定長(zhǎng)線(xiàn)段在直角上滑動(dòng)，線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡是以直角頂點(diǎn)為圓心，以線(xiàn)段長(zhǎng)的一半為半徑的圓弧.

動(dòng)態(tài)幾何：

典例1.如圖，已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，8），點(diǎn)C、F分別是直線(xiàn)x＝-5和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，CF＝10，點(diǎn)D是線(xiàn)段CF的中點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)△ABE面積取得最小值時(shí)，求tan∠BAD的值.

分析：由模型可知，確定D點(diǎn)的軌跡—隱圓，D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧，當(dāng)DG⊥AD時(shí)， 求BE的最小值  最小.

如圖，當(dāng)DG⊥AD時(shí).  ,  .  .

總結(jié)：如圖，若直線(xiàn)l與⊙O有公共點(diǎn)，則當(dāng)直線(xiàn)l與⊙O相切時(shí)，圓心O到直線(xiàn)l的距離最遠(yuǎn)．

典例2.已知點(diǎn)A（1，0）是拋物線(xiàn)  （a，b，m為常數(shù)，a≠0，m＜0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)．

（1）當(dāng)a＝1，m＝-3時(shí)，求該拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為M（m，0），與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作直線(xiàn)l平行于x軸，E是直線(xiàn)l上的動(dòng)點(diǎn)，F是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，EF＝  ．

①當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線(xiàn)上（不與點(diǎn)C重合），且AE＝EF時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②取EF的中點(diǎn)N，當(dāng)m為何值時(shí)，MN的最小值是  ?

解：（1）當(dāng)a＝1，m＝-3時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式為  .

∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），

∴0＝1+b﹣3，解得b＝2，

∴拋物線(xiàn)的解析式為  ．

∵  ，

∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-4）．

（2）①∵拋物線(xiàn)  經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和M（m，0），m＜0，

∴  ，即am+b+1＝0．

∴a＝1，b＝-m-1．∴拋物線(xiàn)的解析式為  ．

根據(jù)題意得，點(diǎn)C（0，m），點(diǎn)E（m+1，m），

過(guò)點(diǎn)A作AH⊥l于點(diǎn)H，由點(diǎn)A（1，0），得點(diǎn)H（1，m）．

在Rt△EAH中，EH＝1-（m+1）＝-m，HA＝0-m＝-m，

∴  ，

∵AE＝EF＝  ，∴  ，解得m＝-2．

此時(shí)，點(diǎn)E（-1，-2），點(diǎn)C（0，-2），有EC＝1．

∵點(diǎn)F在y軸上，

∴在Rt△EFC中，  ．

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為  或  ．

（2）②分析：如圖所示，確定N點(diǎn)的軌跡—隱圓，確定MN最小時(shí)，點(diǎn)N的位置，利用MN最小值求m的值.

解：②由N是EF的中點(diǎn)，得  .

根據(jù)題意，點(diǎn)N在以點(diǎn)C為圓心、  為半徑的⊙C上，連接MC，

交⊙C于點(diǎn)N，此時(shí)MN的值最小，如圖.

由點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)C（0，m），得MO=CO.

∴∠MCO=45°， ∴∠MCE=45° ．

又∵點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，∴CE=CF．

∵EF=  ，∴E(?2，m)，F(0，m+2)，∴N(?1，m+1).

∵MN最小值為  ,

∴  .

解得  或  ．

∴當(dāng)m的值為  （圖①）或  （圖②）時(shí)，MN的最小值是  ．

總結(jié)：定長(zhǎng)線(xiàn)段在直角上滑動(dòng)，線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡是圓弧.此問(wèn)題就是隱圓中的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)或直線(xiàn)距離最值問(wèn)題.