我們都知道算術(shù)的四種基本運(yùn)算：加法、減法、乘法和除法。在學(xué)校，我們都被迫一次又一次地機(jī)械地加減數(shù)字，直到這些運(yùn)算的原理深深地印在我們的大腦中。只是在很久以后，我們才發(fā)現(xiàn)，在實(shí)數(shù)上真正只有兩種基本運(yùn)算，即加法和乘法。減法只是加上一個(gè)負(fù)數(shù)，除法只是乘以一個(gè)分?jǐn)?shù)。在這篇文章中，我們將探索算術(shù)的第五種運(yùn)算，它幾乎和其他運(yùn)算一樣自然。此外，我們將展示如何使用這種運(yùn)算來構(gòu)建一種我稱之為平行微積分的全新微積分。在這種異類微積分中，x^2的平行導(dǎo)數(shù)是x/2，而ln(x)的平行導(dǎo)數(shù)是甚至有平行泰勒級數(shù)和平行傅里葉級數(shù)，平行拉普拉斯變換等！據(jù)我所知，這是一片未被探索的領(lǐng)域，我們即將踏上進(jìn)入這個(gè)未被探索的數(shù)學(xué)世界的旅程。讓我們首先定義平行加法和平行減法，并討論這種運(yùn)算名稱中“平行”一詞從何而來。在文獻(xiàn)中，這種運(yùn)算有幾種不同的表示法。對于作者來說，選擇一個(gè)有意義的表示法總是一個(gè)艱難的。對于任何數(shù)x和y（在擴(kuò)展的復(fù)平面（extended complex plane）中），我們定義它們的平行和為：如果你不知道什么是擴(kuò)展的復(fù)平面，它基本上是一種將所有的“無窮”折疊成一個(gè)點(diǎn)的方式。由于對于復(fù)數(shù)來說，這就像系緊一個(gè)袋子，擴(kuò)展的復(fù)平面在拓?fù)渖媳灰暈橐粋€(gè)球體，我們有時(shí)稱之為黎曼球面（Riemann sphere）。對于實(shí)數(shù)，是射影擴(kuò)展的實(shí)數(shù)線（projectively extended real line），它被看作是一個(gè)圓而不是一個(gè)數(shù)線，其中兩點(diǎn)-∞和∞重合（想象它們被粘在一起）。因此，討論無窮遠(yuǎn)點(diǎn)是有意義的，并且例如在除以零時(shí)沒有歧義。從幾何上來說，之所以稱之為平行加法，是因?yàn)樗巧婕皟蓷l平行線的某種測量的結(jié)果。在下面的圖解中，你可以幾何地看到它的來源。- 圖解解釋了平行運(yùn)算符，其中a Δ b = c。
從圖中我們可以看出，∞是正確的恒等元，因?yàn)槿绻覀儗延伸到無窮大，那么它的線將在a處與另一線相交。這些運(yùn)算有一堆精彩的特性，我們現(xiàn)在將對平行加法陳述，但對平行減法也同樣適用。- (x Δ y) Δ z = x Δ (y Δ z)（結(jié)合律）
- x Δ x Δ ??? Δ x = x / n（n次平行求和等于除以n）。
- (x Δ y)2 = x2 Δ y2 Δ 1/2 xy
此外，我們還發(fā)現(xiàn)，它將分母中的和分解為分?jǐn)?shù)的和：其中一個(gè)我覺得它如此自然的原因是因?yàn)樗卮鹆艘粋€(gè)非常自然的問題。就像我們有冪規(guī)則和對數(shù)規(guī)則給出加法和乘法運(yùn)算之間的對應(yīng)或關(guān)系一樣，這個(gè)運(yùn)算是在以下意義上乘以不同根或不同基對數(shù)的結(jié)果：這些事實(shí)在某種程度上填補(bǔ)了冪規(guī)則工具箱中的空白，出于某種原因，很少有人提出需要這樣答案的問題。通過上面的幾何圖像，很明顯，如果x和y是正實(shí)數(shù)，那么x Δ y < x且x Δ y < y，但是x Δ y = x - y呢？x/y的比率必須是多少才能使這成立？通過一點(diǎn)代數(shù)運(yùn)算，你可以證明滿足這個(gè)方程的唯一比率是x/y = φ和x/y = -1/φ，其中φ = (1 + √5)/2是黃金比例。這個(gè)話題的一個(gè)有趣的地方是無限平行級數(shù)的話題。例如，因?yàn)槌朔ê推叫屑臃M足分配律和結(jié)合律，我們可以證明當(dāng)|x| > 1。 這個(gè)結(jié)果當(dāng)然是1 - 1/x。關(guān)于這個(gè)我們在討論平行泰勒級數(shù)時(shí)再詳細(xì)說明！繼續(xù)探索這個(gè)運(yùn)算的有趣事實(shí)（有平行多項(xiàng)式和平行根公式等）但這里的真正目的是將其與相應(yīng)的微積分連接起來。讓我們首先回顧一下導(dǎo)數(shù)的定義。給定一個(gè)連續(xù)函數(shù)f，我們定義其導(dǎo)數(shù)為：如果極限存在的話（即對于所有x，無論我們讓h以哪個(gè)方向趨近，極限都需要相同）。平行導(dǎo)數(shù)的定義完全類似于上述，除了用Δ替換+，用?替換-，并且讓h趨近于無窮大（這個(gè)運(yùn)算的恒等元）。定義變?yōu)椋?/span>注意，分子和分母都趨向于無窮大，所以是一個(gè)“∞/∞”表達(dá)式，就像導(dǎo)數(shù)是一個(gè)“0/0”表達(dá)式一樣。首先明顯要檢查的是平行線性。即，如果h(x) = a f(x) Δ b g(x)，那么所以平行導(dǎo)數(shù)遵循平行加法和平行減法。注意因?yàn)樗幌裎覀儚膁/dx運(yùn)算符習(xí)慣的那樣遵循常規(guī)的加法和減法。我們可能想嘗試的下一件事是平行微分一些簡單的東西，比如f(x) = x^a。通過實(shí)際使用定義、一些規(guī)則并取極限，得到：這讓我們想起了導(dǎo)數(shù)，只不過是除法代替乘法。特別是，我們注意到1/x的平行導(dǎo)數(shù)是-1/x2，就像我們習(xí)慣的那樣。通過使用定義，我們可以找到兩個(gè)更有趣和實(shí)用的結(jié)果：你可以通過使用洛必達(dá)法則自己發(fā)現(xiàn)這些。在對更奇特的函數(shù)進(jìn)行平行微分之前，我們需要一些工具（順便說一下，工具被稱為定理，但我們在這里不會(huì)那么正式）。就像我們有微分的規(guī)則，如乘積規(guī)則、商規(guī)則、鏈?zhǔn)揭?guī)則等，我們有平行導(dǎo)數(shù)的類似規(guī)則。事實(shí)證明，有一個(gè)平行微分的乘積規(guī)則。作為一個(gè)例子，我們可以計(jì)算x ln(x)的平行導(dǎo)數(shù)最強(qiáng)大的工具之一是平行鏈?zhǔn)揭?guī)則：這兩個(gè)規(guī)則使我們能夠發(fā)現(xiàn)商規(guī)則，因?yàn)椋?/span>找到一個(gè)公共分母后，我們得到以下結(jié)果。有了這種新的能力，我們現(xiàn)在可以找出如何平行微分函數(shù)的和（這聽起來比實(shí)際難）。如果想要減法，你只需在表達(dá)式中翻轉(zhuǎn)兩個(gè)平行運(yùn)算符。注意，這類似于微分一個(gè)平行和。所以在某種意義上，這是一個(gè)表達(dá)式，說明它們是如何相關(guān)的。此時(shí)，你可能想知道平行微分算子的特征函數(shù)是什么樣的。特別是，我們可能想知道平行微分方程的解：為了找到這個(gè)，我們需要來自分析學(xué)的一個(gè)基本工具，但在這個(gè)案例中是平行分析學(xué)，即這個(gè)平行世界中泰勒級數(shù)的等價(jià)物。然而，為了使計(jì)算更容易，我們將我們的理論限制在麥克勞林級數(shù)（關(guān)于0的泰勒級數(shù)）上。這里沒有足夠的空間深入探討理論或討論收斂問題。相反，我將陳述結(jié)果并讓有興趣的讀者去探索它。如果函數(shù)f在x=∞時(shí)是無限連續(xù)可平行微分的，那么我們可以寫出其相應(yīng)的平行麥克勞林級數(shù)：如果f是平行解析的，在0的某個(gè)鄰域內(nèi)等于f(x)，我們可以更緊湊地寫成：對于某個(gè)收斂集。注意，如果一些評估如f(∞)是無窮大，這也是可以的，因?yàn)槲覀兪褂玫氖峭队皵U(kuò)展的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。事實(shí)上，我們現(xiàn)在可以通過重復(fù)使用鏈?zhǔn)椒▌t來驗(yàn)證：通過對兩邊進(jìn)行平行積分（我們還沒有真正討論過），得到結(jié)果：那么特征函數(shù)呢？這樣的函數(shù)的規(guī)范麥克勞林級數(shù)必須如下所示：事實(shí)上，我們可以通過使用平行鏈?zhǔn)椒▌t驗(yàn)證e^(-1/x)的平行導(dǎo)數(shù)是其自身。通過使用這個(gè)理論，很容易找到正弦和余弦的類比。事實(shí)證明，平行加法也有一個(gè)歐拉恒等式，而且很容易驗(yàn)證以下內(nèi)容。這些函數(shù)在我們的運(yùn)算下的行為很像正弦和余弦。它們有一個(gè)4的平行導(dǎo)數(shù)周期，就像正弦和余弦，一個(gè)的平行導(dǎo)數(shù)給出另一個(gè)的正負(fù)。它們是1/(2π)周期的，甚至可以使用這些作為基函數(shù)和平行積分來發(fā)展平行傅里葉理論，我們將在一會(huì)兒討論這個(gè)。我們將定義一個(gè)函數(shù)f的平行原函數(shù)或不定積分簡單地為一個(gè)函數(shù)F = I，使得F的平行導(dǎo)數(shù)是f。對于某個(gè)常數(shù)C。注意，現(xiàn)在的符號使用Δ作為上標(biāo)而不是?。積分也像其微分對應(yīng)物一樣是平行線性的。讓我們嘗試使用這個(gè)公式來找到函數(shù)f(x) = x e^(-1/x)的原函數(shù)。現(xiàn)在，通過平行乘積法則和平行加法的分配律的使用，很容易檢查這個(gè)結(jié)果。平行微積分在數(shù)學(xué)中有其位置！它是美麗的，我們只是觸及了它的表面。我們現(xiàn)在沒有時(shí)間進(jìn)一步探索它，但我鼓勵(lì)你去探索像平行微分方程、平行傅立葉級數(shù)、平行積分變換等東西。我希望你們在評論中有一些后續(xù)問題，這些問題能夠引發(fā)一些有趣的討論。也許甚至對讀者提出挑戰(zhàn)，比如：f(x)=sin(x)2的平行導(dǎo)數(shù)是什么，或者像高斯積分挑戰(zhàn)那樣的平行積分。
|
