溫馨提示：任何對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的朋友皆可閱讀。

這個(gè)問題很有趣，也很普遍，我們可以聊聊。

首先，回答這個(gè)問題之前，我們要先明確數(shù)學(xué)到底是不是為了有用，以及怎么才算有用？

如果你認(rèn)為數(shù)學(xué)作為工具在其它領(lǐng)域展現(xiàn)威力叫有用，那么代數(shù)有用，但是只起基本作用。它的最先進(jìn)理論和結(jié)論都是為數(shù)學(xué)本身服務(wù)的。因此，它不怎么涉及那些涉及自然科學(xué)的前沿問題和實(shí)用問題。如果你指望它可以直接參與前沿問題的解決，那么很抱歉，代數(shù)對(duì)此不感興趣。

如果你認(rèn)為數(shù)學(xué)作為工具在自己的地盤展現(xiàn)威力也叫有用，那么代數(shù)有不可替代的作用。如果對(duì)于自然科學(xué)來說，數(shù)學(xué)是骨架，物理血肉，那么對(duì)于數(shù)學(xué)來說，代數(shù)就是骨架，其它的是血肉【集合論中公理化的相關(guān)問題不算】。

因此，對(duì)于問題“應(yīng)用里是不是最沒用的”，我們的回答是，要看在什么里的應(yīng)用。

代數(shù)是不是應(yīng)用里最沒用的數(shù)學(xué)?這個(gè)問題本身不是很重要，重要的是對(duì)它的延伸，太多學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人有這樣的誤區(qū)：以大學(xué)數(shù)學(xué)系的課程為邊界，他們認(rèn)為代數(shù)的簡(jiǎn)單的，分析是困難的，它們覺得簡(jiǎn)單的東西似乎沒什么深度——線性空間有什么好玩的，無聊，二次型、特征值沒意思。即使抽象他們也覺得不是太難，但更多的感覺是有點(diǎn)單調(diào)——似乎都是在玩加減和乘，除法都少見了。往后學(xué)學(xué)結(jié)構(gòu)，都是映射、同態(tài)、置換群、交換環(huán)之類的，有點(diǎn)無聊，這些太抽象、不具體、不能被直接用于(實(shí)用的)前沿。

事實(shí)如此嗎？是的，就是這樣，大學(xué)數(shù)學(xué)系給出的感覺就是如此。對(duì)比如此明顯的另一個(gè)因素是數(shù)學(xué)分析多出的三種計(jì)算極限、微分、積分。它們至少感覺上似乎比代數(shù)要更加豐富、有趣、靈活。而且，當(dāng)實(shí)變函數(shù)和泛函分析到來時(shí)，極端抽象和難以把握的估值與不等式放縮，復(fù)雜且理不清思路的證明，讓太多人恐懼這兩門課程，再加上復(fù)分析作為優(yōu)美且超級(jí)實(shí)用的“壓倒駱駝的最后一根稻草”，分析從此在眾多學(xué)子的心理留下了這樣的印象：分析是豐富的、強(qiáng)大的、前沿的、困難的、是真正的數(shù)學(xué)，代數(shù)雖然也是數(shù)學(xué)，但只能屈居二線。我看其它評(píng)論，喜歡拓?fù)涞乃坪醵急却鷶?shù)多。

太簡(jiǎn)單的覺得不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的真諦，太復(fù)雜又難以掌握。呵呵。代數(shù)對(duì)比分析竟如此不堪？

其實(shí)，代數(shù)是偉大的學(xué)科。在我心里，代數(shù)是和實(shí)變一樣魅力無限的數(shù)學(xué)，那些認(rèn)為實(shí)變函數(shù)過于病態(tài)的結(jié)論就像他們不理解代數(shù)的美麗一樣偏激。大學(xué)有上面的感覺毫不奇怪，那是因?yàn)檎n程安排的緣故。其實(shí)數(shù)學(xué)系有四本分析：數(shù)學(xué)分析、實(shí)變函數(shù)、泛函分析、復(fù)分析，卻只有兩本代數(shù)：高等代數(shù)、近世代數(shù)。不考慮交叉學(xué)科，這兩本純代數(shù)教材能體現(xiàn)代數(shù)的全部嗎？

答案是：除非講的全面，否則不能。高等代數(shù)課程基本定死，這沒啥說的，但是近世代數(shù)是非常靈活的。它可以只講群環(huán)域，但也可以講范疇、概形?？茨阍趺催x內(nèi)容。代數(shù)大神Rotman的扛鼎之作《高等近世代數(shù)》從回顧代數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)開始，一直講到范疇、同調(diào)代數(shù)等極為艱難的東西。包含近100年代數(shù)的發(fā)展，你看看人家寫的！

很多人不了解代數(shù)的意義。代數(shù)里有運(yùn)算、有結(jié)構(gòu)、有體系。它看似空洞的背后是海納百川的“包容”。代數(shù)確實(shí)不能進(jìn)行極限和微積分運(yùn)算，但是極限在定義完成后的第一件事就是要考慮它和所謂四則運(yùn)算的融合？為啥，因?yàn)榇鷶?shù)是骨架，而運(yùn)算的數(shù)學(xué)的靈魂之一。沒有代數(shù)就沒有運(yùn)算。導(dǎo)數(shù)算子對(duì)于兩個(gè)函數(shù)的加法是滿足線性運(yùn)算法則的，但是對(duì)于乘法它不滿足【滿足萊布尼茨律】，不管它滿足什么，我們需要知道這個(gè)規(guī)則，這個(gè)規(guī)則的表述是代數(shù)。因?yàn)樗屑臃ㄔ诶锩妫〖訙p乘除是代數(shù)專有的，雖然講各種數(shù)學(xué)時(shí)，它們都會(huì)出現(xiàn)，但是就學(xué)科內(nèi)容歸來來說，運(yùn)算律是研究是代數(shù)的，而不是其它的。只要你用加減乘除，無論多少，它都是在代數(shù)的地盤上進(jìn)行具體工作。

函數(shù)體系是代數(shù)的。不是分析的。領(lǐng)地是分析的，當(dāng)且僅當(dāng)使用極限和微積分的運(yùn)算。我們當(dāng)然可以不用這些就定義函數(shù)的概念，高中時(shí)，在沒學(xué)導(dǎo)數(shù)概念時(shí)，我們依然可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行所謂四則運(yùn)算和求復(fù)合。因此就對(duì)象本身來說，函數(shù)其實(shí)是集合論的，但是就所在體系來說函數(shù)的復(fù)合是幺半群，而函數(shù)的加減與數(shù)量乘法是向量空間【叫函數(shù)空間】，這些都代數(shù)的。它們不需要極限、微分、積分就能定義。相反，后三種計(jì)算要求先有這些概念，然后再去考察它們能否與這些概念相容或者不相容。

以定積分為例，它作用到函數(shù)上，把定積分看成算子，它的定義域就是函數(shù)空間，定積分的結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)，那么定積分的目標(biāo)域就是實(shí)數(shù)集R。所以定積分就是所謂的線性泛函——之所以是線性的，是因?yàn)樗男再|(zhì)：兩個(gè)函數(shù)的加法、實(shí)數(shù)與函數(shù)的乘法，定積分都滿足線性性質(zhì)；之所叫泛函，是因?yàn)樗饔玫膶?duì)象是函數(shù)本身而不是某個(gè)數(shù)。但是它對(duì)兩個(gè)函數(shù)相乘就不滿足線性性質(zhì)。由此我們可以從代數(shù)角度來考察定積分的性質(zhì)。很多人學(xué)到這都是盯著定積分的分析性質(zhì)而沒有意識(shí)到，它本身具有所謂線性泛函的性質(zhì)。這樣全體定積分就可以在向量空間這個(gè)更廣闊的空間里研究了。而不是只拘泥于它的分析性質(zhì)。

可以直接對(duì)廣義相對(duì)論進(jìn)行計(jì)算的工具叫張量分析，那東西是先有張量代數(shù)，然后才是張量的協(xié)變微分；可以參與幾何與物理的強(qiáng)大工具外微分是在外代數(shù)的體系下進(jìn)而發(fā)展外微分的。沒有代數(shù)構(gòu)建的基本運(yùn)算體系，其它衍生計(jì)算法則都是不可能有可靠、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)的。分析是細(xì)膩的，具體的、無窮小的，代數(shù)是博大、抽象、更廣闊的【即使是無窮大本身——超限數(shù)也要考慮所謂的基本代數(shù)運(yùn)算】。

真正的代數(shù)是和泛函、實(shí)變不相上下的復(fù)雜體系?，F(xiàn)在國(guó)內(nèi)有很多翻譯的教材，像代數(shù)幾何、高等近世代數(shù)都可以去讀一讀。當(dāng)模與范疇開始進(jìn)入數(shù)學(xué)時(shí)，你的學(xué)習(xí)會(huì)相當(dāng)困難，如果你沒有足夠的例子作為“直觀素材”儲(chǔ)備，你根本不理解那些只討論陪集分類和同態(tài)的東西能具體用到哪些數(shù)學(xué)上。當(dāng)我們?cè)诜懂犐线M(jìn)行同調(diào)代數(shù)、討論環(huán)層空間時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，那種限制你使用分析方式的研究比讓你隨意使用分析技術(shù)更叫惱人。高等代數(shù)和近世代數(shù)在大學(xué)只是開胃小菜，無論你喜不喜歡它們，如果你只認(rèn)為代數(shù)就是大學(xué)的那兩門課，那么這個(gè)想法將會(huì)誤導(dǎo)你對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)世界中代數(shù)體系和難度的認(rèn)知！

再說一遍，真正的代數(shù)是和分析一樣困難的數(shù)學(xué)體系，費(fèi)馬大定理的證明就是如此，很多人知道它和模曲線有關(guān)，是個(gè)數(shù)論命題，但是它的證明完全是代數(shù)的功勞——在概形體系下，通過關(guān)聯(lián)模曲線與費(fèi)馬定理，利用反證法給出模曲線的模形式的某種特殊性和一般性相矛盾，從而間接證明費(fèi)馬定理。這個(gè)過程與分析技巧無關(guān)，那是強(qiáng)悍無比的代數(shù)體系在數(shù)論命題上的極大勝利。

所以，代數(shù)對(duì)于數(shù)學(xué)本身比它對(duì)于物理應(yīng)用重要的多。不要小瞧代數(shù)的復(fù)雜和龐大程度。它的體系不比分析更簡(jiǎn)單，只是你沒學(xué)那么深罷了。