形狀為

的方程稱(chēng)為歐拉方程（齊次），這里為常數(shù)。

歐拉方程可以通過(guò)變量變換化為常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程，從而可以獲得求解。

事實(shí)上，引進(jìn)自變量的變換

大家注意，如果，則用變量變換所得結(jié)果一樣。所以，為確定起見(jiàn)，我們先認(rèn)定,但最后結(jié)果以代回。

直接就算得到

利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明，對(duì)一切正整數(shù)均有關(guān)系式

其中都是常數(shù)。于是

現(xiàn)在我們將上述關(guān)系式代回歐拉方程，就能得到常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程

其中是常數(shù)，因而可以用特征方程的方法求出它的通解，再代回原來(lái)的變量(注意：)就可以求得歐拉方程的通解。

下面開(kāi)始定性分析。

由上述推演過(guò)程，我們知道上述關(guān)于的常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程有形如的解，從而歐拉方程有形如的解，因此可以直接求歐拉方程的形如的解。所以我們以代入歐拉方程并約去因子，就得到確定的代數(shù)方程

它也稱(chēng)為歐拉方程的特征方程。

因此上述方程的重實(shí)根，對(duì)應(yīng)于歐拉方程的個(gè)解

而方程的重共軛虛根, 對(duì)應(yīng)于歐拉方程的個(gè)實(shí)值解

最后再做這些解的線(xiàn)性組合，就得到歐拉方程的通解。

在視頻里我會(huì)給出幾個(gè)例子，其中有考研原題，相信大家通過(guò)對(duì)上述理論的學(xué)以致用，能很快掌握這些問(wèn)題。