前段時(shí)間發(fā)布的這篇文章介紹了已知有限個(gè)點(diǎn)的情況下作圓錐曲線中心的方法，本文則是在已知圓錐曲線中心和部分點(diǎn)的情況下，作對稱軸。

在具體介紹作圖方法前先研究一個(gè)問題：如果已知圓錐曲線的中心，那么還需要知道幾個(gè)點(diǎn)才能確定該曲線呢？顯然只需要知道三個(gè)點(diǎn)即可，因?yàn)橐阎c(diǎn)關(guān)于中心的對稱點(diǎn)肯定也在同一曲線上，這樣連同原有的三個(gè)點(diǎn)一共是六個(gè)已知點(diǎn)，而我們只要五個(gè)已知點(diǎn)就足以確定一條曲線了。從另外一個(gè)角度考慮，在橢圓情況下，假設(shè)以中心點(diǎn)為原點(diǎn)，則只需要知道長軸、短軸和長軸方向這三個(gè)要素就可以確定橢圓了，而三個(gè)點(diǎn)正好可以確定三個(gè)變量。不過這幾個(gè)點(diǎn)不能關(guān)于中心對稱，換言之，任意兩點(diǎn)連線的中垂線不能過中心點(diǎn)。

另外一個(gè)需要在這里提及的預(yù)備知識，就是已知圓錐曲線上五個(gè)點(diǎn)作過其中一點(diǎn)切線（方法三）。

最后一個(gè)問題是，本文只適用于橢圓和拋物線，不適用于拋物線。拋物線的情況在上一篇文章里已經(jīng)解決了。

下面內(nèi)容分為兩部分，先看作共軛直徑的方法，再看如何作對稱軸。所謂共軛直徑是指，和某直徑（過橢圓中心的弦）平行的所有弦的中點(diǎn)組成的軌跡是一線段，這條線段和前面所給的直徑互為共軛直徑。在圓中，共軛直徑即是互相垂直的直徑，而一般的共軛直徑則是前者的仿射變換。

題目一、作橢圓的共軛直徑

已知橢圓的中心 和其上的 三點(diǎn)，求作過 點(diǎn)直徑的共軛直徑。

作法一

1. 連接 并延長到 ，使 ，即 是直徑；

2. 過 做橢圓的切線 ，但現(xiàn)在只有四個(gè)點(diǎn)，可以補(bǔ)充點(diǎn) 或點(diǎn) 關(guān)于 的對稱點(diǎn)）；

3. 過 做 的平行線，交 于 并延長到 ，使 ；

4. 以 為直徑做圓；

5. 過 作 的垂線，交上一步所做圓于 ，連接 ；

6. 過 作 的平行線，交第四步所做圓于 點(diǎn)；

7. 過 做 的平行線，過 做 的平行線，二者交于點(diǎn) ；

8. 連接 并延長到 ，使 。

與 即是一組共軛直徑，熟悉射影幾何的讀者不難看出作圖依據(jù)。這里有個(gè)問題：以上作圖過程中似乎沒有用到點(diǎn) ，請讀者思考點(diǎn) 的作用。以上作法見資料 1。

作法二

1. 連接 并延長到 ，使 ，即 是直徑；

2. 過 作切線 ；

3. 連接 、；

4. 過 作 的平行線，交直線 于 點(diǎn)，交直線 于 點(diǎn)；

5. 在直線 上找一點(diǎn) ，使 為 、 的比例中項(xiàng)；

6. 連接 并延長到 ，使 。

和 即為一對共軛直徑。以上作法的依據(jù)見資料 2。

雙曲線和橢圓有較大區(qū)別，對給定的直徑，其共軛線與雙曲線無確切的交點(diǎn)（我們可以就一個(gè)特殊情況簡單驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論：雙曲線實(shí)軸的共軛線即為虛軸，顯然與該雙曲線沒有實(shí)交點(diǎn)），但是與該雙曲線的共軛雙曲線有交點(diǎn)。

題目二、作雙曲線的共軛直徑

已知雙曲線上的 及中心點(diǎn) ，求作其共軛直徑。該方法與前面的作法二如出一轍。

作法

1. 連接 并延長到 ，使 ，即 是直徑；

2. 過 做切線 ；

3. 連接 、；

4. 過 作 的平行線，交直線 于 點(diǎn)，交直線 于 點(diǎn)；

5. 連接 ；

6. 在 上取一點(diǎn) ，使 等于 、 的比例中項(xiàng)；

7. 連接 并延長到 ，使 。

圖中灰色曲線（開口朝上和朝下的曲線）即是原雙曲線的共軛雙曲線，可見點(diǎn) , 在其上。我們可以把 和 也稱為互為共軛直徑。以上作法的依據(jù)見資料 2。

以上還有一個(gè)問題：在我們不知道曲線類型的情況下，如何判斷是問題一還是問題二？方法很簡單，如果問題一的作法一的 點(diǎn)落在線段 之間則為橢圓，否則為雙曲線。

題目三、作橢圓的軸線

已知橢圓的一對共軛直徑 、，求作該橢圓的軸。

作法

1. 以 為中心，將 旋轉(zhuǎn) 到 ，連接 并延長；

2. 以 的中點(diǎn) 為圓心，任意長為半徑作圓，交 于 點(diǎn)，交 于 、 兩點(diǎn)；

3. 連接 、。

、 一為長軸方向，一為短軸方向。以上作法見資料 1。

題目四、作雙曲線的實(shí)軸、虛軸

已知雙曲線的中心 及一對共軛線 和 ，求作其軸線。本作法為筆者原創(chuàng)。

1. 連接 并延長；

2. 連接 點(diǎn)和 的中點(diǎn) ，并延長；

3. 以 為圓心，任意長半徑作圓，交直線 于 點(diǎn)，交 于 、 點(diǎn)；

4. 連接 、。

和 一為實(shí)軸方向，一為虛軸方向。這一作法和前面問題三最大的區(qū)別是， 不需要旋轉(zhuǎn) 。

以上作圖有幾個(gè)需要說明的問題：

1. 、 本身并非軸線，僅是其方向，應(yīng)進(jìn)一步平移到中心；

2. 在橢圓情況下，如何判斷 、 孰為長軸方向，孰為短軸方向？在雙曲線的情況下孰為實(shí)軸方向，孰為短軸方向？此亦是需要進(jìn)一步確認(rèn)的。

3. 本做法不適合拋物線的原因是，拋物線沒有中心。

參考資料

1. 五點(diǎn)定橢圓的尺規(guī)作圖方法， 徐文平，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2016.11
2. 圓錐曲線共軛直徑的一組優(yōu)美性質(zhì)——對《雙曲線的有趣性質(zhì)》一文的修正及探究，高文啟，數(shù)學(xué)通訊，2013 年第 6 期（下半月）