文/老余

由于貝葉斯思想實(shí)在太過重要，本篇我們繼續(xù)。

但請(qǐng)放心，與之前的文章一樣，本篇也不會(huì)很燒腦，甚至連貝葉斯公式我都不會(huì)寫出來，我只想用最簡單的方式，把它給你講明白。

先問你一個(gè)問題：

假如新冠抗原的準(zhǔn)確率為99%，而你測(cè)出是陽性，這就說明你99%感染了嗎？

這個(gè)對(duì)不對(duì)？

先按下不表。

我們先用貝葉斯眼光看乳腺癌診斷正確率的問題，再反過頭來看新冠抗原的。

比如張三體檢時(shí)，醫(yī)生告訴她乳腺癌的檢查呈陽性，且這種檢查的正確率為95%。那張三應(yīng)不應(yīng)該相信自己95%的可能性已經(jīng)患了乳腺癌？

如果不把這個(gè)問題搞明白，誰聽到這個(gè)都會(huì)絕望地雙腿發(fā)軟。

下面，我們用貝葉斯（從結(jié)果追溯原因，正是貝葉斯出場的時(shí)候）推理，把這個(gè)問題分析清楚。

（一）張三應(yīng)該感到絕望嗎？

且慢，先不要感到絕望！

這事兒其實(shí)沒這么簡單，因?yàn)檫@個(gè)“95%”只是很局部的數(shù)據(jù)，要把這事兒全部搞明白，起碼還要弄清楚以下兩點(diǎn)：

1、首先，這種癌癥普遍的患病率是多少（貝葉斯里的先驗(yàn)概率）？

說白了，就是首先我們要搞清楚自己處于什么樣的宏觀概率里，我查了下全球女性乳腺癌的患病率已經(jīng)到了0.03%。

由此，我們知道在張三沒有體檢前，她有99.97%的概率處在健康人群里，有0.03%的概率處在患病人群里，除此之外，再也沒有其他可能性了（當(dāng)然，除非她是量子態(tài)，是薛定諤的貓）。

宏觀概率圖（1）

那張三到底處在哪類人群里呢？

這就需要回到微觀里看檢測(cè)結(jié)果是否為陽性，且還得看這個(gè)檢測(cè)對(duì)患癌人群及非患癌人群的判斷準(zhǔn)確率是多少？

這就牽扯到第二點(diǎn)。

2、檢測(cè)的假陰性和假陽性問題

啥是假陰性概率？

就是本來患癌了，但檢測(cè)結(jié)果卻顯示為陰性誤以為沒有患癌的概率。上面說了，檢測(cè)的準(zhǔn)確率為95%，也就是100人中，即使有5人患癌，診斷結(jié)果卻是陰性。

相反，假陽性就是本來沒有患癌，但檢測(cè)結(jié)果卻是陽性，誤以為患癌的概率，我們假設(shè)這個(gè)概率為1%。

現(xiàn)在，我們把問題的全貌歸攏一下：

1. 全球女性乳腺癌的發(fā)病率為0.03%。也就是說，每10000人里會(huì)有3人患病，另外9997人不會(huì)患病；
2. 檢測(cè)的準(zhǔn)確率是95%。也就是說，患癌卻沒有檢測(cè)出來的概率為5%（一開始，我們只看到了這一點(diǎn)）；
3. 檢測(cè)假陽性概率為1%，也就是說：每10000人健康女性里，誤以為患有乳腺癌的人數(shù)是100人；

我們把“2、3”變?yōu)楦庇^的矩陣：

加上了全貌中的“2、3”后，“宏觀圖1”可變?yōu)椋?/p>

那在全局里，張三檢測(cè)前可能會(huì)出現(xiàn)四種情況，這四種情況及其概率為：

• （1）左上角-患癌，檢測(cè)為陽性，概率為：95%×0.03%=0.0285%
• （2）左下角-患癌，檢測(cè)卻為陰性，概率為：5%×0.03%=0.0015%
• （3）右上角-未患癌，檢測(cè)卻為陽性，概率為：1%×99.97%=0.9997%
• （4）右下角-未患癌，檢測(cè)為陰性，概率為：99%×99.97%=98.9703%

請(qǐng)注意，關(guān)鍵時(shí)刻到了，在沒有檢測(cè)前，這四種情況張三必占其一，但現(xiàn)在已知張三是陽性了，所以陰性的可能性就立馬排除掉了，也就是說，張三只可能在“（1）、（3）”中占其一了。

那張三確實(shí)患了乳腺癌的概率是多少呢？

這就很簡單也很好理解了，就是“患癌，檢測(cè)為陽性”的概率值除以全部為陽性的概率值，即：

——P=患癌，檢測(cè)為陽性÷（患癌，檢測(cè)為陽性+未患癌，檢測(cè)卻為陽性）=0.0285%÷（0.0285%+0.9997%）=2.7%（貝葉斯里叫后驗(yàn)概率）。

你看，之前，我們認(rèn)為張三患乳腺癌的概率是95%，基本上快到了板上釘釘?shù)牡夭搅?，但?shí)際情況是：

——即使檢測(cè)結(jié)果為陽性，張三患病的真實(shí)概率只有2.7%。

所以不要自己嚇自己，即使那個(gè)95%很嚇人。

接下來，我們?cè)倏纯葱鹿诘那闆r，如果抗原測(cè)試你羊了，且準(zhǔn)確率為99%，那你真實(shí)已經(jīng)感染的可能性是多少呢？

（二）新冠抗原的準(zhǔn)確率為99%，而你測(cè)了是陽性，這就說明你99%感染了嗎？

同理，這事兒的全貌也還包括以下兩點(diǎn)：

1、全國，整體的感染率是多少（貝葉斯里的先驗(yàn)概率）？

我查了相對(duì)靠譜的說法是60%以上，那我們就按60%來。

在你沒有測(cè)試之前，其實(shí)我有60%的概率處在這個(gè)羊了人群里，有40%的概率處在沒有感染的人群里。

概率圖（1）

那你到底處在哪個(gè)人群里呢？

我們回到微觀里看假陽性和假陰性。

2、抗原的假陰性和假陽性問題

上面說了，抗原的準(zhǔn)確率為99%（也就是說假陰性概率為1%），那假陽性的概率是多少呢？我查了一下，在1%-5%之間，我們就取3%吧。

現(xiàn)在，我們復(fù)原這個(gè)問題的全貌：

1. 現(xiàn)在全國新冠感染率為60%；
2. 抗原試劑的準(zhǔn)確率是99%；
3. 抗原測(cè)試的假陽性為3%；

加上了全貌中的“2、3”后，“概率圖1”即可變?yōu)椋?/p>

在全局里，抗原測(cè)試前有四種情況，這四種情況及其概率為：

• （1）左上角-未感染測(cè)試為陰性，概率為：0.4×0.97=38.8%
• （2）左下角-未感染測(cè)試為陽性，概率為：0.4×0.03=1.2%
• （3）右上角-已感染測(cè)試為陰性，概率為：0.6×0.01=0.6%
• （4）右下角-已感染測(cè)試為陽性，概率為：0.6×0.99=59.4%

現(xiàn)在，已知你陽了，所以陰性的可能性就立馬排除掉了，那你確實(shí)羊了的概率是多少呢？

P=已感染測(cè)試為陽性÷（已感染測(cè)試為陽性+未感染測(cè)試為陽性）=59.4%÷（59.4%+1.2%）=98%。

——之前我們認(rèn)為的概率是99%，而真實(shí)的概率為98%。

為何新冠與乳腺癌的前后概率相差如此之大，一個(gè)幾乎是完全顛覆了，而另一個(gè)基本沒變，這是為何？

我們繼續(xù)往下看。

（三）總結(jié)一下

因?yàn)榛既橄侔┑娘L(fēng)險(xiǎn)相對(duì)于新冠來說，是非常小的。

所以，對(duì)于女性患乳腺癌來說：

健康人群所占比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于患癌比例，這樣一來，健康人群被誤診為陽性的數(shù)據(jù)就不能被忽視。

由此，在整體患病風(fēng)險(xiǎn)較小的疾病里，如果醫(yī)生給了你一個(gè)確診，也請(qǐng)先不要著急不要悲觀，因?yàn)檫@個(gè)確診是誤診的概率非常大，即使這個(gè)醫(yī)生在專業(yè)上很牛，但他的概率可能會(huì)差點(diǎn)意思。

而對(duì)于新冠來說：

感染人群所在比例已經(jīng)非常高，這樣一來，健康人群誤診為陽性的數(shù)據(jù)就基本可以忽略不計(jì)。

由此我們知道，在整體患病風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)很高的疾病里，如果醫(yī)生遺憾的說你已經(jīng)確診了，這句話的準(zhǔn)確性就非常非常高了，即使這是個(gè)庸醫(yī)。

還有一點(diǎn)要引起重視：

雖然張三的患癌概率從誤以為的95%一下子降低到了客觀的2.7%，但乳腺癌的平均患病概率是0.03%，也就是說，張三在正確率為95%的檢查確診后，她的患病風(fēng)險(xiǎn)就變了，從0.03%飆升到了2.7%。

——增加了90倍。

反過來，當(dāng)我們看到新聞里說某項(xiàng)疾病的發(fā)病率因?yàn)殚L期吃了什么東西翻了10倍時(shí)，也不要慌神，我們得冷靜下來搞清楚，是在多大的基礎(chǔ)概率上翻了10倍。

比如是在億萬分之一的基礎(chǔ)上翻的，那翻10倍基本等于沒翻，有些人就喜歡制造恐慌。

而數(shù)據(jù)，是最容易得手的工具，沒有之一。

（完）