俄羅斯的軍工業(yè)非常強(qiáng)，并不是其強(qiáng)大的經(jīng)濟(jì)實(shí)力，而是俄羅斯有世界上最好的數(shù)學(xué)家．在70年代左右，蘇聯(lián)最好的數(shù)學(xué)系之一莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)系因?yàn)檎猩臅r(shí)候其歧視猶太人，所以在招生考試的時(shí)候會(huì)單獨(dú)給猶太人出難題，而這類題目的目的不在于測(cè)試學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，而純粹是為了讓猶太學(xué)生無法考上莫斯科大學(xué)．而這些數(shù)學(xué)問題被稱為＂棺材＂，非常有趣的名字．

當(dāng)然，這些題目是嚴(yán)格保密的，直到最近一些年當(dāng)年參與考試的一些猶太學(xué)生開始懼當(dāng)年的被稱之為棺材的題目，由于種族歧視而設(shè)立的入學(xué)測(cè)試題終被曝光．下面我來一睹題目的光彩吧：

分析：這是相對(duì)簡(jiǎn)單的一道題．表面看，它就是一個(gè)不等式．然而，你的解答時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)太難解了．感興趣的小伙伴們可以試著解答一下，看看能否順利解答．

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這種表面看起來簡(jiǎn)單的題，其實(shí)技巧性非常強(qiáng)，直接硬解是無法深入下去的，作為測(cè)試題明顯過于繁瑣！

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分析：解一個(gè)方程，當(dāng)然，化簡(jiǎn)是核心問題．化簡(jiǎn)過程中會(huì)遇到各種阻礙，同學(xué)們可以繼續(xù)嘗試下去．

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3.給定三角形 ABC ，用尺規(guī)作圖找出 AB 上的一點(diǎn) K 以及 BC 上的一點(diǎn) M ，使得 AK = KM = MC 

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評(píng)：題設(shè)不難，但要解答出來真不知道如何動(dòng)筆了，這樣的題目有夠刁鉆！我們看一下以下的解答吧，領(lǐng)略一下神題的答案．

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答案：先在 BC 上任取一個(gè)點(diǎn) M’ ，然后用圓規(guī)截取 AD = CM’ 。過 D 作 AC 的平行線，以 M’ 為圓心 M’C 為半徑作圓，與這條平行線交于點(diǎn) K’ 。過 K’ 作 AB 的平行線。

容易看出，此時(shí) A’K’ = K’M’ = M’C ，并且三角形 A’B’C 與整個(gè)大三角形 ABC 是相似的。如果以 C 為中心將 A’B’C 放大到 ABC ，就可以得到滿足要求的 K 點(diǎn)和 M 點(diǎn)了。

因此，我們延長(zhǎng) CK’ ，并把它與 AB 的交點(diǎn)記為點(diǎn) K ，這個(gè)點(diǎn) K 就是要求的點(diǎn)。既然 AK 的長(zhǎng)度知道了， M 點(diǎn)的位置也就確定了。

4.給定平面上的一個(gè)點(diǎn) M 以及一個(gè)角 XOY 。用尺規(guī)作圖確定出一條過 M 的直線，使得它與這個(gè)角的兩邊圍成的三角形周長(zhǎng)為一個(gè)給定值 p 。

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分析：此題同樣題設(shè)異常簡(jiǎn)單，一般初中生都能夠看懂，但要具體的作圖方法，可不是一個(gè)普通初中生可以搞定的．繼續(xù)看看答案如何：

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答案：在角的兩邊上分別作出 A 、 B 兩點(diǎn)，使得 AO = BO = p / 2 。過 A 、 B 兩點(diǎn)分別作所在直線的垂線，兩垂線交于點(diǎn) C 。不難看出， AC 和 BC 的長(zhǎng)度相等。

事實(shí)上，如果以 C 為圓心作一個(gè)經(jīng)過 A 、 B 的圓，這個(gè)圓將正好和角 XOY 的兩邊切于 A 、 B 兩點(diǎn)。

現(xiàn)在，過 M 作這個(gè)圓的切線，將切點(diǎn)記為 T 。只需要注意到 PT = PA ，并且 QT = QB ，因此三角形 OPQ 的周長(zhǎng)就等于 AO + BO ，也就是 p 。

補(bǔ)充一下切線的作法：以 MC 為直徑作圓，與圓 C 交于點(diǎn) T 。于是 ∠CTM 是一個(gè)直角，因而 MT 就是切線。

5.給定一個(gè)等邊三角形 ABC ，以及三角形內(nèi)的一個(gè)點(diǎn) O ，滿足 ∠AOC = x ， ∠BOC = y 。如果用線段 AO 、 BO 、 CO 組成一個(gè)三角形，它的各個(gè)內(nèi)角是多少（用 x 和 y 來表示）？

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分析：此題在現(xiàn)在的初中算是非常熟悉的題目，利用旋轉(zhuǎn)的方法可以解答出來．

答案：將整個(gè)三角形繞著點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60 度，把 B 和 O 的落點(diǎn)分別記作 B’ 和 O’ 。這樣的話， ∠AO’B 和 ∠BO’B’ 的角度也是 x 和 y ，并且 CO = BO’ 。

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另外，由于 AO 與 AO’ 長(zhǎng)度相等且夾角為 60 度，因此三角形 AOO’ 是等邊三角形， AO = OO’ 。

因此，三角形 BOO’ 的三邊長(zhǎng)度實(shí)際上就分別等于 AO 、 BO 、 CO 。根據(jù)已知條件很容易算出它的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)，它們分別是 x – 60° 、 y – 60° 和 300° – x – y 。

6.給定平面上的兩條相交直線。到這兩條直線的距離和等于某個(gè)給定值 p 的所有點(diǎn)將組成一個(gè)什么樣的圖形？

分析：字都認(rèn)識(shí)，也知道在說啥，但就是不會(huì)做！

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答案：一個(gè)矩形。假設(shè)有一個(gè)等腰三角形 ABC ，底邊 BC 上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P 。把三角形腰長(zhǎng)記為 l ，把 P 到兩腰的距離分別記作 PM 和 PN 。線段 AP 將三角形 ABC 分成了左右兩個(gè)小三角形，它們的面積和 (l · PM) / 2 + (l · PN) / 2 = l · (PM + PN) / 2 是一個(gè)定值（即整個(gè)三角形的面積），因此 PM + PN 也是一個(gè)定值。這個(gè)定值就是等腰三角形腰上的高。

7.能否在平面上放置六個(gè)點(diǎn)，使得任意兩點(diǎn)之間的距離都是整數(shù)，并且任意三點(diǎn)不共線？

答案：可以。我們先專心構(gòu)造出任意兩點(diǎn)之間的距離都是有理數(shù)的點(diǎn)集，再把所有點(diǎn)的坐標(biāo)都擴(kuò)大一個(gè)相同的倍數(shù)即可。把三邊長(zhǎng)分別為 3 、 4 、 5 的經(jīng)典直角三角形放在平面直角坐標(biāo)系上，斜邊放在 x 軸上，斜邊的中點(diǎn)和原點(diǎn)重合。那么，斜邊上的高 CH 一定是有理數(shù)，因?yàn)橛擅娣e法可知它等于 AC · BC / AB 。另外，由于 △AHC 、 △BHC 、 △ABC 都是相似的，它們都是 3 : 4 : 5 的三角形，可知 AH 、 BH 也都是有理數(shù)。另外， C 到原點(diǎn) O 的距離也是有理數(shù)，因?yàn)樗侵苯侨切涡边吷系闹芯€，它等于斜邊長(zhǎng)度的一半。

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現(xiàn)在，把 C 沿著 x 軸翻折到 C’ ，再把 C 和 C’ 分別沿 y 軸翻折到 D 和 D’ 。于是 A 、 B 、 C 、 C’ 、 D 、 D’ 就是滿足要求的六個(gè)點(diǎn)。為了去掉分母，我們需要把它們的坐標(biāo)都擴(kuò)大到原來的 10 倍，于是得到一個(gè)答案：(±25, 0) 以及 (±7, ±24) 。

事實(shí)上，我們有辦法構(gòu)造出平面上任意多個(gè)點(diǎn)，使得它們兩兩之間距離都為整數(shù)，同時(shí)任意三點(diǎn)都不共線。

8.給出 AB 、 BC 、 CD 、 DA 四條邊的長(zhǎng)度，以及 AB 和 CD 兩邊中點(diǎn)的連線長(zhǎng)度，用尺規(guī)作圖還原出四邊形 ABCD 來。

答案：讓我們先來看一個(gè)簡(jiǎn)單的問題：已知三角形其中兩邊的長(zhǎng)以及第三邊上的中線，如何用尺規(guī)作圖還原出這個(gè)三角形來？我們可以先倍長(zhǎng)中線 AD 到 E ，容易看出 BE 和 AC 平行且相等。我們已經(jīng)知道 AB 、 BE 和 AE 的長(zhǎng)度（ AE 的長(zhǎng)度就是兩倍的 AD ），便能確定出三角形 ABE 來。然后，截取 AE 的一半 AD ，再把 BE 平移到 AC ，就得到要求的三角形 ABC 了。

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回到原問題。將 AB 的中點(diǎn)記為 E 。把 AD 和 BC 分別平移到 ED’ 和 EC’ 。于是， CC’ 和 DD’ 是平行且相等的（它們都平行且等于 AB 的一半），如果把 C’D’ 和 CD 的交點(diǎn)記作 F ，那么 △CC’F 和 △DD’F 是全等的， F 既是 CD 的中點(diǎn)，又是 C’D’ 的中點(diǎn)。由于我們知道 EC’ 、 EF 、 ED’ 的長(zhǎng)度，用剛才的方法我們就能畫出三角形 EC’D’ 了。

9.給定線段 AB ，再預(yù)先給定一條與 AB 平行的直線。只用直尺作圖，將線段 AB 六等分。

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答案：在平行線上任取 C 、 D 兩點(diǎn)。我們可以用如下方法找出 CD 的中點(diǎn)：先在平面上取一個(gè)點(diǎn) E ，然后依次作出 F 、 G 、 H 、 I 各點(diǎn)，那么 I 就是 CD 的中點(diǎn)。

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現(xiàn)在，對(duì) CD 上的每一個(gè)小線段繼續(xù)平分下去，直到把 CD 分為八等分。用下圖的方法把 AB 分為六等分。

10.給定正方形各邊上的一個(gè)點(diǎn)。用尺規(guī)作圖恢復(fù)出這個(gè)正方形來。

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答案：假設(shè) A 、 B 、 C 、 D 依次是正方形四條邊上的點(diǎn)。過 B 作 AC 的垂線，截取 BD’ = AC 。那么， D’ 也在正方形上， D 和 D’ 的連線就是正方形的其中一條邊。剩下的事情就簡(jiǎn)單了。