近幾年開設《初等數(shù)論》課程，我總是要抽出一定的時間專門給學生科普一下關于素數(shù)的故事。這篇科普文章正是基于這些講稿整理出來的。

素數(shù)是整個數(shù)論的靈魂。然而多數(shù)學生對素數(shù)的了解非常少。很多人不明白：為什么我們要研究素數(shù)？素數(shù)如何與眾不同?素數(shù)到底有趣在哪里?素數(shù)對數(shù)學很重要嗎?……如果學生在上完一個學期的數(shù)論課后，卻仍然對素數(shù)茫然無知，那無疑是一種諷刺——這就好比你看完一場戲，不知道主角做了些什么。

寫這篇文章的另一目的也是為了給那些依然執(zhí)著于證明哥德巴赫猜想的民科們做一次掃盲的嘗試——盡管他們中的大多數(shù)會繼續(xù)執(zhí)著下去。然而我們不得不承認這樣一個現(xiàn)實：民科們對素數(shù)的熱情與執(zhí)著確實遠遠超過很多數(shù)學系的本科生——這多少會讓我們這些老師感到沮喪。

2 素數(shù)有多少？

我們說一個整數(shù)能被另一個整數(shù)整除，就是指是整數(shù)。有時我們也把稱作的因子。

一個素數(shù)（Prime Number）是指這樣一種正整數(shù)：除了1和它本身之外，其它任何正整數(shù)都不可能整除它。我們也可以這么定義素數(shù)：它不能寫成兩個大于1的正整數(shù)的乘積。有時我們也將素數(shù)稱作質數(shù)。通常我們不承認1是素數(shù)。這樣做的好處下面會介紹。除了和素數(shù)之外，其他的正整數(shù)統(tǒng)稱為合數(shù)。

最初的幾個素數(shù)是2,3,5,7,11,…。顯然6不是素數(shù)，因為，所有的素數(shù)中只有2是偶數(shù)!這件看似平凡的事，其實很重要。在許多數(shù)學研究中，2和其他素數(shù)會對我們所考慮的問題產生不同的影響。你可能會問：為什么我們把這樣的數(shù)命名為“素數(shù)”呢?這實際上來自于素數(shù)最基本的結論——算術基本定理：

任何大于1的正整數(shù)都可以唯一地分解成一些素數(shù)的乘積, 這里都是素數(shù)（允許相同）。

無論如何，素數(shù)本身不能再進一步分解成一些更小的正整數(shù)乘積，因此它在此意義下是最基本或最本質的數(shù)——類似于樸素的原子論——從而命名它們?yōu)椤八財?shù)”或者“質數(shù)”。容易看到，假如我們承認1是素數(shù)，那么算術基本定理就不能保證分解是唯一的了。因為1可以寫為任意多個自身的乘積。

接下去，一個最自然不過的問題當然是：究竟有多少素數(shù)?無限多個還是僅有有限個?這個問題的答案早由歐幾里德在兩千多年前解決了。他用初等方法巧妙地證明：存在無限多個素數(shù)!具體言之，我們假設所有正整數(shù)中只有有限個素數(shù)，那么可以構造一個正整數(shù)

很容易發(fā)現(xiàn)，左邊的分解成素數(shù)乘積的話，不可能包含任何素數(shù)，因此它的分解式中必定含有這些之外的新素數(shù)。這就和我們的假設矛盾!

這個證明包含了富有啟發(fā)性的思想。事實上，證明本身并沒有提供構造出所有素數(shù)的具體方法。但是它卻能告訴我們素數(shù)有無限個!這就是數(shù)學中所謂的“存在性證明”：它告訴你某些對象存在，但是卻沒有具體構造出來。“存在性”是數(shù)學哲學中的一個深刻話題，涉及到數(shù)學大廈的根基。數(shù)學史上曾經關于這類問題有過廣泛而激烈的爭論，有人反對這種類型的證明，有人卻支持它們。這場爭論涉及了許多重要的數(shù)學家，產生了許多和數(shù)學、邏輯、哲學相關的理論。有興趣的讀者可以參考相關書籍，此處不再贅述。

類似歐幾里德的證明，你也可以輕松斷言：所有被4除余數(shù)為3的素數(shù)有無限個!換言之，就是等差數(shù)列3,7,15,19,…中包含無窮多個素數(shù)。這就產生了一個有趣的問題：

一個等差數(shù)列中是否包含無限多個素數(shù)?

數(shù)學家狄利克雷回答了這一問題（狄利克雷定理）：

假如和是互素的（就是說它們不能同時被一 個大于1的正整數(shù)整除），那么答案是肯定的 !

不要以為歐幾里德的方法可以輕松解決這一問題哦。事實上，除了少數(shù)情形之外，這個問題是不可能用它來簡單解決的。

如果我們把等差數(shù)列換成其他數(shù)列，結論會怎樣呢?比如考慮以下的數(shù)列：

其中是否有無限多個素數(shù)呢?讓人頗為失望的是，這至今仍是一個未解決的難題。

3素數(shù)是怎么分布的?

知道“素數(shù)有無限多個”僅僅是個開始。我們還想知道更多!比如，素數(shù)在所有自然數(shù)中所占的比率多大?當然，我們首先要說明“比率”在這里意味著什么。對任何正實數(shù)，我們用表示不超過的素數(shù)的個數(shù)。比如,,等等。我們用來反映所有不超過的正整數(shù)中，素數(shù)所占的比率——也稱作平均分布密度。

一個簡單的結論告訴我們：當非常非常大時，幾乎就等于0。換句話說，素數(shù)在所有正整數(shù)中極為罕見，可以說少得幾乎沒有——盡管我們知道它們有無窮多個！這就好比宇宙中有生命的星球也許有無限多個，但是它們相隔得太遠，相對整個宇宙來說實在是十分稀疏罕見的。

對一般人來說，這個結論似乎已經讓我們走到了問題的盡頭。但是天才數(shù)學家高斯卻不這么認為。在那個沒有計算機的年代（1792-1793年間），他通過大量的手工計算，單憑超人的直覺，竟然得到了一個讓人吃驚的猜測（但其本人并未證明）：

當非常大時，素數(shù)出現(xiàn)的比率約等于。換言之，約等于1，這里是的對數(shù)函數(shù)。

高斯原始的猜測要比上面的表述式更為精確。在高斯之后，數(shù)學家勒讓德實際上也通過數(shù)值計算得到過類似的猜測公式（1800年左右），但沒有高斯的精確。證明這一結論是極其困難的工作。直到 19 世紀中葉，俄國數(shù)學家切比雪夫才有了突破性進展，他證明了 ：

這里和是確定的常數(shù)。此猜想大約到19世紀末，才由法國數(shù)學家阿達瑪和Paussin幾乎同時獨立證明。人們將它稱作素數(shù)定理。阿達瑪?shù)热说淖C明是建立在天才數(shù)學家黎曼的研究基礎上的，用到了極為高深的函數(shù)理論。到了1949年前后，才由數(shù)學家愛爾特希和塞爾伯格給出了初等證明。請注意，這里所謂的“初等”只是說沒有用到太多高深的數(shù)學理論，但是證明本身是很復雜的，也較為難懂。數(shù)學中有很多這樣的問題（比如哥德巴赫猜想），它們表面上很簡單，但實際上要證明它們往往是極其困難的。

素數(shù)定理只是在大樣本范圍內描述了一種統(tǒng)計規(guī)律。素數(shù)本身的分布位置極不規(guī)則。當你確定一個素數(shù)之后，很難預測在它之后的下一個素數(shù)是多少。盡管如此，我們仍有一些猜測和結論來描繪素數(shù)在整數(shù)集中分布性態(tài)。有趣的是，猜想要比結論多得多。

首先是著名的伯特蘭猜想（后被切比雪夫證明），它斷言：

對任何大于1的正整數(shù)，必定有素數(shù)落在和之間。

比如取4，那么在4到8之間我們可以找到素數(shù)5和7。當非常大時，這一結論顯然是素數(shù)定理的直接推論。你可以隨手舉出很多類似伯特蘭-切比雪夫定理的猜想，比如在和之間是否必有素數(shù)存在？這一看似簡單的問題實際上至今仍未解決！

其次是著名的孿生素數(shù)猜想：

是否存在無限多個素數(shù)，使得也是素數(shù)?

我們將這樣的一對素數(shù)稱為孿生素數(shù)對。比如(3,5),(5,7),(11,13)等等都是孿生素數(shù)對。類似地，你也可以定義三生素數(shù)對，亦即要求這三個數(shù)同時為素數(shù)。三生素數(shù)猜想就是問：是否存在無限個三生素數(shù)對？回答仍是“不知道”。我們也可以定義生素數(shù)對，并提出類似的猜測。有趣的是，有人證明：生素數(shù)猜想和以下的三角不等式猜測互為矛盾——也就是說不可能同時正確：

這里定義同前。

另一個著名的猜想就是在國內廣為人知的哥德巴赫猜想：

任何大于等于6的偶數(shù)必定能寫成兩個奇素數(shù)之和 ；任何大于等于9的奇數(shù)都是三個奇素數(shù)之和。

這個猜想和陳景潤的名字聯(lián)系在一起，帶有很多現(xiàn)代歷史的色彩。許多民科投身于哥德巴赫猜想的證明也與此有關。哥德巴赫只是一個普通的數(shù)學家，除了提出這個猜想之外沒有什么數(shù)學貢獻。他將這一猜測告訴了天才數(shù)學家歐拉。遺憾的是，后者未能證明它，但是該猜想卻得以被很多人知道。容易看到，哥德巴赫猜想第二部分只不過是第一部分的簡單推論。但有趣的是，第二部分反而先被證明了（稱作三素數(shù)定理），第一部分卻遲遲得不到解決。目前最好的結果是陳景潤的“1+2”定理，即充分大的偶數(shù)都可以寫成一個素數(shù)和一個不超過兩個素數(shù)乘積的數(shù)之和。哥德巴赫猜想的研究是十分艱難的，它本質上涉及到十分深刻的函數(shù)論知識，不可能如那些民科所妄想的那樣，拍拍腦袋就能用初等方法做出來。

雖然我們無法徹底證實這個猜想，但是卻可以退而求其次，用所謂的密率方法得到以下的有趣結論：

任何大于1的正整數(shù)必可寫成不超過26個素數(shù)之和。

4如何構造素數(shù)?

上面的討論只是介紹了素數(shù)在整數(shù)中的分布情況，但是我們至今還沒有具體構造出這些素數(shù)來。一個基本的問題就是：如何構造素數(shù)?最原始的辦法就是古典篩法。比如我們要找出所有不超過100的素數(shù)，那么首先將所有從開始的偶數(shù)全部從這100個數(shù)中去除掉；接著將所有從開始的3的倍數(shù)全部去除掉；再將所有從開始的5的倍數(shù)全部去除掉……以此類推，最終通過篩選剩下的數(shù)恰好就是所有不超過100的素數(shù)。

上面的篩法雖然可以逐一列出不超過某個上限N的全部素數(shù)，但是當N很大時，其工作量也是巨大的。因此人們開始尋找其他方法來構造素數(shù)。通常的思路是構造一個有規(guī)律的數(shù)列使得數(shù)列中每一項都是素數(shù)。這樣的數(shù)列稱作素數(shù)公式。比如費馬構造了以下數(shù)列（費馬數(shù)），并猜測它們都是素數(shù)：

他計算了前五項，即3,5,17,257,65537，確實都是素數(shù)。然而歐拉以其高超的計算能力手算驗證了不是素數(shù)。事實上，由目前的計算機驗算可知，從到都不是素數(shù)。是否存在無限多個費馬素數(shù)?這是一個未解之謎。盡管歐拉的計算粉碎了利用費馬數(shù)構造素數(shù)公式的企圖，但是這并不表示研究費馬數(shù)沒有意義。高斯在年少時期，證明了一個讓人無比驚嘆的奇妙結論，讓費馬素數(shù)聲名大噪。這個結論（正邊形尺規(guī)作圖）是說：

一個正邊形能用尺規(guī)作圖得到的充分必要條件 是 ：，這里諸是費馬素數(shù)，且兩兩不同。

比如是費馬素數(shù)，因此可以用尺規(guī)作圖得到正十七邊形!要知道，在高斯之前的幾百年，有那么多人研究尺規(guī)作圖問題，但誰也沒有想到正十七邊形居然可以尺規(guī)作圖得到。這個結論的重要性在于，它將幾何（代數(shù)）問題和數(shù)論問題這兩個看似無關的領域奇妙地結合起來。

與費馬數(shù)對應的是著名的梅森數(shù)列：

這里依次取遍所有的素數(shù)。人們也曾猜測梅森數(shù)都是素數(shù)。比如前幾項分別為3,7,31,127都是素數(shù)。但是不是素數(shù)。一個有趣的結論斷言：

如果素數(shù)被4除余數(shù)為3，并且也是素數(shù)，那么必定不是素數(shù)。

梅森數(shù)的遭遇與費馬數(shù)類似，盡管沒有能夠達到原始的構造素數(shù)公式的目的，但是它卻和另一個著名的定理聯(lián)系起來。為了敘述該定理，我們做些準備工作。給一個正整數(shù)n，我們把它的所有可能的因子（就是能整除的那些正整數(shù)）加起來得到的總和記作。如果滿足，那么我們就稱是完全數(shù)。比如就是完全數(shù)，因為的因子只有1,2,3,6,加起來正好是12。同樣地，也是完全數(shù)。我們有如下的偶完全數(shù)定理:

所有的偶完全數(shù)都可以寫成，這里是梅森素數(shù)。反之，這樣的表達式得到的數(shù)也必定是偶完全數(shù)。

上面說的恰好寫成，其中3是梅森素數(shù)；28可以寫為，其中7是梅森素數(shù)。

由此產生另一個有趣的問題：奇完全數(shù)存在嗎?這又是數(shù)論中一個至今懸而未決的著名猜想。人們借助計算機檢驗了以內所有數(shù)，竟然都沒能找到奇完全數(shù)!另外一個同樣讓人沮喪的事實是，至今我們還不知道是否有無窮多個梅森素數(shù)。

歐拉提出了另一類構造素數(shù)的方式。比如考慮多項式。當從0取到40時，多項式的值皆素數(shù)。我們同樣可以考慮多項式

這里是素數(shù)，使得當從0開始直至某個數(shù)為止逐一代入時，上述多項式取值始終為素數(shù)。對任意，我們是否總能找到這樣的滿足上面的要求呢?這個有趣的問題也是未解決的難題之一。讓我們在上述多項式中分別取那么得到的三個值恰好為。如果上面的問題答案是肯定的話，這就立刻證實了前文所述的孿生素數(shù)猜想和三生素數(shù)猜想!因此很顯然上面的問題要遠遠難于孿生或三生素數(shù)猜想。

有趣的是，假如我們要求上述的話，那么這個歷史上著名的難題有一個極為漂亮的解答（Rabinovtch定理）：

（注記：上面的的六種取值是有深刻背景的，它們恰好對應所有類數(shù)為1的虛二次域。）

看了這樣幾個例子之后，你也許會問：是否真有素數(shù)公式呢?有是有的，但這類公式通常意義不大。我們這里舉一個例子來說明。為此需要一些準備。對任何實數(shù)x，我們用表示不超過的最大整數(shù)。比如,,。這個記號是高斯引進的，稱作的取整函數(shù)或高斯函數(shù)。此外我們用表示乘積，它稱作的階乘。

現(xiàn)在我們可以構造素數(shù)公式

對任何大于1的正整數(shù)，項都是素數(shù)，比如最前面的幾項分別為2,3,2,5,2,7,…這個素數(shù)公式表面上看似乎很神奇，其實并沒有太多的新東西。它只是利用了和素數(shù)有關的威爾遜定理：

一個大于1的正整數(shù)是素數(shù)的充分必要條件為：是整數(shù)。

比如是素數(shù)，顯然是5的倍數(shù)。另一方面，對任何非整數(shù)的實數(shù)，總有；而對整數(shù)，則有?，F(xiàn)在我們能夠看到，實際上在是素數(shù)時就等于，在其他情況下都取值。

5 素數(shù)和方程

素數(shù)的很多有趣的性質都是從方程開始的。在經典數(shù)論（即研究整數(shù)性質的理論）中，人們關心的一個問題就是某些多項式方程是不是有整數(shù)解。比如著名的勾股方程或者佩爾方程 等。

當我們只關心這類方程的整數(shù)解（或有理數(shù)解等等）時，這樣的方程通常就稱為不定方程或者丟番圖方程。我們這里介紹一些和素數(shù)有關的方程。它們中的一些對數(shù)學的發(fā)展起到了很大的作用。以下設是素數(shù)。

(1) 我們考慮不定方程

對任一整數(shù)，假設它被除的余數(shù)是。那么顯然被整除。因此對任何整數(shù)總是能整除連乘積。這樣，當我們把代入上述方程的左邊，則可求出整數(shù)解。利用這個簡單的不定方程和下面的費馬小定理，人們可以得到前面提及的威爾遜定理。

(2) 費馬小定理斷言：不定方程

對任何整數(shù)，都有整數(shù)解存在。換句話說，對任何整數(shù)，素數(shù)總是能整除。費馬小定理的“小”字是相對費馬大定理（也稱費馬最后的定理或者費馬猜想）而言的，他聲稱方程

沒有非零的整數(shù)解。但費馬只證明了的情形。其余情形經過許許多多數(shù)學家的艱苦努力，終于在1994年前后由英國數(shù)學家懷爾斯徹底解決。如果我們將素數(shù)換成一般的整數(shù)，那么費馬小定理可以推廣到一般情形——即歐拉定理。我們這里不打算討論它。

(3) 假設是一個整數(shù)，并且不為整除。我們來求解不定方程

的整數(shù)解。由費馬小定理，我們取，即可求得整數(shù)。從幾何的角度看，上面的方程在平面上描繪了一條直線。因此我們相當于要找出該直線上的整數(shù)點。

(4)（平方剩余） 求解以下方程的整數(shù)解是初等數(shù)論的核心問題之一：

這里是給定的正整數(shù)。高斯在其名著《算術研究》中對此作了深入研究，給出了一系列漂亮的研究成果。與前面幾個方程不同的是，該方程有可能無整數(shù)解，比如

如果有解，我們就說在模下是平方剩余的——這里不打算解釋該術語的意思。為了表示該方程是否有解，勒讓德引進了一個方便的符號

若的話，方程當然有解，因此我們只關心是奇素數(shù)的情形。此時高斯用巧妙的初等方法（但并不顯而易見）首先得到以下結果

這就是說，如果被8除余數(shù)為1或7，那么方程必定有解；否則就無解。類似地還有

當q也是奇素數(shù)時，高斯發(fā)現(xiàn)了數(shù)論史上具有里程碑意義的重要結果，即著名的二次互反律：

高斯將此定理比喻為“數(shù)論之酵母”，意思是說這個深刻定理對數(shù)論的研究極其重要。近代數(shù)學的研究也驗證了這一觀點。事實上這一定理經過許多數(shù)學家——比如希爾伯特、高木貞治等——的努力，推廣到代數(shù)數(shù)論研究中，發(fā)展成了深刻的理論——類域論。二次互反律也可以這樣解釋：當中有一個被4除余數(shù)是1時，以下兩個方程

要么同時有解要么同時無解；當被4除余數(shù)都是3時，那么其中一個方程有解而另一方程無解。

對一般的整數(shù)，由算術基本定理，我們可以將它寫成素因子乘積，從而可以通過以下關系求出勒讓德符號的值以判斷方程是否有解：

從幾何角度看，平方剩余問題對應的方程就是平面上的一條拋物線。因此我們等價于尋找拋物線上的整數(shù)點。

(5)兩平方和問題： 一個素數(shù)什么時候可以寫成兩個平方數(shù)之和?比如

容易檢驗，不可能寫成兩平方數(shù)之和。這個問題等價于求不定方程

的整數(shù)解。從幾何上看，相當于尋找一個圓周上的整數(shù)點。費馬早在1640年前后就得到了以下的結論，但是并未正式發(fā)表；歐拉最早給出了其正式證明。

這個結論的第一部分可以從平方剩余問題(4)簡單地得到。事實上，由方程(3)，我們可以找到一個整數(shù)，使得能被整除。

因此上面方程有解也就意味著

這就相當于p被4除余數(shù)為1。

無論如何，要具體求出的平方數(shù)之和的精確表達式并非易事。這就需要用到更加高深的工具了。

上面這些不定方程的研究為古典數(shù)論提供了許多重要的原動力，發(fā)展出了很多重要的數(shù)學工具。如何求解一般的不定方程實際上是個很困難的問題。希爾伯特在他著名的23個數(shù)學問題中也作了探討。近代的一種重要思想是：先退而求其次，求方程的有理數(shù)解。對每個素數(shù)，將方程放到p-adic數(shù)域情形去求解（p-adic數(shù)是和素數(shù)有關的一類很特殊的“數(shù)”）。我們將相應的p-adic解綜合起來，根據(jù)這些解的信息，試圖構造出真正的有理數(shù)解。這一思想曾被成功地應用到二次不定方程上。它可以歸結成著名的Hasse-Minkowski定理：

假設是二次多項式 (比如

等等 )，方程有有理數(shù)解的充分必要條件是 ：它有實數(shù)解，并且對每個素數(shù)，它也有p-adic解。

本節(jié)最后，我們再介紹一個與素數(shù)和方程有關的重要猜想——abc猜想：

任意給定正實數(shù)，則最多只有有限個三元組，滿足以下條件 ：

(1) 皆整數(shù)，并且兩兩之間互素，

(2) ，

(3) ，此處是乘積abc中所有互不相同的素因子的乘積。

如果abc猜想正確，那么立刻可以推出費馬猜想對充分大的方冪都成立。這還不止，其實有許許多多重要的猜想和定理竟然都能從abc猜想推出來，而后者本身看上去卻如此簡單!

6 素數(shù)和代數(shù)

素數(shù)在整數(shù)中具有如此特殊的地位，它除了包含許多有趣深刻的性質之外，也留下諸多未解之謎。人們自然會想到將素數(shù)的概念推廣到更一般的數(shù)域上來研究，比如實數(shù)域、復數(shù)域等等。高斯首先研究了這樣一些復數(shù)（稱為高斯整數(shù)）：

這里都取整數(shù)。所有這些復數(shù)構成的集合記為。我們可以像在整數(shù)情形一樣定義高斯整數(shù)的加減乘運算，甚至我們還可以定義兩個高斯整數(shù)的帶余數(shù)除法等。完全類似地，我們自然也可以定義中的“素數(shù)”概念。

整數(shù)集合里的素數(shù)在中不一定是素數(shù)哦。比如當被4除余數(shù)為1時，根據(jù)上一節(jié)的結論，它可以寫成兩平方數(shù)之和

因此在中可以寫為兩個高斯整數(shù)的乘積

高斯的一項有趣的工作，就是找出了中的所有素數(shù)：

(1) ；

(2) ，使得是整數(shù)集合里被4除余數(shù)為1的素數(shù) ;

(3)就是整數(shù)集合里被4除余數(shù)為3的素數(shù)。

在整數(shù)中我們不把這樣的數(shù)作為素數(shù)；同樣地，在中我們也不考慮以下諸如,這樣的數(shù)——單位數(shù)。如果兩個高斯整數(shù)只相差一個單位數(shù)，它們的數(shù)論性質一般沒什么差別，所以我們有時只挑選其中的一個代表來討論。接著，我們同樣可以得到高斯整數(shù)的算術基本定理等等一系列的數(shù)論性質。

高斯對于的研究可以說是代數(shù)數(shù)論的重要起源之一。為什么高斯要研究高斯整數(shù)呢?原來高斯一開始在研究四次剩余問題（即不定方程求解）時，沒有能夠找到類似二次互反律那樣的有效算法來判斷方程是否有解。他在研究中逐漸意識到，這一問題不能只局限于整數(shù)范圍內考慮，而應該擴展到上研究其算術性質，用高觀點來探討這一問題。這是一種富有啟發(fā)性的數(shù)學思想，當人們把視野擴大后，很多問題的答案也許就會變得清晰起來。事實正是如此，很快高斯就在中找到了四次互反律。不過他并未給出證明，而是由雅可比和艾森斯坦后來分別獨立給出了證明。

進一步，如果我們考慮除法，整數(shù)集合可以擴張到有理數(shù)域上。因此類似地，高斯整數(shù)集合也可以擴張到高斯有理數(shù)域上，里面的數(shù)無非是兩個高斯整數(shù)的比值而已。很自然地，我們也可以考慮更一般的數(shù)域

這里是任意整數(shù)，并且我們可以假設不含平方因子。就是高斯有理數(shù)域。中的“整數(shù)”是什么樣的呢?答案與我們想象的稍微不同：

情形一： 如果m被4除余數(shù)是2或者3，那么二次域中的“整數(shù)”（稱作代數(shù)整數(shù)）都可以寫為，

這里是整數(shù)。

情形二： 如果被4除余數(shù)是1，那么二次域中的“整數(shù)”可以寫為

這里是整數(shù)。

同樣地，人們可以考慮這樣的“整數(shù)”什么時候能稱作“素數(shù)”等等基本問題，這里我們不再詳細展開。那么著名的算術基本定理在這時是否一定成立呢?答案是否定的!這里我們舉一個簡單的例子。在中，21竟然有兩種完全不同的素因子分解：

在歷史上，人們一開始并未意識到這一問題。最初，人們之所以引進這樣的數(shù)域，是為了研究著名的費馬猜想，就是證明不定方程

當是大于2的正整數(shù)時沒有非零整數(shù)解。比如我們可以在高斯整數(shù)的意義下證明的情形沒有非零解，因此在通常整數(shù)意義下就更不可能有非零解了。類似地，高斯在數(shù)域中也巧妙地證明了的情形也沒有非零解——這一證法遠比歐拉的證明更簡潔且更具啟發(fā)性。一般情形下，人們將有理數(shù)域擴展到由次單位根生成的數(shù)域上（所謂單位根就是方程的根）。這樣，費馬方程的左邊在該數(shù)域下就可以分解為一次因式的乘積。如果我們事先知道這樣的數(shù)域中也有算術基本定理，那就很容易推出矛盾，從而證明費馬猜想。

當這一想法第一次被正式提出時，遭到了很多數(shù)學家的質疑和反對。事實上，數(shù)學家?guī)炷饲霸缫岩庾R到這一問題，即復數(shù)情形下“素因子”分解不一定唯一!為了彌補這一缺陷，庫莫引入了理想數(shù)的概念，證明理想數(shù)有類似于算術基本定理那樣的唯一分解性質，從而成功證明費馬猜想在時成立。

其實理想數(shù)并不是真正的數(shù)，而是一組數(shù)的集合。但有趣的是，我們也可以定義這種集合之間的乘法運算，并且定義出類似素數(shù)的東西——素理想，最終證明理想數(shù)唯一分解定理——算術基本定理的推廣。理想數(shù)的引入可以說是極為關鍵的。它使數(shù)論的研究觀點和方法產生了質的飛躍，促使了代數(shù)數(shù)論的發(fā)展。繼庫莫的工作之后，戴德金將理想數(shù)推廣到了更一般情形，從而發(fā)展成了系統(tǒng)的理想理論。這一理論是交換代數(shù)等學科中的核心內容之一。它不但對數(shù)論發(fā)展極為重要，而且還深入到其他各個數(shù)學領域中，特別是對代數(shù)幾何等等學科有著重要的影響。

7 素數(shù)和函數(shù)

上一節(jié)我們從一個側面看到素數(shù)及算術基本定理對于數(shù)學的重要影響，它們的推廣促進了代數(shù)數(shù)論等領域的發(fā)展。同樣地，素數(shù)對于函數(shù)的研究也有極為深刻的影響。如前所述，除了算術基本定理，素數(shù)另一重要的基本結論就是“素數(shù)個數(shù)無限”。我們曾經介紹了歐幾里德關于這一結論的存在性證明。實際上，歐拉還給了另一個巧妙的證明，這個證明極富啟發(fā)性，常被人們視為解析數(shù)論之發(fā)端。下面我們用不太嚴格的方式來介紹一下。歐拉的證明利用了下面幾個簡單的事實

(1) ：對任何介于0和1之間的實數(shù)，都有無限求和公式

(2) ：將下式左邊展開并利用算術基本定理得到左邊的大寫希臘字母在這里表示求乘積符號，就是把每個素數(shù)對應的項都相乘起來。

(3) ：結合上面兩個式子，則有

<左右滑動>

如果素數(shù)只有有限個，那么上式左邊是個有限的數(shù)。但無論如何，上式右邊的值是無窮大（數(shù)學上叫做發(fā)散），這就推出矛盾!因此素數(shù)個數(shù)必定無限。

從上面的討論，我們可以定義一個重要的函數(shù)——黎曼函數(shù)

稍微推廣一下前面的恒等式，就得到有趣的恒等式

黎曼函數(shù)是數(shù)學中極其重要的函數(shù)。黎曼首先研究了這種函數(shù)的諸多深刻性質，并且第一次發(fā)現(xiàn)了黎曼函數(shù)居然和素數(shù)之間存在著極為深刻的內在聯(lián)系!按照上述方式定義的黎曼函數(shù)的定義域還比較小。通過一定的數(shù)學技巧，我們可以把它的定義域擴大到除了以外的整個復平面上（即對所有不等于1的復數(shù)都有定義）。人們感興趣方程的根——通常稱作零點。黎曼函數(shù)有許許多多零點，其中一部分很容易求出來，我們把它們叫做平凡零點。剩下那部分非平凡零點落在哪里呢?黎曼做出了一個重要的猜測：

的非平凡零點一定可以寫成形如的復數(shù)（是實數(shù)）。換言之，所有的非平凡零點都落在直線上，這里 Re表示取復數(shù)的實部。

這個猜想被稱為黎曼猜想，它被列為千禧年七大數(shù)學猜想之一，也被希爾伯特收入到23個著名數(shù)學問題中。這是個極其困難的問題，它遠比費馬猜想艱深得多。我們注意到，《數(shù)學文化》刊登的盧昌海博士的系列文章對黎曼猜想作了非常生動的介紹。

為什么黎曼猜想如此重要呢?黎曼以其深刻的洞察力，發(fā)現(xiàn)素數(shù)的許多性質和黎曼函數(shù)的解析性質密切相關。黎曼函數(shù)也可以稍稍變化，改成更一般的狄利克雷級數(shù)

此外還有許多更復雜的函數(shù)。研究表明，許許多多重要的數(shù)論猜想或定理本質上都和研究這類函數(shù)的零點位置有關。比如前面說的素數(shù)定理等等。因此從這樣的深刻背景來看，我們有理由預見，那些表面上看似簡單的未解決之難題，即使有證明也必定是極其艱深的，絕不可能用簡單的初等方法獲得。

黎曼的這一杰出工作，可以說是開了解析數(shù)論之先河，給數(shù)論研究提供了強有力的研究工具和技巧。盡管我們至今無法證實黎曼猜想，但是可以退而求其次，想辦法證明所有這些零點落在一條狹窄的區(qū)域里面——這個區(qū)域當然要包含整條直線。我們要做的是將這個區(qū)域不斷地縮小。如果最終能壓縮成直線，那就等于證明了黎曼猜想。一個十分有趣的現(xiàn)象是：區(qū)域縮得越小，那么就能得到越多的關于素數(shù)的深刻定理。

另一種迂回的方式，則是企圖在函數(shù)域情形探討黎曼猜想的一個模擬。事實上，Weil在有限域代數(shù)曲線上建立了這樣的類似猜想——Weil猜想。Weil本人于1948年證明了該情形的猜想。對有限域上高維代數(shù)簇情形，Weil也提出了類似猜想。數(shù)學家Deligne利用代數(shù)幾何等理論工具于1973年證明了它。盡管這一猜想離原始的黎曼猜想還相差很遠，但這一杰出的工作已經影響深遠，極大地推動了數(shù)學各領域的發(fā)展，特別是代數(shù)幾何理論。

8一些題外話

我最早是通過湯濤教授的新浪微博了解《數(shù)學文化》的，并立刻被深深吸引住了，成為其忠實粉絲。在這里，我要感謝《數(shù)學文化》各位老師給我這次難得的鍛煉機會，也要感謝他們在科普傳播方面的辛勤勞作，讓我們能夠看到數(shù)學有如此生動有趣的一面。