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另一方面，回歸模型允許客戶從預(yù)測(cè)變量中包含大量相關(guān)信息，但不允許處理ARIMA模型中可以處理的細(xì)微時(shí)間序列動(dòng)態(tài)。在本文中，我們幫助客戶考慮如何擴(kuò)展ARIMA模型，以便允許其他信息被納入模型中。

我們考慮了以下形式的回歸模型：

在本文中，我們?cè)试S回歸中的誤差包含自相關(guān)。例如，如果ηt'遵循ARIMA(1,1,1)模型，我們可以寫成：

其中εt'是一個(gè)白噪聲序列。

估計(jì)

在估計(jì)帶有ARMA誤差的回歸模型時(shí)，一個(gè)重要的考慮因素是模型中的所有變量必須首先是平穩(wěn)的。因此，我們首先必須檢查yt'和所有預(yù)測(cè)變量(x1,t,...,xk,t)(β,...,γ)是否呈現(xiàn)出平穩(wěn)性。

因此，我們首先對(duì)模型中的非平穩(wěn)變量進(jìn)行差分處理。

如果模型中的所有變量都是平穩(wěn)的，那么我們只需要考慮殘差的ARMA誤差。我們得到如下模型：

其中y′t=yt?yt?1，x′t,i=xt,i?xt?1,i，β′=β?β?1，η′t=ηt?ηt?1，這是一個(gè)帶有ARMA誤差的差分模型。

R中ARIMAX回歸

以下R命令：

fit <- Arima(y, xreg=x, order=c(1,1,0))

將擬合模型y′t=β1x′t+η′t，其中η′t=?1η′t?1+εt是一個(gè)AR(1)誤差。這等同于帶有ARIMA誤差的差分模型。

其中ηt是一個(gè)ARIMA(1,1,0)誤差。由于進(jìn)行差分，常數(shù)項(xiàng)消失。如果要在差分模型中包含常數(shù)項(xiàng)，需要指定include.drift=TRUE。

最終模型的AICc將被計(jì)算，并且該值可用于確定最佳預(yù)測(cè)變量。也就是說，應(yīng)對(duì)要考慮的所有預(yù)測(cè)變量子集重復(fù)此過程，并選擇AICc值最小的模型。

示例：個(gè)人消費(fèi)和收入

圖1顯示了1970年至2016年第3季度個(gè)人消費(fèi)支出和個(gè)人可支配收入的季度變化。我們希望根據(jù)收入變化來預(yù)測(cè)支出變化。

autoplot(uschange[,1:2], 
.......
income")

圖1：1970年至2016年第三季度個(gè)人消費(fèi)支出和可支配個(gè)人收入的季度百分比變化。

(fit <- auto.arim.......
"Income"]))

數(shù)據(jù)已經(jīng)是平穩(wěn)的了（我們考慮的是百分比變化而不是原始支出和收入），因此不需要進(jìn)行差分處理。擬合的模型是

我們可以使用residuals()函數(shù)來恢復(fù)對(duì)于ηt和εt序列的估計(jì)值。

cbind("Regression Errors" = residuals.......

  autoplot(facets=TRUE)

 圖2：從擬合模型中獲取的回歸誤差（ηt）和ARIMA誤差（εt）。

應(yīng)該看出ARIMA誤差類似于一個(gè)白噪聲序列。

 圖3: 殘差（即ARIMA誤差）與白噪聲沒有顯著差異。

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ARIMA模型，ARIMAX模型預(yù)測(cè)冰淇淋消費(fèi)時(shí)間序列數(shù)據(jù)

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預(yù)測(cè)

使用具有ARIMA誤差的回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，我們需要預(yù)測(cè)模型的回歸部分和ARIMA部分，并合并結(jié)果。與普通的回歸模型一樣，為了獲得預(yù)測(cè)值，我們首先需要預(yù)測(cè)預(yù)測(cè)變量。

示例：個(gè)人消費(fèi)和收入

我們將計(jì)算未來八個(gè)季度的預(yù)測(cè)值，假設(shè)未來的可支配收入百分比變化將等于過去四十年的平均百分比變化。

fcast <- forecast.......

圖4：使用采用ARIMA（1,0,2）誤差模型回歸消費(fèi)支出百分比變化與可支配收入百分比變化，獲取的預(yù)測(cè)值。

該模型的預(yù)測(cè)區(qū)間開發(fā)的模型更窄，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在能夠使用收入預(yù)測(cè)變量來解釋數(shù)據(jù)的一部分變異性。

示例：預(yù)測(cè)用電量

日用電量可以建模為與溫度有關(guān)的函數(shù)。正如在電費(fèi)單上可以觀察到的，在寒冷的天氣里由于加熱和炎熱的天氣里由于空調(diào)等原因使用更多的電。寒冷和炎熱天氣對(duì)電力需求的增加反映在圖中的U形，其中將日需求與日最高氣溫相關(guān)聯(lián)。

圖5：2014年每日用電量與最高氣溫的關(guān)系。

圖6顯示了每日需求和每日最高氣溫的時(shí)間序列。這些圖強(qiáng)調(diào)了需要一個(gè)非線性動(dòng)態(tài)模型。

圖6：2014年每日用電量和最高溫度。

在此示例中，我們使用auto.arima()函數(shù)擬合具有ARMA誤差的二次回歸模型。

xreg <- cbind(MaxTemp =.......

fit <- auto........
 xreg = xreg)

圖7：每日電力需求的動(dòng)態(tài)回歸模型殘差診斷。

該模型的殘差存在顯著的自相關(guān)性，這意味著預(yù)測(cè)區(qū)間可能無法提供準(zhǔn)確的覆蓋范圍。此外，殘差直方圖顯示出一個(gè)正的異常值，這也會(huì)影響預(yù)測(cè)區(qū)間的覆蓋范圍。

使用估計(jì)的模型，我們從2015年1月1日（星期四，新年假日）開始預(yù)測(cè)未來14天的數(shù)據(jù)。

fcast <- forecast(fit,.......

圖8：每日電力需求的動(dòng)態(tài)回歸模型預(yù)測(cè)。所有未來溫度都設(shè)置為26攝氏度，工作日虛擬變量被設(shè)置為已知的未來值。

隨機(jī)趨勢(shì)和確定性趨勢(shì)

有兩種不同的方法來對(duì)線性趨勢(shì)進(jìn)行建模。通過回歸模型可以得到一個(gè)“確定性趨勢(shì)”，如下所示：

其中ηt為ARMA過程。通過以下模型可以得到一個(gè)“隨機(jī)趨勢(shì)”：

這類似于帶趨勢(shì)的隨機(jī)游走，但這里的誤差項(xiàng)是一個(gè)ARMA過程，而不僅僅是白噪聲。

盡管這些模型看起來非常相似（它們只有在應(yīng)用到ηt′′時(shí)需要應(yīng)用的差分?jǐn)?shù)量不同），它們的預(yù)測(cè)特性卻非常不同。

示例：國(guó)際游客數(shù)據(jù)

autoplot(austa) + xlab("Year").......
)

圖9：1980年至2015年年際國(guó)際游客人數(shù)。

圖9顯示了1980年至2015年每年國(guó)際游客總數(shù)。我們將對(duì)這些數(shù)據(jù)擬合一個(gè)確定性趨勢(shì)模型和一個(gè)隨機(jī)趨勢(shì)模型。確定性趨勢(shì)模型的擬合如下：

trend <- seq_along.......
rend))

這個(gè)模型可以表示為：

預(yù)計(jì)每年游客數(shù)量的增長(zhǎng)為0.17百萬人。

或者，可以使用隨機(jī)趨勢(shì)模型進(jìn)行估計(jì)。

(fit2 <- au.......
, d=1))

 這個(gè)模型可以表示為: yt?yt?1=0.173+η′t, 或者等價(jià)地

在這種情況下，游客數(shù)量的預(yù)計(jì)增長(zhǎng)也是0.17百萬人。盡管增長(zhǎng)估計(jì)相似，但預(yù)測(cè)區(qū)間不同，如圖所示。特別是，由于誤差是非平穩(wěn)的，隨機(jī)趨勢(shì)具有更寬的預(yù)測(cè)區(qū)間。

fc1 <- forecast(fit1.......

  guides(colour=guide_legend(t)

圖10：使用確定趨勢(shì)模型和隨機(jī)趨勢(shì)模型對(duì)國(guó)際游客的年度預(yù)測(cè)。

確定性趨勢(shì)隱含了一個(gè)假設(shè)，即趨勢(shì)的斜率不會(huì)隨時(shí)間而變化。另一方面，隨機(jī)趨勢(shì)可以變化，并且估計(jì)的增長(zhǎng)僅被假設(shè)為歷史時(shí)期的平均增長(zhǎng)，而不一定是未來觀察到的增長(zhǎng)率。因此，使用隨機(jī)趨勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)更安全，特別是對(duì)于較長(zhǎng)的預(yù)測(cè)時(shí)間范圍，在這種情況下，預(yù)測(cè)區(qū)間允許未來增長(zhǎng)的不確定性更大。