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本題選自2022年廣州中考數(shù)學(xué)壓軸題，以菱形為背景，考查面積的最值與線段和的最值。題目較為綜合，但難度不大。 【題目】 （2022·廣州）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝6，連接BD． （1）求BD的長； （2）點(diǎn)E為線段BD上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，D重合），點(diǎn)F在邊AD上，且BE=√3DF． ①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積； ②當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+√3CF的值是否也最??？如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，請說明理由．
【分析】 （1）菱形ABCD的一個(gè)內(nèi)角為120°，那么就可以得到它的兩個(gè)鄰角都是60°，連接短的對角線，可以把菱形分割成兩個(gè)等邊三角形。 如下圖所示，所有的線段都相等，所有的銳角都相等，所以比較特殊。
已知菱形的邊長求對角線，比較簡單。
根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)等，可以得到BD=6√3。 本題中還有一個(gè)特殊的三角形，也就是頂角為120°的等腰三角形。
可以得到BD=√3AB=√AD，底邊是腰的√3倍。常常構(gòu)造這樣的圖形，得到√3倍。 （2）題目已知條件BE=√3DF，比較特殊。
先畫出BE，如果過點(diǎn)E作AD的平行線，就可以得到一個(gè)含120°的等腰三角形，那么腰就和DF相等了。
那么只需要使得DF=BG即可。
①當(dāng)CE⊥AB時(shí)，求四邊形ABEF的面積，只需畫出圖形，在求出線段長即可。
發(fā)現(xiàn)四邊形ABEF并不規(guī)則，不好直接求，可以考慮割補(bǔ)法。 通過觀察發(fā)現(xiàn)，連接AE，可以得到EA⊥AF，那么就比較好求了。
那么可以得到四邊形ABEF的面積為 S=S△AEF+S△ABE =4√3+3√3 =7√3。 ②題目問當(dāng)四邊形ABEF的面積取得最小值時(shí)，CE+√3CF的值是否也最小。 那么就需要確定四邊形ABEF面積的最小值與，CE+√3CF的最小值。 因?yàn)樗倪呅蔚男螤畈灰?guī)則，因此需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)母钛a(bǔ)。
如圖，設(shè)DF=x，過點(diǎn)E分別作AB、AD的垂線，垂足分別為M、N。 那么就可以把四邊形ABEF分為兩個(gè)三角形。 易得BE=√3x，DE=√3（6-x）。 則EM=√3x/2，EN=√3（6-x）/2。 且AF=（6-x），AB=6，那么四邊形的面積就表示出來了。 四邊形ABEF的面積 S=S△ABE+S△AFE =3√3x/2+√3（6-x）2/4 =√3/4(x-3)2+27√3/4 則x=3，即F為AD的中點(diǎn)時(shí)，四邊形ABEF的面積最小。 當(dāng)F為AD的中點(diǎn)時(shí)，CF⊥AD，此時(shí)CF最小， 同時(shí)，可以得到點(diǎn)BE=3√3， 此時(shí)E為BD的中點(diǎn)，那么也可以得到CE⊥BD， 所以可以得到CE此時(shí)最小。 那么可以得到當(dāng)四邊形ABEF的面積最小時(shí)，CE+√3CF的值也最小， 最小值為3+√3×3√3=12。
如上面的動圖演示，綠色的圖象表示四邊形的面積，紅色的表示CE+√3CF的值。 當(dāng)然，也可以直接通過作圖構(gòu)造CE+√3CF。如下圖，連接CA并延長至點(diǎn)P，使得AP=AB，連接PE。 那么可以得到△CDF∽△PBE，此時(shí)相似比為1：√3， 那么就可以得到PE=√3CF。
當(dāng)點(diǎn)C、E、P三點(diǎn)共線時(shí)，CE+√3CF最小，最小值為CP的長，也就是2AB的長，為12。 還可以適當(dāng)變形下，CE+√3CF=√3(√3/CE/3+CF)， 所以也可以在CF的旁邊構(gòu)造√3/CE/3， 當(dāng)√3/CE/3+CF最小時(shí)，CE+√3CF最小。
如圖，過點(diǎn)D作DQ⊥CD，使得DQ=√3BC/3。 那么就可以得到△DFQ∽△BEC，相似比為1：√3。 那么就可以得到QF=√3BE/3。 也就是當(dāng)QF+CF最小時(shí)，√3/CE/3+CF最小。 此時(shí)Q、F、C三點(diǎn)共線，也就是CQ的長，為4√3。 那么本題和之前出現(xiàn)的甘肅的題目有點(diǎn)類似。 【總結(jié)】 求面積最值，一般考慮把面積表示出來，用二次函數(shù)或者配方法求最值。 而求線段和的最值問題，一般考慮用幾何方法，利用“垂線段最短”或者“兩點(diǎn)之間，線段最短”進(jìn)行判斷。 |
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