首先是基礎(chǔ)概念理解：

①互斥事件，用集合的角度理解。

②全概率公式的意思，以及應(yīng)用全概率公式的條件，兩個(gè)事件必須的有相關(guān)性的。

以人教版A《選擇性必修三》中的例題為例，分析事件發(fā)生的過(guò)程，此題比較簡(jiǎn)單，好理解。但是后面的真題以及?？碱}中的問(wèn)題，非常不友好。所以我在圖片部分做了分析過(guò)程。

《選擇性必修三》P81

《選擇性必修三》P91

分析清楚事件的過(guò)程后，發(fā)現(xiàn)個(gè)問(wèn)題。就是馬爾科夫鏈從前往后遞推比較復(fù)雜，從后往前遞推，可以找到第n+1次與第n次的關(guān)系。列出概率關(guān)系式后，就到了高二下所學(xué)的“數(shù)列構(gòu)造等比”的環(huán)節(jié)了。

馬爾科夫鏈里涉及到的“數(shù)列構(gòu)造等比”，都是比較簡(jiǎn)單的“常數(shù)型”構(gòu)造。

接下來(lái)我們由淺入深的看幾道例題。

此題螞蟻在哪個(gè)點(diǎn)不是重點(diǎn)，在上面還是下面是問(wèn)題核心。

所以分析第n-1次的時(shí)候，分類本次是在上面，還是下面。因?yàn)樯厦婧拖旅嫠x擇下一步的路徑概率是不一樣的。

兩人投擲骰子問(wèn)題

此題務(wù)必從第n次（或者n+1次）開(kāi)始分析。由于此題情景中就甲乙兩人，并且“甲擲”還是“乙擲”為互斥事件，比較好分析，詳細(xì)分析見(jiàn)上圖。

和被3整除余數(shù)問(wèn)題

馬爾科夫鏈問(wèn)題的本質(zhì)就是，本次事情發(fā)生的概率，受上次事情的影響。所以分析的上一次會(huì)發(fā)生什么情況，進(jìn)行分類。而每一類發(fā)生的情況又是相互獨(dú)立的。

此題給出的情況比較少，所以比較好分析，余數(shù)是幾，是初中概念。

這里額外重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)一下，負(fù)數(shù)的余數(shù)不可以想當(dāng)然，余數(shù)必須是自然數(shù)。

比如“-1除以3”余數(shù)是幾？思考一下。

2023年佛山二模

此題答案給的貝葉斯公式（全概率），掌握熟練的同學(xué)問(wèn)題不大。

但是在應(yīng)用公式之前，我還是想把事件分析過(guò)程寫(xiě)明白?？聪掠疫吺謱?xiě)部分，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，其實(shí)把事兒分析明白，答案也就出來(lái)了。

2024年武漢9調(diào)

此題手寫(xiě)部分，將前三次的情況進(jìn)行分析，確實(shí)復(fù)雜，再往后分析會(huì)出現(xiàn)指數(shù)型增長(zhǎng)的分類情況。從后往前進(jìn)行分析比較簡(jiǎn)單。

此題細(xì)節(jié)：三個(gè)人其實(shí)就是三個(gè)變量，需設(shè)球在每個(gè)人手中的概率分別為P、Q、R。過(guò)程見(jiàn)詳解。

也是傳球問(wèn)題，同上一題題干很像，但是分析后區(qū)別很大，建議這兩道題對(duì)比著做。（這個(gè)題比上一題簡(jiǎn)單。）

2023年濟(jì)南市開(kāi)學(xué)考試

此題我給出兩個(gè)方法，一個(gè)是小題的做法，數(shù)學(xué)歸納法，直白點(diǎn)就是找規(guī)律。但是找規(guī)律不可以做為大題的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，所以下面手寫(xiě)部分給出了詳細(xì)分析。

此題有趣的地方就是，甲第n次獲勝與不獲勝的概率之和不為1，也就是不是互斥事情。這里我拿第二次舉例，進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明原因。這個(gè)分析過(guò)程不可以跳過(guò)，務(wù)必把事兒分析明白，做題才有收獲和意義。

2020年湖北武漢質(zhì)量監(jiān)測(cè)

此題一問(wèn)為二項(xiàng)分布，對(duì)比下一道題的超幾何分布。

二問(wèn)比較簡(jiǎn)單，情況就兩種，從后往前分析，答案過(guò)程寫(xiě)的比較清楚。

2020年江蘇

此題一問(wèn)為超幾何分布。二問(wèn)需設(shè)兩個(gè)概率變量。二問(wèn)構(gòu)造等比環(huán)節(jié)看題干問(wèn)法，要求是

{2Pn+Qn}的通項(xiàng)公式。

馬爾科夫鏈做為今年的熱點(diǎn)問(wèn)題，最重要的原因就是高考數(shù)學(xué)由22道題改成19道題，解答題由原來(lái)的6道，改成現(xiàn)在的5道。以往每個(gè)解答題獨(dú)立性比較強(qiáng)，數(shù)列就是數(shù)列，概率就是概率，立體幾何就是立體幾何。

而改革后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)解答題中，解析幾何中會(huì)出現(xiàn)立體幾何的問(wèn)題、數(shù)列題中會(huì)出現(xiàn)函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)和穩(wěn)定點(diǎn)”的問(wèn)題等，各個(gè)知識(shí)點(diǎn)相互關(guān)聯(lián)，知識(shí)網(wǎng)更加密集。

解答題數(shù)量變少，考點(diǎn)沒(méi)減少，就得在一道題里擠一擠。

所以概率統(tǒng)計(jì)的解答題中出現(xiàn)“數(shù)列的構(gòu)造等比”遞推問(wèn)題，就正常了。

帕普斯 《數(shù)學(xué)匯編》、“丹迪林雙球”、牛頓“切線”法、阿波羅尼斯在《圓錐曲線論》中的問(wèn)題、楊輝的《詳解九章算法》引題等，近期也更多的出現(xiàn)在2024年2月以后的各省市模考卷上。

還有兩個(gè)月高考，同學(xué)們不用抱怨，也千萬(wàn)不要抱怨。兵來(lái)將擋，水來(lái)土掩。出新題，咱就解決新題，從分析題型入手，再到反法和步驟熟練。

以上“馬爾科夫鏈”的題，你按著我手寫(xiě)部分，詳細(xì)分析和理解，再獨(dú)立完成一下，基本可以過(guò)關(guān)了。