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第5講介紹了相機(jī)對點(diǎn)的作用下投影矩陣模型。第七講開始介紹在透視投影作用下其他3D幾何對象與其圖像的關(guān)聯(lián)。這些幾何對象包括平面，直線，二次曲線，二次曲面等，我們將推導(dǎo)它們的前向和后向投影特性。 我們先剖析相機(jī)，逐漸簡化為相機(jī)中心點(diǎn)和圖像平面。并構(gòu)建起兩大特性：相同相機(jī)中心下得到的圖像通過平面射影變換產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，無窮遠(yuǎn)平面上幾何對象的圖像并不依賴于相機(jī)位置，僅依賴于相機(jī)旋轉(zhuǎn)和內(nèi)參K。 無窮遠(yuǎn)平面上幾何對象的圖像尤其重要。我們已經(jīng)看到，無窮遠(yuǎn)平面上的點(diǎn)的圖像是消失的點(diǎn)，其上直線是消失的直線；它們的圖像也依賴于相機(jī)旋轉(zhuǎn)與內(nèi)參K。但是，絕對二次曲線的圖像w僅依賴于K，不受相機(jī)旋轉(zhuǎn)影響。二次曲線w與相機(jī)K產(chǎn)生密切關(guān)聯(lián)，w=(KKT)-1。因而，w定義了從圖像點(diǎn)向后投影產(chǎn)生的射線間的角度。 這些特性使得根據(jù)消失點(diǎn)，無需相機(jī)位置，即可計(jì)算相機(jī)相對旋轉(zhuǎn)。進(jìn)一步講，因?yàn)镵根據(jù)圖像點(diǎn)計(jì)算射線間角度，反之K可根據(jù)射線間已知角度計(jì)算。特別是，根據(jù)相對場景正交方向的消失點(diǎn)確定K，這表明，根據(jù)場景特征，無需知道世界坐標(biāo)，可標(biāo)定相機(jī)。 第七講介紹的最后一個幾何對象是，標(biāo)定二次曲線，它使K的幾何可視化成為可能。 7.1 射影相機(jī)對平面直線二次曲線的作用 在這一部分，相機(jī)射影矩陣3×4形式和秩的大小是決定矩陣對幾何對象作用效果的重要因素。而矩陣元素的性質(zhì)和關(guān)系則相對沒那么重要。點(diǎn)的成像方程是x=PX，是從世界坐標(biāo)系的點(diǎn)到圖像坐標(biāo)系的點(diǎn)的映射。我們可以自如選擇世界坐標(biāo)系。假設(shè)我們選擇XY平面對應(yīng)于場景中的平面π，滿足場景平面上的點(diǎn)Z向坐標(biāo)是0，如圖所示(假設(shè)相機(jī)中心不在場景平面)。那么如果相機(jī)矩陣P的列定義為pi，那么平面π上點(diǎn)的圖像是，所以平面上π的點(diǎn)xπ與其圖像x的映射滿足一般平面單應(yīng)(平面到平面的射影變換)：x=Hxπ，其中H是一個秩為3的3×3矩陣，這表明：在透視成像作用下，3D場景平面與一張圖像平面之間最一般的變換是平面射影變換。如果相機(jī)是仿射相機(jī)，那么相類似推導(dǎo)表明，場景平面與圖像平面通過仿射變換相關(guān)聯(lián)。例7.1 對于標(biāo)定相機(jī)，P=K[R | t]，世界平面Z=0與圖像平面間的單應(yīng)是(7.1)前向投影.三維空間直線投影到圖像平面仍是直線，從幾何角度很容易理解--直線和相機(jī)中心定義一個平面，圖像是這個平面與圖像平面的交線--從代數(shù)角度證明，如果A和B是空間兩個點(diǎn)，a和b是她們在P作用下的圖像，那么空間中A和B連線上的點(diǎn)X(μ)=A+μB將投影為點(diǎn)，x(μ)=P(A+μB)=PA+μPB=a+μb，它在a和b的連線上。直線的后向投影.空間點(diǎn)集映射到圖像平面中是直線，則該點(diǎn)集是由相機(jī)中心和圖像直線定義的空間平面，如上圖所示。結(jié)論7.2.通過相機(jī)矩陣P實(shí)現(xiàn)空間點(diǎn)集到直線l的映射，則該點(diǎn)集是平面PTl。證明.當(dāng)且僅當(dāng)xTl=0時，點(diǎn)x在直線l上?？臻g點(diǎn)X映射點(diǎn)為PX，當(dāng)且僅當(dāng)XTPTl=0時，映射點(diǎn)在直線上。因此，如果用PTl表示一個平面，那么當(dāng)且僅當(dāng)X映射的點(diǎn)在直線l上時，X在該平面上。換言之，PTl是直線l的向后投影。從幾何角度講，存在過相機(jī)中心的兩參數(shù)簇，投影矩陣PiT的三行是兩參數(shù)簇的基。平面PTl是基的線性組合，該基是對應(yīng)于包含相機(jī)中心和直線l的兩參數(shù)簇的。例如，如果l=(0,1,0)T，那么平面是P2，是圖像x軸的后向投影。Plucker直線表達(dá).(非必須，待后續(xù)是情況補(bǔ)充)二次曲線的后向投影.二次曲線C向后投影是錐面。錐面是退化的二次曲面，也就是說表示二次曲面的4×4矩陣不具有滿秩。在這種情況下，錐面的頂點(diǎn)是相機(jī)中心，是二次曲面矩陣的零向量。結(jié)論7.6 在相機(jī)P作用下，二次曲線C向后投影的錐面是，QCO=PTCP證明.當(dāng)且僅當(dāng)xTCx=0時，點(diǎn)x在C上?？臻g點(diǎn)X映射點(diǎn)為PX，當(dāng)且僅當(dāng)XTPTCPX=0時，映射點(diǎn)在二次曲線上。因此，如果用QCO=PTCP表示二次曲面，那么當(dāng)且僅當(dāng)X映射點(diǎn)在二次曲線C上時，X在這個二次曲面上。換言之，QCO是二次曲線C的后向投影。注：因?yàn)?span style="display: inline !important;float: none;background-color: rgb(255, 255, 255);color: rgb(51, 51, 51);font-family: "mp-quote",-apple-system-font,BlinkMacSystemFont,"Helvetica Neue","PingFang SC","Hiragino Sans GB","Microsoft YaHei UI","Microsoft YaHei",Arial,sans-serif;font-size: 17px;font-style: normal;font-variant: normal;font-weight: 400;letter-spacing: normal;orphans: 2;text-align: left;text-decoration: none;text-indent: 0em;text-transform: none;-webkit-text-stroke-width: 0px;word-spacing: 0px;">QCOC=PTC(PC)=0，所以相機(jī)中心C是退化二次曲面的頂點(diǎn)。例7.7.假設(shè)P=K[I | 0]；那么二次曲線C向后投影的錐面是，矩陣QCO秩為3，它的零向量是相機(jī)中心C=(0,0,0,1)T。
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