【原】小樂數(shù)學(xué)科普：什么是束sheaf（層）？——譯自量子雜志Quanta Magazine

zzllrr小樂 2024-07-21 發(fā)布于江蘇

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圖源：Nan Cao / 量子雜志

作者：Konstantin Kakaes 量子雜志資深編輯 2024-7-19

譯者：zzllrr小樂（數(shù)學(xué)科普公眾號）2024-7-21

1940年，法國數(shù)學(xué)家兼炮兵軍官讓·勒雷（Jean Leray，1906 - 1998）被德國人俘虜。他告訴俘虜自己是一名拓?fù)鋵W(xué)家，是因?yàn)閾?dān)心如果他們發(fā)現(xiàn)他真正的專業(yè)領(lǐng)域——流體動(dòng)力學(xué)，他們就會強(qiáng)迫他為德國戰(zhàn)爭效力。在他被監(jiān)禁的近五年時(shí)間里，勒雷通過研究拓?fù)鋵W(xué)——這一研究可變形形狀的數(shù)學(xué)分支，來維持這種詭計(jì)。他最終創(chuàng)造了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最具革命性的思想之一：“層”（sheaf，原意為捆、束）的概念。

德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校的大衛(wèi)·本-茲維（David Ben-Zvi）說，在亞歷山大·格羅滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014）在1950年代和60年代使勒雷的概念脫穎而出后，層在數(shù)學(xué)中扮演了“主角”之一，成為“現(xiàn)代代數(shù)幾何中最基本的工具之一”。

正如一篇介紹性文章 https:///abs/2202.01379 所說，層可以被認(rèn)為是建立在其他數(shù)學(xué)對象之上發(fā)展出的概念。“可以這樣考慮它，數(shù)學(xué)對象是一塊土地，而層就像土地上面的花園，”馬克·阿格里奧斯（Mark Agrios）寫道。

層之所以得名，是因?yàn)樗鼈兩婕皩ⅰ扒o”（stalk）附著在基礎(chǔ)對象上。勒雷將它們命名為“faisceaux”（法語為“層”），因?yàn)檫@種安排讓他想起了成捆收割后的小麥。正如花園可以種植在不同種類的土地上一樣，層可以建在許多不同類型的數(shù)學(xué)對象之上，因此可以采取許多不同的形式。

即使是最簡單的層也是相當(dāng)復(fù)雜的數(shù)學(xué)實(shí)體。為了更好地理解它們，我們可以構(gòu)建一個(gè)。以下是如何用直線制作簡單的層。

將基礎(chǔ)對象設(shè)為實(shí)數(shù)軸：

我們構(gòu)建一個(gè)不是建立在單個(gè)點(diǎn)上，而是建在區(qū)間上的層。你可以通過無限多種方式將數(shù)軸分解為區(qū)間。下面顯示了一個(gè)示例。

在每對匹配的括號之間有一個(gè)區(qū)間，該區(qū)間包括它們之間的所有點(diǎn)，但不包括端點(diǎn)。因此，區(qū)間(0,1)包含了所有大于0且小于1的數(shù)字。

層包含所有區(qū)間，而不僅僅是任何給定的一個(gè)區(qū)間。每個(gè)區(qū)間可以分配一個(gè)“分段”集合。在本示例中，分段是經(jīng)過區(qū)間的所有可能的直線。

只舉一個(gè)區(qū)間，如下所示。僅顯示了其中的三個(gè)分段，因?yàn)椴豢赡芤淮慰梢暬械姆侄巍?/p>

層包括了所有可能的區(qū)間和區(qū)間的并集上的所有分段。

這是一個(gè)令人眼花繚亂的混沌實(shí)體。它在數(shù)學(xué)上變得有趣，因?yàn)樗[藏著基礎(chǔ)的簡單性。在上圖中，為不同區(qū)間選擇分段發(fā)生沖突。直線在彼此的上方和下方通過，而不是重合。

數(shù)學(xué)家們有興趣想了解當(dāng)你從每個(gè)區(qū)間中選擇一個(gè)分段，并要求不同的分段相互兼容，以便重疊區(qū)間一致時(shí)會發(fā)生什么。在這種限制下，一些非凡的事情發(fā)生了。

如果一個(gè)區(qū)間嵌套在另一個(gè)區(qū)間內(nèi)，則直線必須重疊匹配。

從這個(gè)局部約束中，你會得到一個(gè)全局結(jié)果。你最終會得到符合嵌套規(guī)則的唯一可能選項(xiàng)：在整個(gè)數(shù)軸上延伸的直線，而不是許多小的直線。

這些稱為全局分段。賦予層力量的一件事是，這種全局對象是從局部約束中出現(xiàn)的。

這是對實(shí)軸上的一堆直線或線性函數(shù)的游覽。這是最簡單的層之一。

你可以在實(shí)軸上創(chuàng)建大量的層。這類似于在同一塊土地上的花園中種植不同的花卉。有一個(gè)由圖像不跳躍的函數(shù)組成的層，有一個(gè)由圖像沒有尖角的函數(shù)組成的層，以及無限多其他類型的層。

但這僅僅是個(gè)開始。與其種植不同的花，不如轉(zhuǎn)向不同的土地。想象一下，在一個(gè)圓而不是一條直線上建造一個(gè)層。這創(chuàng)造了一個(gè)看起來像無限高的圓柱體的結(jié)構(gòu)。在該圓柱體上繪制的對象的結(jié)構(gòu)取決于特定層的特定構(gòu)造。

圖源：Mark Belan / 量子雜志

到目前為止，我們考慮過的所有層都可以被認(rèn)為是函數(shù)族。但是層可以變得更為（極其）復(fù)雜。

上圖中的圓柱體可以被認(rèn)為是來自一個(gè)無限高的矩形，你已經(jīng)將其邊粘在一起。但如果你在粘合矩形之前扭曲矩形的兩端，如下圖所示，你將創(chuàng)建一個(gè)無限寬的莫比烏斯帶（M?bius strip）（這種無限寬的不可能畫出來，所以我們將展示一個(gè)有限的莫比烏斯帶）。在這條莫比烏斯帶上，你仍可以繪制讓人聯(lián)想到圖形的曲線。

在圓的任何一小塊局部上，這條曲線看起來像一個(gè)函數(shù)的圖像。但在全局范圍內(nèi)，它不是一個(gè)函數(shù)。這是因?yàn)橛捎谂で瑹o法定義一致的全局坐標(biāo)系。（即如果你繞著莫比烏斯帶走，你的上、下概念最終會翻轉(zhuǎn)，從而使你無法定義。）數(shù)學(xué)家稱這些對象為“扭曲函數(shù)”（twisted function）。

雖然每個(gè)層都是一個(gè)龐大的對象集合，但你也可以考慮給定數(shù)學(xué)對象（實(shí)軸、圓或其他實(shí)體）上所有層的集合。這就像考慮可以在給定的土地上種植的所有可能的花園一樣。這告訴你一些關(guān)于那片土地是什么樣子的信息。有些地塊是熱帶雨林，有些是沙漠。弄清楚哪些層是可能的，這為數(shù)學(xué)家提供了一種探索基礎(chǔ)空間結(jié)構(gòu)的方法，就像知道哪些植物生長在特定類型的土壤中可以為你提供有關(guān)該土壤的信息一樣。

從格羅滕迪克開始，數(shù)學(xué)家們逐漸意識到層集合與函數(shù)集合有許多共同點(diǎn)，但復(fù)雜程度更高。你可以將層相加和相乘，甚至可以對其微積分。

在監(jiān)獄里，勒雷打開了通往一個(gè)全新數(shù)學(xué)世界的大門。