一、均值不等式

均值不等式的基本概念：對(duì)于一組正實(shí)數(shù)，其算術(shù)平均數(shù)大于等于幾何平均數(shù)。即若有n個(gè)正實(shí)數(shù)x1、x2、...、xn，則它們的算術(shù)平均數(shù)A ≥ 它們的幾何平均數(shù)G。這一不等式可表示為：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ (x1 * x2 * ... * xn)^(1/n)。

當(dāng)時(shí)，

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。

（平方平均值、算數(shù)平均值、幾何平均值、調(diào)和平均值）

• 調(diào)和平均數(shù)：Hn = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)

• 幾何平均數(shù)：Gn = n√(a1 * a2 * ... * an)

• 算術(shù)平均數(shù)：An = (a1 + a2 + ... + an) / n

• 平方平均數(shù)：Qn = √((a1^2 + a2^2 + ... + an^2) / n)

證明方法：數(shù)學(xué)歸納法，通過逐步證明n=2、n=k和n=k+1時(shí)均值不等式成立，從而證明均值不等式對(duì)任意正整數(shù)n都成立。

若兩個(gè)正數(shù)的和、積、平方和、倒數(shù)和一個(gè)有定值，則其他三個(gè)有最值。重點(diǎn)掌握和與積的關(guān)系。

積定和最小。（重中之重）

和定積最大。

1、一正二定三相等四同時(shí)

一正：只有正數(shù)才能使用均值不等式

有些均值不等式的變形已經(jīng)不需要正數(shù)的限制了，如

負(fù)時(shí)可以使用對(duì)勾函數(shù)來分析

二定：積定和最小。和定積最大

三相等：最值取到需要驗(yàn)證兩數(shù)能否相等

即使最值取不到，不等式依然成立

可以使用對(duì)勾函數(shù)來分析真的最值是多少

四同時(shí)：多次使用均值不等式要看幾次等號(hào)成立的條件能否同時(shí)成立

即使最值取不到，不等式依然成立

2、湊零次

3、指對(duì)運(yùn)算模糊了兩數(shù)字的和、積

4、換元將兩數(shù)暴露出來

5、積乘常數(shù)、和加常數(shù)、因式分解、配方將兩數(shù)暴露出來

6、轉(zhuǎn)化為所求的不等式，解不等式

7、多次使用不等式

二、三角不等式

基本定義：在三角形中，任意兩邊之和大于第三邊。即對(duì)于三角形ABC，有AB + AC > BC，BC + AC > AB，以及AB + BC > AC。

基礎(chǔ)公式：記作AB + AC > BC，表示三角形兩邊之和必然大于第三邊。

絕對(duì)值不等式，下面一分為二去理解：

等號(hào)成立的條件分別是 

等號(hào)成立的條件分別是 

左邊外層的絕對(duì)值也可以去掉：

等號(hào)成立的條件是

等號(hào)成立的條件是 

等號(hào)成立的條件是 

等號(hào)成立的條件是 

用三角不等式求最值

1、 視和差誰(shuí)是定而取正或負(fù)

視和差誰(shuí)是定而取正或負(fù)

2、

證明方法：

• 線段公理：通過直觀理解兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出三角不等式。

• 代數(shù)法：利用余弦定理等代數(shù)工具，可以證明三角不等式。

• 三角法：利用三角形中的恒等式和三角函數(shù)性質(zhì)，也可以證明三角不等式。