的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

圖片：北京冬奧公園