①兩點(diǎn)之間，線段最短

②垂線段最短（直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短）

③三角形三邊關(guān)系（三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊）

軸對(duì)稱最值模型

例1、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(1，4)和(3，0)，C是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且A，B，C三點(diǎn)不在同一條直線上，當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（    ）

A．(0，0)           B．(0，1)           C．(0，2)           D．(0，3)

解：作B點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B′點(diǎn)，連接AB′，交y軸于點(diǎn)C′，

此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小，

∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（3，0），

∴B′點(diǎn)坐標(biāo)為：（?3，0），AE＝4，

則B′E＝4，即B′E＝AE．

∴△B′AE為等腰直角三角形．

∴∠AB′E＝45°．

∴△B′OC′是等腰直角三角形．

∴B′O＝C′O＝3，

∴點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（0，3），此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)最小．

故選：A．

例2、如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=．在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的值最小，則此時(shí)AM+NB=________．

解：過(guò)A作直線a的垂線，并在此垂線上取點(diǎn)A′，使得AA′＝4，連接A′B，與直線b交于點(diǎn)N，過(guò)M作直線a的垂線，交直線a于點(diǎn)N，連接AN，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AA′，交射線AA′于點(diǎn)E，如圖．

∵AA′⊥a，MN⊥a，

∴AA′∥MN．

又∵AA′＝MN＝4，

∴四邊形AA′NM是平行四邊形，

∴AM＝A′N．

由于AM＋MN＋NB要最小，且MN固定為4，所以AM＋NB最?。?/span>

由兩點(diǎn)之間線段最短，可知AM＋NB的最小值為A′B．

例3、已知：如圖，∠ABC=30°，P為∠ABC內(nèi)部一點(diǎn)，BP=4，如果點(diǎn)M，N分別為邊AB，BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)畫圖說(shuō)明當(dāng)M，N在什么位置時(shí)使得△PMN的周長(zhǎng)最小，并求出△PMN周長(zhǎng)的最小值．

解：作圖略，△PMN周長(zhǎng)的最小值為4．

折疊之最值模型

特征1：折痕過(guò)定點(diǎn)，折疊前后線段相等（線段BA′長(zhǎng)度不變，A′的路徑為圓?。?/span>

思路：求A′C最小，轉(zhuǎn)化為BA′+A′C最小，利用三角形三邊關(guān)系求解

特征2：折痕折痕經(jīng)過(guò)兩條線的動(dòng)點(diǎn)，折疊前后線段相等（A′N+NC為定值）

思路：求BA′的最小值，轉(zhuǎn)化為求BA′+A′N+NC的最小值，利用兩點(diǎn)之間線段最短求解．

例4、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3．P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），將△BCP沿CP所在的直線翻折，得到△B′CP，連接B′A，則B′A長(zhǎng)度的最小值是_____．

例5、 如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是_______．

直角之最值模型

特征：直角不變，斜邊長(zhǎng)不變

思路：取斜邊中點(diǎn)，結(jié)合斜邊中線等于斜邊一半，利用三角形三邊關(guān)系求解

例6、如圖，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，在△ABC內(nèi)部以AC為斜邊任意作Rt△ACD，連接BD，則線段BD的最小值是________．

思路：求BA′的最小值，利用三角形三邊關(guān)系求解，BD≥OB－OD．

解決幾何最值問(wèn)題的通常思路：

分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，尋找不變特征．

若屬于常見模型、結(jié)構(gòu)，調(diào)用模型、結(jié)構(gòu)解決問(wèn)題；

若不屬于常見模型，結(jié)合所求目標(biāo)，依據(jù)不變特征轉(zhuǎn)化，借助基本定理解決問(wèn)題．

轉(zhuǎn)化原則：盡量減少變量，向定點(diǎn)、定線段、定圖形靠攏．

例7、 如圖，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F．若M為EF的中點(diǎn)，則AM長(zhǎng)度的最小值為____________．

解：∵四邊形AFPE是矩形

∴AM＝AP÷2，AP⊥BC時(shí)，AP最短，同樣AM也最短

∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，△ABP∽△CAB

∴AP：AC＝AB：BC

∴AP：8＝6：10

∴AP最短時(shí)，AP＝4.8

∴當(dāng)AM最短時(shí)，AM＝AP÷2＝2.4

例8、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=，BC的中點(diǎn)為D．將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度得到△FEC，EF的中點(diǎn)為G，連接DG，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DG長(zhǎng)度的最大值為____________．

例9、如圖，在等邊△ABC中，D是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BD，將線段BD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BE，連接ED，若BC=2，則△AED的周長(zhǎng)的最小值______．

例10、如圖，E，F是正方形ABCD的邊AD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE=DF．連接CF交BD于點(diǎn)G，連接BE交AG于點(diǎn)H，連接DH．若正方形的邊長(zhǎng)為2，則DH長(zhǎng)度的最小值是_______．