第五章 相交線與平行線

主要內(nèi)容：平面內(nèi)不重合的兩條直線的位置關(guān)系。

相交，學(xué)習(xí)兩條直線相交所形成的角的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；

平行，借助于一條直線與另外兩條直線相交所形成的的來研究平行線的判定和性質(zhì)。進(jìn)而學(xué)習(xí)平移。

5.1.1相交線

1. 概念

互為鄰補角、互為對頂角

2.性質(zhì)

對頂角的性質(zhì)：對頂角相等

5.1.2垂線

1.概念

當(dāng)∠a=90^。時，我們說a與b互相垂直，記作a⊥b。

2. 性質(zhì)

1）在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

課本練習(xí)題，做P_5、P₉拓展題

2）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。即垂線段最短。

直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。

5.1.3同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

定義，會分辨，為了后面學(xué)平行線、角間大小關(guān)系。

5.2平行線及其判定

5.2.1平行線

a與b互相平行，記作a//b。

在同一個平面內(nèi)，不重合的兩條直線只有兩種位置關(guān)系：相交和平行。

平行公里：

1）經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。

2）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。b//a,c//a,則b//c。

5.2.2平行線的判定

判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。

同位角相等，兩條直線平行。

判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行。

內(nèi)錯角相等，兩條直線平行。

判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補，那么這兩條直線平行。

同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。

5.3平行線的性質(zhì)

5.3.1平行線的性質(zhì)

利用同位角相等，或者內(nèi)錯角相等，或者同旁內(nèi)角互補，可以判定兩條直線平行。反過來，如果兩條直線平行，內(nèi)錯角、同位角、同旁內(nèi)角又有何數(shù)量關(guān)系呢？即，探尋平行線的性質(zhì)。

性質(zhì)1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。

兩直線平行，同位角相等。

性質(zhì)2：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。

兩直線平行，同位角相等。

借由性質(zhì)1或2，可以得出性質(zhì)3：

兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補。

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

5.3.2命題、定理、證明

1.命題：判斷一件事情的語句，叫作命題proposition。命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。

真命題、假命題

2.定理：正確性經(jīng)過推理證實的，這樣得到的真命題叫作定理Theorem。

3.證明：一個命題的正確性需要經(jīng)過推理才能做出判斷，這個推理過程叫作證明proof。

證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”。這些根據(jù)，是已知條件、學(xué)過的定義、定理等。

判斷一個命題是假命題，只要舉出一個反例——它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了。

5.4平移

1.把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形。新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。

2.新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的。這兩個點是對應(yīng)點，連接各組對應(yīng)點的線段平行（或在同一條直線上）且相等。

3.圖形的這種移動，叫作平移translation。圖形平移的方向，不限于是水平的。

第五章 實數(shù)

邊長為1的正方形的對角線的長度，不是有理數(shù)。此時，需要引入一種新的數(shù)——無理數(shù)。在宇宙飛船離開地球進(jìn)入地面附近軌道，計算第一、第二宇宙速度，也要用到無理數(shù)。用到無理數(shù)的地方，很多哦。

本章將首先學(xué)習(xí)平方根與立方根；在此基礎(chǔ)上引入無理數(shù)，把數(shù)的范圍擴(kuò)充到實數(shù)；然后類比有理數(shù)，引入實數(shù)在數(shù)軸上的表示和實數(shù)的運算。

6.1平方根

1.算數(shù)平方根

一般地，如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x²=a，那么這個正數(shù)x叫作a的算數(shù)平方根（arithmetic square root）。a的算數(shù)平方根記為根號a，a叫作被開方數(shù)(radicand)。

規(guī)定：0的算數(shù)平方根是0。

來源：該概念，可能的來源為：邊長為1的正方形的對角線問題。

被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算數(shù)平方根也越大。這個結(jié)論對所有正數(shù)都成立。

2.平方根

1）一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫作a的平方根（square root）或二次方根。

即若x²=a，那么x叫作a的平方根。

例如，3和-3是9的平方根，簡記為±3是9的平方根。

2）平方與開平方互為逆運算。根據(jù)這種互逆關(guān)系，可以求一個數(shù)的平方根。

注：注意和上一個概念“算數(shù)平方根”的區(qū)別。（正、正負(fù)）

3）正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)（±根號a），其中正的平方根就是這個數(shù)的算數(shù)平方根。

4）0的平方根是0。

5）負(fù)數(shù)沒有平方根。

3.立方根

1）一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫作a的立方根（cube root）或三次方根。

即若x³=a，那么x叫作a的立方根。

2）求一個數(shù)的立方根的運算，叫作開立方（extractiong of cube root）。開立方與立方也互為逆運算。

3）正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0。（符號正負(fù)與原值一致）

4）一個數(shù)a的立方根，用符號    表示，讀作“三次根號a”，其中a是被開方數(shù)，3是根指數(shù)（根指數(shù)不能省略）。

6.3實數(shù)

分?jǐn)?shù)、整數(shù)、0都可以寫成有限小數(shù)或者無線循環(huán)小數(shù)的形式。

很多數(shù)的平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù)。

無限不循環(huán)小數(shù)又叫作無理數(shù)（irrational number），例如根號2，負(fù)根號5，三次根號2，負(fù)的三次根號3。

1. 實數(shù)

有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)（real number）。

實數(shù)的思維導(dǎo)圖，要背下來、會畫思維導(dǎo)圖。

2. 實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系

當(dāng)數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到實數(shù)后，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)。

對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大。

3. 有理數(shù)中關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù)。

1）數(shù)a的相反數(shù)是-a，這里a表示任意一個實數(shù)。

2）一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。

3）運算法則，也適用。加減乘除乘方，正數(shù)和0進(jìn)行開方，任意一個實數(shù)可以開立方運算。

第六章 平面直角坐標(biāo)系

類似于用“第幾排第幾列”來確定位置，在數(shù)學(xué)中可以通過建立坐標(biāo)系，用有順序的兩個數(shù)來刻畫平面內(nèi)點的位置。

本章，學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系等有關(guān)知識，由此建立圖形與數(shù)量間的聯(lián)系-------為幾何問題和代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化打下基礎(chǔ)。

7.1平面直角坐標(biāo)系

7.1.1有序數(shù)對

1.定義

電影院，幾排幾號，給座位編號。9排7號和7排9號，表示兩個不同的位置。

我們把這種有順序的兩個數(shù)a與b組成的數(shù)對，叫作有序數(shù)對（orderd pair），記作（a,b）。

7.1.2平面直角坐標(biāo)系

由數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)的關(guān)系、兩條數(shù)軸，引出坐標(biāo)系的概念。這里存在知識的前后聯(lián)系。

所以，不必將坐標(biāo)系和坐標(biāo)系上的幾何圖形、平移等想得太復(fù)雜，本質(zhì)上，坐標(biāo)系及其上面的圖形，它就是兩條互相垂直的數(shù)軸！

1. 定義

1）平面內(nèi)，兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。

水平數(shù)軸，稱為x軸或橫軸；豎直數(shù)軸，稱為y軸或縱軸。

2）象限：平面被直角坐標(biāo)系分為四個象限，逆時針，分別是第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐標(biāo)軸上的點，不屬于任何象限。

坐標(biāo)平面內(nèi)的點，與有序?qū)崝?shù)對，一一對應(yīng)。

3）學(xué)科交叉知識

用經(jīng)緯度表示地理位置，0度經(jīng)線、0度緯線

7.2坐標(biāo)方法的簡單應(yīng)用

7.2.1用坐標(biāo)表示地理位置

7.2.2用坐標(biāo)表示平移

平面直角坐標(biāo)系中，對一個圖形進(jìn)行平移，圖形上點的位置發(fā)生了變化，坐標(biāo)也發(fā)生了變化。

將點a(x,y)向右平移a個單位長度，可以得到對應(yīng)點（x+a,y）

……

……
看課本七年級下冊P77、P78

第八章 二元一次方程組

根據(jù)題意，直接設(shè)兩個、三個未知數(shù)----二元、三元。元，未知數(shù)的個數(shù)。

認(rèn)識、學(xué)會解二元一次方程組；學(xué)習(xí)三元一次方程組及其解法。

消元的思想方法：加減消元法、帶入消元法?？傊灸康氖菧p少元（未知數(shù)）的個數(shù)。

換元的思想方法：將含分式或結(jié)構(gòu)復(fù)雜寫起來麻煩費時間的式子，用字母替代。先解字母，再解被字母替代的單項式的方法，叫換元。

8.1二元一次方程組

1. 概念

二元一次方程：方程都含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1。這樣的方程叫作二元一次方程（linear equation in two unknowns）。

二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數(shù)的值，叫作二元一次方程的解。

二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解。（公共解，意味著必須同時滿足方程組中的兩個等式）

2. 相關(guān)題目要素

二元一次方程、直線、平面直角坐標(biāo)系、平行線，容易湊在一起，構(gòu)成中等難度的題目。

8.2消元

1.概念

將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的思想，叫作消元思想。

代入消元法，簡稱代入法。

加減消元法，簡稱加減法。---本質(zhì)是，等式兩邊加減乘除等量的值，未知數(shù)解的大小不會變。

2.相關(guān)題目要素

仔細(xì)觀察：方程組中每個未知數(shù)的系數(shù)，是否有對應(yīng)關(guān)系。

X+2y=10

2x+y=20

找相關(guān)題目，練習(xí)，歸納類型，提高同類題解題速度！為后面答題預(yù)留時間！！

8.3實際問題與二元一次方程組

1）分析世紀(jì)問題中的數(shù)量關(guān)系

2）列出方程組

3）解方程組

8.4三元一次方程組的解法

1.定義

含有三個未知數(shù)，每個方程中含未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組叫作三元一次方程組。

2.解決思路

整體思想：消元或者換元

加減消元：對系數(shù)進(jìn)行仔細(xì)觀察

代入消元

換元：碰到比較不齊整的單項式的時候

第九章 不等式與不等式組

兩家商場推出不同的優(yōu)惠方案，哪家商場更劃算？----該問題，就蘊含了不等關(guān)系。

這樣的問題，需要把比較的對象數(shù)量化，分析其中的不等關(guān)系，列出相應(yīng)的數(shù)學(xué)式子——不等式（組），并通過解不等式（組）而得出結(jié)論。

解不等式組的思路，與利用方程或方程組研究相等關(guān)系類似。

主要內(nèi)容：一元一次不等式（組）及其解法。

9.1不等式

1. 定義

不等式：用符號”>””<”表示大小關(guān)系的式子，叫作不等式。用符號”≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式。

不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫作不等式的解。

解集：一個含有未知數(shù)的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程，叫作解不等式。

2. 不等式的性質(zhì)

先復(fù)習(xí)一下等式性質(zhì)：等式兩邊加或減同一個數(shù)或式子，乘或除同一個數(shù)（除數(shù)不為0），結(jié)果仍相等（或者叫等式仍成立）。--解方程組時的加減消元法的本質(zhì)。

不等式有以下性質(zhì)：

1）不等式的兩邊加或減同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變

2）不等式的兩邊乘或除以同一個正數(shù)，不等號的方向不變

3）不等式的兩邊乘或除以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變

3.求差法

把兩個要比較的對象數(shù)量化（用字母或式子表示），再求它們的差。根據(jù)差的正負(fù)（即與0比較），判斷比較對象的大小。

9.2一元一次不等式

1. 定義

含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式。

9.3一元一次不等式組

1. 定義

把兩個一元一次不等式合起來，組成一元一次不等式組。

2. 不等式組解集

解一元一次不等式組時，一般先求出各個不等式的解集，再求出這些解集的公共部分。

利用數(shù)軸可以確定不等式組的解集。即X可取值范圍是兩個不等式解集的公共部分。（必須同時滿足）

不等式組解集類題目的關(guān)鍵：多做題、多畫數(shù)軸，然后熟能生巧。

第十章 數(shù)據(jù)的收集、整理與描述

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