數(shù)據(jù)準備數(shù)據(jù)集（JetRail高鐵的乘客數(shù)量）下載. 假設(shè)要解決一個時序問題：根據(jù)過往兩年的數(shù)據(jù)（2012 年 8 月至 2014 年 8月），需要用這些數(shù)據(jù)預(yù)測接下來 7 個月的乘客數(shù)量。 import pandas as pd import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt df = pd.read_csv('train.csv') df.head() df.shape 依照上面的代碼，我們獲得了 2012-2014 年兩年每個小時的乘客數(shù)量。為了解釋每種方法的不同之處，以每天為單位構(gòu)造和聚合了一個數(shù)據(jù)集。
import pandas as pd import matplotlib.pyplot as plt # Subsetting the dataset # Index 11856 marks the end of year 2013 df = pd.read_csv('train.csv', nrows=11856) # Creating train and test set # Index 10392 marks the end of October 2013 train = df[0:10392] test = df[10392:] # Aggregating the dataset at daily level df['Timestamp'] = pd.to_datetime(df['Datetime'], format='%d-%m-%Y %H:%M') # 4位年用Y，2位年用y df.index = df['Timestamp'] df = df.resample('D').mean() #按天采樣，計算均值 train['Timestamp'] = pd.to_datetime(train['Datetime'], format='%d-%m-%Y %H:%M') train.index = train['Timestamp'] train = train.resample('D').mean() # test['Timestamp'] = pd.to_datetime(test['Datetime'], format='%d-%m-%Y %H:%M') test.index = test['Timestamp'] test = test.resample('D').mean() #Plotting data train.Count.plot(figsize=(15,8), title= 'Daily Ridership', fontsize=14) test.Count.plot(figsize=(15,8), title= 'Daily Ridership', fontsize=14) plt.show() 我們將數(shù)據(jù)可視化（訓(xùn)練數(shù)據(jù)和測試數(shù)據(jù)一起），從而得知在一段時間內(nèi)數(shù)據(jù)是如何變化的。
方法1：樸素法假設(shè) y 軸表示物品的價格，x 軸表示時間（天）
如果數(shù)據(jù)集在一段時間內(nèi)都很穩(wěn)定，我們想預(yù)測第二天的價格，可以取前面一天的價格，預(yù)測第二天的值。這種假設(shè)第一個預(yù)測點和上一個觀察點相等的預(yù)測方法就叫樸素法。即 dd = np.asarray(train['Count']) y_hat = test.copy() y_hat['naive'] = dd[len(dd) - 1] plt.figure(figsize=(12, 8)) plt.plot(train.index, train['Count'], label='Train') plt.plot(test.index, test['Count'], label='Test') plt.plot(y_hat.index, y_hat['naive'], label='Naive Forecast') plt.legend(loc='best') plt.title("Naive Forecast") plt.show()
樸素法并不適合變化很大的數(shù)據(jù)集，最適合穩(wěn)定性很高的數(shù)據(jù)集。我們計算下均方根誤差，檢查模型在測試數(shù)據(jù)集上的準確率： from sklearn.metrics import mean_squared_error from math import sqrt rms = sqrt(mean_squared_error(test['Count'], y_hat['naive'])) print(rms) 最終均方誤差RMS為：43.91640614391676 方法2：簡單平均法
物品價格會隨機上漲和下跌，平均價格會保持一致。我們經(jīng)常會遇到一些數(shù)據(jù)集，雖然在一定時期內(nèi)出現(xiàn)小幅變動，但每個時間段的平均值確實保持不變。這種情況下，我們可以預(yù)測出第二天的價格大致和過去天數(shù)的價格平均值一致。這種將預(yù)期值等同于之前所有觀測點的平均值的預(yù)測方法就叫簡單平均法。即 y_hat_avg = test.copy() y_hat_avg['avg_forecast'] = train['Count'].mean() plt.figure(figsize=(12,8)) plt.plot(train['Count'], label='Train') plt.plot(test['Count'], label='Test') plt.plot(y_hat_avg['avg_forecast'], label='Average Forecast') plt.legend(loc='best') plt.show() 方法3：移動平均法
物品價格在一段時間內(nèi)大幅上漲，但后來又趨于平穩(wěn)。我們也經(jīng)常會遇到這種數(shù)據(jù)集，比如價格或銷售額某段時間大幅上升或下降。如果我們這時用之前的簡單平均法，就得使用所有先前數(shù)據(jù)的平均值，但在這里使用之前的所有數(shù)據(jù)是說不通的，因為用開始階段的價格值會大幅影響接下來日期的預(yù)測值。因此，我們只取最近幾個時期的價格平均值。很明顯這里的邏輯是只有最近的值最要緊。這種用某些窗口期計算平均值的預(yù)測方法就叫移動平均法。 計算移動平均值涉及到一個有時被稱為“滑動窗口”的大小值p。使用簡單的移動平均模型，我們可以根據(jù)之前數(shù)值的固定有限數(shù)p的平均值預(yù)測某個時序中的下一個值。這樣，對于所有的 ： 在上文移動平均法可以看到，我們對“p”中的觀察值賦予了同樣的權(quán)重。但是我們可能遇到一些情況，比如“p”中每個觀察值會以不同的方式影響預(yù)測結(jié)果。將過去觀察值賦予不同權(quán)重的方法就叫做加權(quán)移動平均法。加權(quán)移動平均法其實還是一種移動平均法，只是“滑動窗口期”內(nèi)的值被賦予不同的權(quán)重，通常來講，最近時間點的值發(fā)揮的作用更大了。即 這種方法并非選擇一個窗口期的值，而是需要一列權(quán)重值（相加后為1）。例如，如果我們選擇[0.40, 0.25, 0.20, 0.15]作為權(quán)值，我們會為最近的4個時間點分別賦給40%，25%，20%和15%的權(quán)重。 方法4：簡單指數(shù)法我們注意到簡單平均法和加權(quán)移動平均法在選取時間點的思路上存在較大的差異。我們就需要在這兩種方法之間取一個折中的方法，在將所有數(shù)據(jù)考慮在內(nèi)的同時也能給數(shù)據(jù)賦予不同非權(quán)重。例如，相比更早時期內(nèi)的觀測值，它會給近期的觀測值賦予更大的權(quán)重。按照這種原則工作的方法就叫做簡單指數(shù)平滑法。它通過加權(quán)平均值計算出預(yù)測值，其中權(quán)重隨著觀測值從早期到晚期的變化呈指數(shù)級下降，最小的權(quán)重和最早的觀測值相關(guān)： 其中0≤α≤1是平滑參數(shù)。對時間點T+1的單步預(yù)測值是時序的所有觀測值的加權(quán)平均數(shù)。權(quán)重下降的速率由參數(shù)α控制，預(yù)測值是與的和。 因此，它可以寫為： 所以本質(zhì)上，我們是用兩個權(quán)重α和1?α得到一個加權(quán)移動平均值，讓表達式呈遞進形式。 from statsmodels.tsa.api import SimpleExpSmoothing y_hat_avg = test.copy() fit = SimpleExpSmoothing(np.asarray(train['Count'])).fit(smoothing_level=0.6, optimized=False) y_hat_avg['SES'] = fit.forecast(len(test)) plt.figure(figsize=(16, 8)) plt.plot(train['Count'], label='Train') plt.plot(test['Count'], label='Test') plt.plot(y_hat_avg['SES'], label='SES') plt.legend(loc='best') plt.show() 模型中使用的α值為0.6，我們可以用測試集繼續(xù)調(diào)整參數(shù)以生成一個更好的模型。 方法5：霍爾特(Holt)線性趨勢法假設(shè)y軸表示某個物品的價格，x軸表示時間（天）。
如果物品的價格是不斷上漲的（見上圖），我們上面的方法并沒有考慮這種趨勢，即我們在一段時間內(nèi)觀察到的價格的總體模式。 每個時序數(shù)據(jù)集可以分解為相應(yīng)的幾個部分：趨勢（Trend），季節(jié)性(Seasonal)和殘差(Residual)。任何呈現(xiàn)某種趨勢的數(shù)據(jù)集都可以用霍爾特線性趨勢法用于預(yù)測。 import statsmodels.api as sm sm.tsa.seasonal_decompose(train['Count']).plot() result = sm.tsa.stattools.adfuller(train['Count']) plt.show()
我們從圖中可以看出，該數(shù)據(jù)集呈上升趨勢。因此我們可以用霍爾特線性趨勢法預(yù)測未來價格。該算法包含三個方程：一個水平方程，一個趨勢方程，一個方程將二者相加以得到預(yù)測值：
我們在上面算法中預(yù)測的值稱為水平（level）。正如簡單指數(shù)平滑一樣，這里的水平方程顯示它是觀測值和樣本內(nèi)單步預(yù)測值的加權(quán)平均數(shù)，趨勢方程顯示它是根據(jù) ?(t)??(t?1) 和之前的預(yù)測趨勢 b(t?1) 在時間t處的預(yù)測趨勢的加權(quán)平均值。 我們將這兩個方程相加，得出一個預(yù)測函數(shù)。我們也可以將兩者相乘而不是相加得到一個乘法預(yù)測方程。當趨勢呈線性增加和下降時，我們用相加得到的方程；當趨勢呈指數(shù)級增加或下降時，我們用相乘得到的方程。實踐操作顯示，用相乘得到的方程，預(yù)測結(jié)果會更穩(wěn)定，但用相加得到的方程，更容易理解。
from statsmodels.tsa.api import Holt y_hat_avg = test.copy() fit = Holt(np.asarray(train['Count'])).fit(smoothing_level=0.3, smoothing_slope=0.1) y_hat_avg['Holt_linear'] = fit.forecast(len(test)) plt.figure(figsize=(16, 8)) plt.plot(train['Count'], label='Train') plt.plot(test['Count'], label='Test') plt.plot(y_hat_avg['Holt_linear'], label='Holt_linear') plt.legend(loc='best') plt.show()
這種方法能夠準確地顯示出趨勢，因此比前面的幾種模型效果更好。如果調(diào)整一下參數(shù)，結(jié)果會更好。 方法6：Holt-Winters季節(jié)性預(yù)測模型在應(yīng)用這種算法前，我們先介紹一個新術(shù)語。假如有家酒店坐落在半山腰上，夏季的時候生意很好，顧客很多，但每年其余時間顧客很少。因此，每年夏季的收入會遠高于其它季節(jié)，而且每年都是這樣，那么這種重復(fù)現(xiàn)象叫做“季節(jié)性”（Seasonality）。如果數(shù)據(jù)集在一定時間段內(nèi)的固定區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)相似的模式，那么該數(shù)據(jù)集就具有季節(jié)性。
我們之前討論的5種模型在預(yù)測時并沒有考慮到數(shù)據(jù)集的季節(jié)性，因此我們需要一種能考慮這種因素的方法。應(yīng)用到這種情況下的算法就叫做Holt-Winters季節(jié)性預(yù)測模型，它是一種三次指數(shù)平滑預(yù)測，其背后的理念就是除了水平和趨勢外，還將指數(shù)平滑應(yīng)用到季節(jié)分量上。 Holt-Winters季節(jié)性預(yù)測模型由預(yù)測函數(shù)和三次平滑函數(shù)——一個是水平函數(shù)?t，一個是趨勢函數(shù)bt，一個是季節(jié)分量 st，以及平滑參數(shù)α,β和γ。
其中 s 為季節(jié)循環(huán)的長度，0≤α≤ 1, 0 ≤β≤ 1 ， 0≤γ≤ 1。水平函數(shù)為季節(jié)性調(diào)整的觀測值和時間點t處非季節(jié)預(yù)測之間的加權(quán)平均值。趨勢函數(shù)和霍爾特線性方法中的含義相同。季節(jié)函數(shù)為當前季節(jié)指數(shù)和去年同一季節(jié)的季節(jié)性指數(shù)之間的加權(quán)平均值。在本算法，我們同樣可以用相加和相乘的方法。當季節(jié)性變化大致相同時，優(yōu)先選擇相加方法，而當季節(jié)變化的幅度與各時間段的水平成正比時，優(yōu)先選擇相乘的方法。 from statsmodels.tsa.api import ExponentialSmoothing y_hat_avg = test.copy() fit1 = ExponentialSmoothing(np.asarray(train['Count']), seasonal_periods=7, trend='add', seasonal='add', ).fit() y_hat_avg['Holt_Winter'] = fit1.forecast(len(test)) plt.figure(figsize=(16, 8)) plt.plot(train['Count'], label='Train') plt.plot(test['Count'], label='Test') plt.plot(y_hat_avg['Holt_Winter'], label='Holt_Winter') plt.legend(loc='best') plt.show()
我們可以看到趨勢和季節(jié)性的預(yù)測準確度都很高。我們選擇了 seasonal_period = 7作為每周重復(fù)的數(shù)據(jù)。也可以調(diào)整其它其它參數(shù)，我在搭建這個模型的時候用的是默認參數(shù)。你可以試著調(diào)整參數(shù)來優(yōu)化模型。 方法7：自回歸移動平均模型（ARIMA）另一個場景的時序模型是自回歸移動平均模型（ARIMA）。指數(shù)平滑模型都是基于數(shù)據(jù)中的趨勢和季節(jié)性的描述，而自回歸移動平均模型的目標是描述數(shù)據(jù)中彼此之間的關(guān)系。ARIMA的一個優(yōu)化版就是季節(jié)性ARIMA。它像Holt-Winters季節(jié)性預(yù)測模型一樣，也把數(shù)據(jù)集的季節(jié)性考慮在內(nèi)。 import statsmodels.api as sm y_hat_avg = test.copy() fit1 = sm.tsa.statespace.SARIMAX(train.Count, order=(2, 1, 4), seasonal_order=(0, 1, 1, 7)).fit() y_hat_avg['SARIMA'] = fit1.predict(start="2013-11-1", end="2013-12-31", dynamic=True) plt.figure(figsize=(16, 8)) plt.plot(train['Count'], label='Train') plt.plot(test['Count'], label='Test') plt.plot(y_hat_avg['SARIMA'], label='SARIMA') plt.legend(loc='best') plt.show()
我們可以看到使用季節(jié)性 ARIMA 的效果和Holt-Winters差不多。我們根據(jù) ACF（自相關(guān)函數(shù)）和 PACF（偏自相關(guān)） 圖選擇參數(shù)。如果你為 ARIMA 模型選擇參數(shù)時遇到了困難，可以用 R 語言中的 auto.arima。 最后，我們將這幾種模型的準確度比較一下：
后話建議你在解決問題時，可以依次試試這幾種模型，看看哪個效果最好。我們從上文也知道，數(shù)據(jù)集不同，每種模型的效果都有可能優(yōu)于其它模型。因此，如果一個模型在某個數(shù)據(jù)集上效果很好，并不代表它在所有數(shù)據(jù)集上都比其它模型好。
參考鏈接： 1. 標點符-用Python進行時間序列預(yù)測的7種方法 2. 博客園-python時間序列resample參數(shù) 3. CSDN-python resample()函數(shù)（用于數(shù)據(jù)聚合） __EOF__ |
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