人類(lèi)從學(xué)會(huì)計(jì)數(shù)開(kāi)始就一直和自然數(shù)打交道了，后來(lái)由于實(shí)踐的需要，數(shù)的概念進(jìn)一步擴(kuò)充，自然數(shù)被叫做正整數(shù)，而把它們的相反數(shù)叫做負(fù)整數(shù)，介于正整數(shù)和負(fù)整數(shù)中間的中性數(shù)叫做0。它們和起來(lái)叫做整數(shù)。對(duì)于整數(shù)可以施行加、減、乘、除四種運(yùn)算，叫做四則運(yùn)算。其中加法、減法和乘法這三種運(yùn)算，在整數(shù)范圍內(nèi)可以毫無(wú)阻礙地進(jìn)行。也就是說(shuō)，任意兩個(gè)或兩個(gè)以上的整數(shù)相加、相減、相乘的時(shí)候，它們的和、差、積仍然是一個(gè)整數(shù)。但整數(shù)之間的除法在整數(shù)范圍內(nèi)并不一定能夠無(wú)阻礙地進(jìn)行。人們?cè)趯?duì)整數(shù)進(jìn)行運(yùn)算的應(yīng)用和研究中，逐步熟悉了整數(shù)的特性。比如，整數(shù)可分為兩大類(lèi)—奇數(shù)和偶數(shù)（通常被稱為單數(shù)、雙數(shù)）等。利用整數(shù)的一些基本性質(zhì)，可以進(jìn)一步探索許多有趣和復(fù)雜的數(shù)學(xué)規(guī)律，正是這些特性的魅力，吸引了古往今來(lái)許多的數(shù)學(xué)家不斷地研究和探索。數(shù)論這門(mén)學(xué)科最初是從研究整數(shù)開(kāi)始的，所以叫做整數(shù)論。后來(lái)整數(shù)論又進(jìn)一步發(fā)展，就叫做數(shù)論了。確切的說(shuō)，數(shù)論就是一門(mén)研究整數(shù)性質(zhì)的學(xué)科。自古以來(lái)，數(shù)學(xué)家對(duì)于整數(shù)性質(zhì)的研究一直十分重視，但是直到十九世紀(jì)，這些研究成果還只是孤立地記載在各個(gè)時(shí)期的算術(shù)著作中，也就是說(shuō)還沒(méi)有形成完整統(tǒng)一的學(xué)科。自我國(guó)古代，許多著名的數(shù)學(xué)著作中都關(guān)于數(shù)論內(nèi)容的論述，比如求最大公約數(shù)、勾股數(shù)組、某些不定方程整數(shù)解的問(wèn)題等等。在國(guó)外，古希臘時(shí)代的數(shù)學(xué)家對(duì)于數(shù)論中一個(gè)最基本的問(wèn)題——整除性問(wèn)題就有系統(tǒng)的研究，關(guān)于質(zhì)數(shù)、和數(shù)、約數(shù)、倍數(shù)等一系列概念也已經(jīng)被提出來(lái)應(yīng)用了。后來(lái)的各個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家也都對(duì)整數(shù)性質(zhì)的研究做出過(guò)重大的貢獻(xiàn)，使數(shù)論的基本理論逐步得到完善。在整數(shù)性質(zhì)的研究中，人們發(fā)現(xiàn)質(zhì)數(shù)是構(gòu)成正整數(shù)的基本“材料”，要深入研究整數(shù)的性質(zhì)就必須研究質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。因此關(guān)于質(zhì)數(shù)性質(zhì)的有關(guān)問(wèn)題，一直受到數(shù)學(xué)家的關(guān)注。到了十八世紀(jì)末，歷代數(shù)學(xué)家積累的關(guān)于整數(shù)性質(zhì)零散的知識(shí)已經(jīng)十分豐富了，把它們整理加工成為一門(mén)系統(tǒng)的學(xué)科的條件已經(jīng)完全成熟了。德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯集中前人的大成，寫(xiě)了一本書(shū)叫做《算術(shù)探討》，1800年寄給了法國(guó)科學(xué)院，但是法國(guó)科學(xué)院拒絕了高斯的這部杰作，高斯只好在1801年自己發(fā)表了這部著作。這部書(shū)開(kāi)始了現(xiàn)代數(shù)論的新紀(jì)元。在《算術(shù)探討》中，高斯把過(guò)去研究整數(shù)性質(zhì)所用的符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)化了，把當(dāng)時(shí)現(xiàn)存的定理系統(tǒng)化并進(jìn)行了推廣，把要研究的問(wèn)題和意志的方法進(jìn)行了分類(lèi)，還引進(jìn)了新的方法。數(shù)論形成了一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科后，隨著數(shù)學(xué)其他分支的發(fā)展，研究數(shù)論的方法也在不斷發(fā)展。如果按照研究方法來(lái)說(shuō)，可以分成初等數(shù)論、解析數(shù)論、代數(shù)數(shù)論和幾何數(shù)論四個(gè)部分。初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來(lái)研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國(guó)古代有名的“中國(guó)剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來(lái)解決數(shù)論問(wèn)題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對(duì)象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來(lái)解決數(shù)論問(wèn)題是由歐拉奠基的，俄國(guó)數(shù)學(xué)家車(chē)比雪夫等也對(duì)它的發(fā)展做出過(guò)貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具。比如，對(duì)于“質(zhì)數(shù)有無(wú)限多個(gè)”這個(gè)命題，歐拉給出了解析方法的證明，其中利用了數(shù)學(xué)分析中有關(guān)無(wú)窮級(jí)數(shù)的若干知識(shí)。二十世紀(jì)三十年代，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家維諾格拉多夫創(chuàng)造性的提出了“三角和方法”，這個(gè)方法對(duì)于解決某些數(shù)論難題有著重要的作用。我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在解決“哥德巴赫猜想”問(wèn)題中也使用的是解析數(shù)論的方法。代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。幾何數(shù)論是由德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開(kāi)創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對(duì)象是“空間格網(wǎng)”。什么是空間格網(wǎng)呢？在給定的直角坐標(biāo)系上，坐標(biāo)全是整數(shù)的點(diǎn)，叫做整點(diǎn)；全部整點(diǎn)構(gòu)成的組就叫做空間格網(wǎng)?？臻g格網(wǎng)對(duì)幾何學(xué)和結(jié)晶學(xué)有著重大的意義。由于幾何數(shù)論涉及的問(wèn)題比較復(fù)雜，必須具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)才能深入研究。數(shù)論是一門(mén)高度抽象的數(shù)學(xué)學(xué)科，長(zhǎng)期以來(lái)，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展起到了積極的作用。但對(duì)于大多數(shù)人來(lái)講并不清楚它的實(shí)際意義。由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；又文獻(xiàn)報(bào)道，現(xiàn)在有些國(guó)家應(yīng)用“孫子定理”來(lái)進(jìn)行測(cè)距，用原根和指數(shù)來(lái)計(jì)算離散傅立葉變換等。此外，數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。特別是現(xiàn)在由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，用離散量的計(jì)算去逼近連續(xù)量而達(dá)到所要求的精度已成為可能。數(shù)論在數(shù)學(xué)中的地位是獨(dú)特的，高斯曾經(jīng)說(shuō)過(guò)“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)論是數(shù)學(xué)中的皇冠”。因此，數(shù)學(xué)家都喜歡把數(shù)論中一些懸而未決的疑難問(wèn)題，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓勵(lì)人們?nèi)ァ罢 ?。下面?jiǎn)要列出幾顆“明珠”：費(fèi)爾馬大定理、孿生素?cái)?shù)問(wèn)題、歌德巴赫猜想、圓內(nèi)整點(diǎn)問(wèn)題、完全數(shù)問(wèn)題……在我國(guó)近代，數(shù)論也是發(fā)展最早的數(shù)學(xué)分支之一。從二十世紀(jì)三十年代開(kāi)始，在解析數(shù)論、刁藩都方程、一致分布等方面都有過(guò)重要的貢獻(xiàn)，出現(xiàn)了華羅庚、閔嗣鶴、柯召等第一流的數(shù)論專(zhuān)家。其中華羅庚教授在三角和估值、堆砌素?cái)?shù)論方面的研究是享有盛名的。1949年以后，數(shù)論的研究的得到了更大的發(fā)展。特別是在“篩法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得世界領(lǐng)先的優(yōu)秀成績(jī)。特別是陳景潤(rùn)在1966年證明“歌德巴赫猜想”的“一個(gè)大偶數(shù)可以表示為一個(gè)素?cái)?shù)和一個(gè)不超過(guò)兩個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和”以后，在國(guó)際數(shù)學(xué)引起了強(qiáng)烈的反響，盛贊陳景潤(rùn)的論文是解析數(shù)學(xué)的名作，是篩法的光輝頂點(diǎn)。至今，這仍是“歌德巴赫猜想”的最好結(jié)果。幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門(mén)數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問(wèn)題，后來(lái)在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問(wèn)題、多面體的歐拉定理、四色問(wèn)題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問(wèn)題。哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，[推薦]數(shù)學(xué)各個(gè)研究方向簡(jiǎn)介普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單有很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到?？磥?lái)要得到一個(gè)明確、理想的答案還不那么容易。1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過(guò)一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫(huà)出來(lái)。經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來(lái)的位置。并且給出了所有能夠一筆畫(huà)出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。著名的“四色問(wèn)題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問(wèn)題。四色問(wèn)題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色。”1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來(lái)數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國(guó)數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國(guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問(wèn)題，但這些問(wèn)題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲。 拓?fù)鋵W(xué)的英文名是Topology，直譯是地志學(xué)，也就是和研究地形、地貌相類(lèi)似的有關(guān)學(xué)科。我國(guó)早期曾經(jīng)翻譯成“形勢(shì)幾何學(xué)”、“連續(xù)幾何學(xué)”、“一對(duì)一的連續(xù)變換群下的幾何學(xué)”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統(tǒng)一的《數(shù)學(xué)名詞》把它確定為拓?fù)鋵W(xué)，這是按音譯過(guò)來(lái)的。拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，但是這種幾何學(xué)又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對(duì)象是點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系以及它們的度量性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)對(duì)于研究對(duì)象的長(zhǎng)短、大小、面積、體積等度量性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系都無(wú)關(guān)。舉例來(lái)說(shuō)，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無(wú)論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒(méi)有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問(wèn)題的時(shí)候，他畫(huà)的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)。拓?fù)湫再|(zhì)有那些呢？首先我們介紹拓?fù)涞葍r(jià)，這是比較容易理解的一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。左圖的三樣?xùn)|西就是拓?fù)涞葍r(jià)的，換句話講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。在一個(gè)球面上任選一些點(diǎn)用不相交的線把它們連接起來(lái)，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓?fù)渥儞Q下，點(diǎn)、線、塊的數(shù)目仍和原來(lái)的數(shù)目一樣，這就是拓?fù)涞葍r(jià)。一般地說(shuō)，對(duì)于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓?fù)渥兓?，就存在拓?fù)涞葍r(jià)。應(yīng)該指出，環(huán)面不具有這個(gè)性質(zhì)。比如像左圖那樣，把環(huán)面切開(kāi)，它不至于分成許多塊，只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形，對(duì)于這種情況，我們就說(shuō)球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面。直線上的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓?fù)渥儞Q下不變，這是拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì)。[推薦]數(shù)學(xué)各個(gè)研究方向簡(jiǎn)介我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來(lái)涂滿兩個(gè)側(cè)面。拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多，這里不在介紹。拓?fù)鋵W(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。二十世紀(jì)以來(lái)，集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開(kāi)拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對(duì)應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問(wèn)題都可以應(yīng)用集合來(lái)論述。因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過(guò)拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。本世紀(jì)三十年代以后，數(shù)學(xué)家對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門(mén)數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何，是用微分工具來(lái)研究取線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況，而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門(mén)學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國(guó)數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來(lái)研究的，叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)。另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來(lái)研究的，叫做代數(shù)拓?fù)洹，F(xiàn)在，這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢(shì)。射影幾何是研究圖形的射影性質(zhì)，即它們經(jīng)過(guò)射影變換后，依然保持不變的圖形性質(zhì)的幾何學(xué)分支學(xué)科。一度也叫做投影幾何學(xué)，在經(jīng)典幾何學(xué)中，射影幾何處于一種特殊的地位，通過(guò)它可以把其他一些幾何學(xué)聯(lián)系起來(lái)。十七世紀(jì)，當(dāng)?shù)芽▋汉唾M(fèi)爾馬創(chuàng)立的解析幾何問(wèn)世的時(shí)候，還有一門(mén)幾何學(xué)同時(shí)出現(xiàn)在人們的面前。這門(mén)幾何學(xué)和畫(huà)圖有很密切的關(guān)系，它的某些概念早在古希臘時(shí)期就曾經(jīng)引起一些學(xué)者的注意，歐洲文藝復(fù)興時(shí)期透視學(xué)的興起，給這門(mén)幾何學(xué)的產(chǎn)生和成長(zhǎng)準(zhǔn)備了充分的條件。這門(mén)幾何學(xué)就是射影幾何學(xué)。基于繪圖學(xué)和建筑學(xué)的需要，古希臘幾何學(xué)家就開(kāi)始研究透視法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波羅尼奧斯就曾把二次曲線作為正圓錐面的截線來(lái)研究。在4世紀(jì)帕普斯的著作中，出現(xiàn)了帕普斯定理。在文藝復(fù)興時(shí)期，人們?cè)诶L畫(huà)和建筑藝術(shù)方面非常注意和大力研究如何在平面上表現(xiàn)實(shí)物的圖形。那時(shí)候，人們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)畫(huà)家要把一個(gè)事物畫(huà)在一塊畫(huà)布上就好比是用自己的眼睛當(dāng)作投影中心，把實(shí)物的影子影射到畫(huà)布上去，然后再描繪出來(lái)。在這個(gè)過(guò)程中，被描繪下來(lái)的像中的各個(gè)元素的相對(duì)大小和位置關(guān)系，有的變化了，有的卻保持不變。這樣就促使了數(shù)學(xué)家對(duì)圖形在中心投影下的性質(zhì)進(jìn)行研究，因而就逐漸產(chǎn)生了許多過(guò)去沒(méi)有的新的概念和理論，形成了射影幾何這門(mén)學(xué)科。射影幾何真正成為獨(dú)立的學(xué)科、成為幾何學(xué)的一個(gè)重要分支，主要是在十七世紀(jì)。在17世紀(jì)初期，開(kāi)普勒最早引進(jìn)了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)概念。稍后，為這門(mén)學(xué)科建立而做出了重要貢獻(xiàn)的是兩位法國(guó)數(shù)學(xué)家——笛沙格和帕斯卡。笛沙格是一個(gè)自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家，他年輕的時(shí)候當(dāng)過(guò)陸軍軍官，后來(lái)鉆研工程技術(shù)，成了一名工程師和建筑師，他很不贊成為理論而搞理論，決心用新的方法來(lái)證明圓錐曲線的定理。1639年，他出版了主要著作《試論圓錐曲線和平面的相交所得結(jié)果的初稿》，書(shū)中他引入了許多幾何學(xué)的新概念。他的朋友笛卡爾、帕斯卡、費(fèi)爾馬都很推崇他的著作，費(fèi)爾馬甚至認(rèn)為他是圓錐曲線理論的真正奠基人。迪沙格在他的著作中，把直線看作是具有無(wú)窮大半徑的圓，而曲線的切線被看作是割線的極限，這些概念都是射影幾何學(xué)的基礎(chǔ)。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線共點(diǎn)，那么對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線，反之也成立”，就是射影幾何的基本定理。帕斯卡也為射影幾何學(xué)的早期工作做出了重要的貢獻(xiàn)，1641年，他發(fā)現(xiàn)了一條定理：“內(nèi)接于二次曲線的六邊形的三雙對(duì)邊的交點(diǎn)共線。”這條定理叫做帕斯卡六邊形定理，也是射影幾何學(xué)中的一條重要定理。1658年，他寫(xiě)了《圓錐曲線論》一書(shū)，書(shū)中很多定理都是射影幾何方面的內(nèi)容。迪沙格和他是朋友，曾經(jīng)敦促他搞透視學(xué)方面的研究，并且建議他要把圓錐曲線的許多性質(zhì)簡(jiǎn)化成少數(shù)幾個(gè)基本命題作為目標(biāo)。帕斯卡接受了這些建議。后來(lái)他寫(xiě)了許多有關(guān)射影幾何方面的小冊(cè)子。不過(guò)迪沙格和帕斯卡的這些定理，只涉及關(guān)聯(lián)性質(zhì)而不涉及度量性質(zhì)(長(zhǎng)度、角度、面積)。但他們?cè)谧C明中卻用到了長(zhǎng)度概念，而不是用嚴(yán)格的射影方法，他們也沒(méi)有意識(shí)到，自己的研究方向會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生一個(gè)新的幾何體系射影幾何。他們所用的是綜合法，隨著解析幾何和微積分的創(chuàng)立，綜合法讓位于解析法，射影幾何的探討也中斷了。射影幾何的主要奠基人是19世紀(jì)的彭賽列。他是畫(huà)法幾何的創(chuàng)始人蒙日的學(xué)生。蒙日帶動(dòng)了他的許多學(xué)生用綜合法研究幾何。由于迪沙格和帕斯卡等的工作被長(zhǎng)期忽視了，前人的許多工作他們不了解，不得不重新再做。1822年，彭賽列發(fā)表了射影幾何的第一部系統(tǒng)著作。他是認(rèn)識(shí)到射影幾何是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支的第一個(gè)數(shù)學(xué)家。他通過(guò)幾何方法引進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn)虛圓點(diǎn)，研究了配極對(duì)應(yīng)并用它來(lái)確立對(duì)偶原理。稍后，施泰納研究了利用簡(jiǎn)單圖形產(chǎn)生較復(fù)雜圖形的方法，線素二次曲線概念也是他引進(jìn)的。為了擺脫坐標(biāo)系對(duì)度量概念的依賴，施陶特通過(guò)幾何作圖來(lái)建立直線上的點(diǎn)坐標(biāo)系，進(jìn)而使交比也不依賴于長(zhǎng)度概念。由于忽視了連續(xù)公理的必要性，他建立坐標(biāo)系的做法還不完善，但卻邁出了決定性的一步。另—方面，運(yùn)用解析法來(lái)研究射影幾何也有長(zhǎng)足進(jìn)展。首先是莫比烏斯創(chuàng)建一種齊次坐標(biāo)系，把變換分為全等，相似，仿射，直射等類(lèi)型，給出線束中四條線交比的度量公式等。接著，普呂克引進(jìn)丁另一種齊次坐標(biāo)系，得到了平面上無(wú)窮遠(yuǎn)線的方程，無(wú)窮遠(yuǎn)圓點(diǎn)的坐標(biāo)。他還引進(jìn)了線坐標(biāo)概念，于是從代數(shù)觀點(diǎn)就自然得到了對(duì)偶原理，并得到了關(guān)于一般線素曲線的一些概念。在19世紀(jì)前半葉的幾何研究中，綜合法和解析法的爭(zhēng)論異常激烈；有些數(shù)學(xué)家完全否定綜合法，認(rèn)為它沒(méi)有前途，而一些幾何學(xué)家，如沙勒，施圖迪和施泰納等，則堅(jiān)持用綜合法而排斥解析法。還有一些人，如彭賽列，雖然承認(rèn)綜合法有其局限性，在研究過(guò)程中也難免借助于代數(shù)，但在著作中總是用綜合法來(lái)論證。他們的努力使綜合射影幾何形成一個(gè)優(yōu)美的體系，而且用綜合法也確實(shí)形象鮮明，有些問(wèn)題論證直接而簡(jiǎn)潔。1882年帕施建成第一個(gè)嚴(yán)格的射影幾何演繹體系。射影幾何學(xué)的發(fā)展和其他數(shù)學(xué)分支的發(fā)展有密切的關(guān)系，特別是“群”的概念產(chǎn)生以后，也被引進(jìn)了射影幾何學(xué)，對(duì)這門(mén)幾何學(xué)的研究起了促進(jìn)作用。把各種幾何和變換群相聯(lián)系的是克萊因，他在埃爾朗根綱領(lǐng)中提出了這個(gè)觀點(diǎn)，并把幾種經(jīng)典幾何看作射影幾何的子幾何，使這些幾何之間的關(guān)系變得十分明朗。這個(gè)綱領(lǐng)產(chǎn)生了巨大影響。但有些幾何，如黎曼幾何，不能納入這個(gè)分類(lèi)法。后來(lái)嘉當(dāng)?shù)仍谕貜V幾何分類(lèi)的方法中作出了新的貢獻(xiàn)。 概括的說(shuō)，射影幾何學(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)重要分支學(xué)科，它是專(zhuān)門(mén)研究圖形的位置關(guān)系的，也是專(zhuān)門(mén)用來(lái)討論在把點(diǎn)投影到直線或者平面上的時(shí)候，圖形的不變性質(zhì)的科學(xué)。在射影幾何學(xué)中，把無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)看作是“理想點(diǎn)”。通常的直線再加上一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)就是無(wú)窮遠(yuǎn)直線，如果一個(gè)平面內(nèi)兩條直線平行，那么這兩條直線就交于這兩條直線共有的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。通過(guò)同一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有直線平行。在引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)直線后，原來(lái)普通點(diǎn)和普通直線的結(jié)合關(guān)系依然成立，而過(guò)去只有兩條直線不平行的時(shí)候才能求交點(diǎn)的限制就消失了。由于經(jīng)過(guò)同一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線都平行，因此中心射影和平行射影兩者就可以統(tǒng)一了。平行射影可以看作是經(jīng)過(guò)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心投影了。這樣凡是利用中心投影或者平行投影把一個(gè)圖形映成另一個(gè)圖形的映射，就都可以叫做射影變換了。射影變換有兩個(gè)重要的性質(zhì)：首先，射影變換使點(diǎn)列變點(diǎn)列，直線變直線，線束變線束，點(diǎn)和直線的結(jié)合性是射影變換的不變性；其次，射影變換下，交比不變。交比是射影幾何中重要的概念，用它可以說(shuō)明兩個(gè)平面點(diǎn)之間的射影對(duì)應(yīng)。在射影幾何里，把點(diǎn)和直線叫做對(duì)偶元素，把“過(guò)一點(diǎn)作一直線”和“在一直線上取一點(diǎn)”叫做對(duì)偶運(yùn)算。在兩個(gè)圖形中，它們?nèi)绻际怯牲c(diǎn)和直線組成，把其中一圖形里的各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算，結(jié)果就得到另一個(gè)圖形。這兩個(gè)圖形叫做對(duì)偶圖形。在一個(gè)命題中敘述的內(nèi)容只是關(guān)于點(diǎn)、直線和平面的位置，可把各元素改為它的對(duì)偶元素，各運(yùn)算改為它的對(duì)偶運(yùn)算的時(shí)候，結(jié)果就得到另一個(gè)命題。這兩個(gè)命題叫做對(duì)偶命題。這就是射影幾何學(xué)所特有的對(duì)偶原則。在射影平面上，如果一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，這叫做平面對(duì)偶原則。同樣，在射影空間里，如果一個(gè)命題成立，那么它的對(duì)偶命題也成立，叫做空間對(duì)偶原則。研究在射影變換下二次曲線的不變性質(zhì)，也是射影幾何學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。如果就幾何學(xué)內(nèi)容的多少來(lái)說(shuō)，射影幾何學(xué)< 仿射幾何學(xué)< 歐氏幾何學(xué)，這就是說(shuō)歐氏幾何學(xué)的內(nèi)容最豐富，而射影幾何學(xué)的內(nèi)容最貧乏。比如在歐氏幾何學(xué)里可以討論仿射幾何學(xué)的對(duì)象(如簡(jiǎn)比、平行性等)和射影幾何學(xué)的對(duì)象(如四點(diǎn)的交比等)，反過(guò)來(lái)，在射影幾何學(xué)里不能討論圖形的仿射性質(zhì)，而在仿射幾何學(xué)里也不能討論圖形的度量性質(zhì)。1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因在愛(ài)爾朗根大學(xué)提出著名的《愛(ài)爾朗根計(jì)劃書(shū)》中提出用變換群對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行分類(lèi)，就是凡是一種變換，它的全體能組成“群”，就有相應(yīng)的幾何學(xué)，而在每一種幾何學(xué)里，主要研究在相應(yīng)的變換下的不變量和不變性。方程對(duì)于學(xué)過(guò)中學(xué)數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)是比較熟悉的；在初等數(shù)學(xué)中就有各種各樣的方程，比如線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、三角方程和方程組等等。這些方程都是要把研究的問(wèn)題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，列出包含一個(gè)未知數(shù)或幾個(gè)未知數(shù)的一個(gè)或者多個(gè)方程式，然后取求方程的解。
但是在實(shí)際工作中，常常出現(xiàn)一些特點(diǎn)和以上方程完全不同的問(wèn)題。比如：物質(zhì)在一定條件下的運(yùn)動(dòng)變化，要尋求它的運(yùn)動(dòng)、變化的規(guī)律；某個(gè)物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時(shí)間變化的規(guī)律；火箭在發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道，等等。物質(zhì)運(yùn)動(dòng)和它的變化規(guī)律在數(shù)學(xué)上是用函數(shù)關(guān)系來(lái)描述的，因此，這類(lèi)問(wèn)題就是要去尋求滿足某些條件的一個(gè)或者幾個(gè)未知函數(shù)。也就是說(shuō)，凡是這類(lèi)問(wèn)題都不是簡(jiǎn)單地去求一個(gè)或者幾個(gè)固定不變的數(shù)值，而是要求一個(gè)或者幾個(gè)未知的函數(shù)。 解這類(lèi)問(wèn)題的基本思想和初等數(shù)學(xué)解方程的基本思想很相似，也是要把研究的問(wèn)題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關(guān)系找出來(lái)，從列出的包含未知函數(shù)的一個(gè)或幾個(gè)方程中去求得未知函數(shù)的表達(dá)式。但是無(wú)論在方程的形式、求解的具體方法、求出解的性質(zhì)等方面，都和初等數(shù)學(xué)中的解方程有許多不同的地方。 在數(shù)學(xué)上，解這類(lèi)方程，要用到微分和導(dǎo)數(shù)的知識(shí)。因此，凡是表示未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及自變量之間的關(guān)系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微積分同時(shí)先后產(chǎn)生的，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過(guò)微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來(lái)求解。后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家雅各布·貝努利、歐拉、法國(guó)數(shù)學(xué)家克雷洛、達(dá)朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論。 常微分方程的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、李群、組合拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。牛頓研究天體力學(xué)和機(jī)械力學(xué)的時(shí)候，利用了微分方程這個(gè)工具，從理論上得到了行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律。后來(lái)，法國(guó)天文學(xué)家勒維烈和英國(guó)天文學(xué)家亞當(dāng)斯使用微分方程各自計(jì)算出那時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的海王星的位置。這些都使數(shù)學(xué)家更加深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理論逐步完善的時(shí)候，利用它就可以精確地表述事物變化所遵循的基本規(guī)律，只要列出相應(yīng)的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的數(shù)學(xué)分支。 如果在一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程就叫做常微分方程，也可以簡(jiǎn)單地叫做微分方程。 一般地說(shuō)，n 階微分方程的解含有 n個(gè)任意常數(shù)。也就是說(shuō)，微分方程的解中含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)和方程的解數(shù)相同，這種解叫做微分方程的通解。通解構(gòu)成一個(gè)函數(shù)族。 如果根據(jù)實(shí)際問(wèn)題要求出其中滿足某種指定條件的解來(lái)，那么求這種解的問(wèn)題叫做定解問(wèn)題，對(duì)于一個(gè)常微分方程的滿足定解條件的解叫做特解。對(duì)于高階微分方程可以引入新的未知函數(shù)，把它化為多個(gè)一階微分方程組。 常微分方程的概念、解法、和其它理論很多，比如，方程和方程組的種類(lèi)及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理論等等。下面就方程解的有關(guān)幾點(diǎn)簡(jiǎn)述一下，以了解常微分方程的特點(diǎn)。 求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問(wèn)題所需要的特解。也可以由通解的表達(dá)式，了解對(duì)某些參數(shù)的依賴情況，便于參數(shù)取值適宜，使它對(duì)應(yīng)的解具有所需要的性能，還有助于進(jìn)行關(guān)于解的其他研究。 后來(lái)的發(fā)展表明，能夠求出通解的情況不多，在實(shí)際應(yīng)用中所需要的多是求滿足某種指定條件的特解。當(dāng)然，通解是有助于研究解的屬性的，但是人們已把研究重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到定解問(wèn)題上來(lái)。一個(gè)常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有幾個(gè)呢？這是微分方程論中一個(gè)基本的問(wèn)題，數(shù)學(xué)家把它歸納成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因?yàn)槿绻麤](méi)有解，而我們要去求解，那是沒(méi)有意義的；如果有解而又不是唯一的，那又不好確定。因此，存在和唯一性定理對(duì)于微分方程的求解是十分重要的。 大部分的常微分方程求不出十分精確的解，而只能得到近似解。當(dāng)然，這個(gè)近似解的精確程度是比較高的。另外還應(yīng)該指出，用來(lái)描述物理過(guò)程的微分方程，以及由試驗(yàn)測(cè)定的初始條件也是近似的，這種近似之間的影響和變化還必須在理論上加以解決。 現(xiàn)在，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)，應(yīng)用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它的現(xiàn)有理論也還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足需要，還有待于進(jìn)一步的發(fā)展，使這門(mén)學(xué)科的理論更加完善。 非歐幾何學(xué)是一門(mén)大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學(xué)不同的幾何學(xué)，狹義的非歐幾何只是指羅式幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅式幾何和黎曼幾何這兩種幾何。歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設(shè)，長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)和前四個(gè)公設(shè)比較起來(lái)，顯得文字?jǐn)⑹鋈唛L(zhǎng)，而且也不那么顯而易見(jiàn)。有些數(shù)學(xué)家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書(shū)中直到第二十九個(gè)命題中才用到，而且以后再也沒(méi)有使用。也就是說(shuō)，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設(shè)而推出前二十八個(gè)命題。因此，一些數(shù)學(xué)家提出，第五公設(shè)能不能不作為公設(shè)，而作為定理？能不能依靠前四個(gè)公設(shè)來(lái)證明第五公設(shè)？這就是幾何發(fā)展史上最著名的，爭(zhēng)論了長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論。由于證明第五公設(shè)的問(wèn)題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對(duì)不對(duì)？第五公設(shè)到底能不能證明？[推薦]數(shù)學(xué)各個(gè)研究方向簡(jiǎn)介到了十九世紀(jì)二十年代，俄國(guó)喀山大學(xué)教授羅巴切夫斯基在證明第五公設(shè)的過(guò)程中，他走了另一條路子。他提出了一個(gè)和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來(lái)代替第五公設(shè)，然后與歐式幾何的前四個(gè)公設(shè)結(jié)合成一個(gè)公理系統(tǒng)，展開(kāi)一系列的推理。他認(rèn)為如果這個(gè)系統(tǒng)為基礎(chǔ)的推理中出現(xiàn)矛盾，就等于證明了第五公設(shè)。我們知道，這其實(shí)就是數(shù)學(xué)中的反證法。但是，在他極為細(xì)致深入的推理過(guò)程中，得出了一個(gè)又一個(gè)在直覺(jué)上匪夷所思，但在邏輯上毫無(wú)矛盾的命題。最后，羅巴切夫斯基得出兩個(gè)重要的結(jié)論：第二，在新的公理體系中展開(kāi)的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無(wú)矛盾的新的定理，并形成了新的理論。這個(gè)理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴(yán)密的幾何學(xué)。這種幾何學(xué)被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡(jiǎn)稱羅氏幾何。這是第一個(gè)被提出的非歐幾何學(xué)。從羅巴切夫斯基創(chuàng)立的非歐幾何學(xué)中，可以得出一個(gè)極為重要的、具有普遍意義的結(jié)論：邏輯上互不矛盾的一組假設(shè)都有可能提供一種幾何學(xué)。幾乎在羅巴切夫斯基創(chuàng)立非歐幾何學(xué)的同時(shí)，匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶·雅諾什也發(fā)現(xiàn)了第五公設(shè)不可證明和非歐幾何學(xué)的存在。鮑耶在研究非歐幾何學(xué)的過(guò)程中也遭到了家庭、社會(huì)的冷漠對(duì)待。他的父親——數(shù)學(xué)家鮑耶·法爾卡什認(rèn)為研究第五公設(shè)是耗費(fèi)精力勞而無(wú)功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅(jiān)持為發(fā)展新的幾何學(xué)而辛勤工作。終于在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發(fā)表了研究結(jié)果。那個(gè)時(shí)代被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”的高斯也發(fā)現(xiàn)第五公設(shè)不能證明，并且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會(huì)遭到當(dāng)時(shí)教會(huì)力量的打擊和迫害，不敢公開(kāi)發(fā)表自己的研究成果，只是在書(shū)信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來(lái)公開(kāi)支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。羅式幾何學(xué)的公理系統(tǒng)和歐式幾何學(xué)不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來(lái)代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，經(jīng)過(guò)演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內(nèi)容不同的新的幾何命題。我們知道，羅式幾何除了一個(gè)平行公理之外采用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅式幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅式幾何中都不成立，他們都相應(yīng)地含有新的意義。下面舉幾個(gè)例子加以說(shuō)明：- 垂直于同一直線的兩條直線或向平行?！?/span>
- 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。
- 垂直于同一直線的兩條直線，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候，離散到無(wú)窮。
- 過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。
從上面所列舉得羅式幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅式幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐式幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來(lái)解釋羅式幾何是正確的。1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實(shí)現(xiàn)。這就是說(shuō)，非歐幾何命題可以“翻譯”成相應(yīng)的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒(méi)有矛盾，非歐幾何也就自然沒(méi)有矛盾。人們既然承認(rèn)歐幾里是沒(méi)有矛盾的，所以也就自然承認(rèn)非歐幾何沒(méi)有矛盾了。直到這時(shí)，長(zhǎng)期無(wú)人問(wèn)津的非歐幾何才開(kāi)始獲得學(xué)術(shù)界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨(dú)創(chuàng)性研究也就由此得到學(xué)術(shù)界的高度評(píng)價(jià)和一致贊美，他本人則被人們贊譽(yù)為“幾何學(xué)中的哥白尼”。歐氏幾何與羅氏幾何中關(guān)于結(jié)合公理、順序公理、連續(xù)公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行”。羅氏幾何講“過(guò)直線外一點(diǎn)至少存在兩條直線和已知直線平行”。那么是否存在這樣的幾何“過(guò)直線外一點(diǎn)，不能做直線和已知直線平行”？黎曼幾何就回答了這個(gè)問(wèn)題。黎曼幾何是德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼創(chuàng)立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學(xué)作為基礎(chǔ)的假設(shè)》中明確的提出另一種幾何學(xué)的存在，開(kāi)創(chuàng)了幾何學(xué)的一片新的廣闊領(lǐng)域。黎曼幾何中的一條基本規(guī)定是：在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。在黎曼幾何學(xué)中不承認(rèn)平行線的存在，它的另一條公設(shè)講：直線可以無(wú)限演唱，但總的長(zhǎng)度是有限的。黎曼幾何的模型是一個(gè)經(jīng)過(guò)適當(dāng)“改進(jìn)”的球面。近代黎曼幾何在廣義相對(duì)論里得到了重要的應(yīng)用。在物理學(xué)家愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對(duì)論里，愛(ài)因斯坦放棄了關(guān)于時(shí)空均勻性的觀念，他認(rèn)為時(shí)空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個(gè)時(shí)空卻是不均勻的。在物理學(xué)中的這種解釋?zhuān)∏∈呛屠杪鼛缀蔚挠^念是相似的。此外，黎曼幾何在數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎(chǔ)，也應(yīng)用在微分方程、變分法和復(fù)變函數(shù)論等方面。歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區(qū)別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。在我們這個(gè)不大不小、不遠(yuǎn)不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。現(xiàn)代的科學(xué)技術(shù)發(fā)展十分迅速，他們有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是都有大量的數(shù)據(jù)問(wèn)題。
比如，發(fā)射一顆探測(cè)宇宙奧秘的衛(wèi)星，從衛(wèi)星世紀(jì)開(kāi)始到發(fā)射、回收為止，科學(xué)家和工程技術(shù)人員、工人就要對(duì)衛(wèi)星的總體、部件進(jìn)行全面的設(shè)計(jì)和生產(chǎn)，要對(duì)選用的火箭進(jìn)行設(shè)計(jì)和生產(chǎn)，這里面就有許許多多的數(shù)據(jù)要進(jìn)行準(zhǔn)確的計(jì)算。發(fā)射和回收的時(shí)候，又有關(guān)于發(fā)射角度、軌道、遙控、回收下落角度等等需要進(jìn)行精確的計(jì)算。有如，在高能加速器里進(jìn)行高能物理試驗(yàn)，研究具有很高能量的基本粒子的性質(zhì)、它們之間的相互作用和轉(zhuǎn)化規(guī)律，這里面也有大量的數(shù)據(jù)計(jì)算問(wèn)題。計(jì)算問(wèn)題可以數(shù)是現(xiàn)代社會(huì)各個(gè)領(lǐng)域普遍存在的共同問(wèn)題，工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運(yùn)輸、醫(yī)療衛(wèi)生、文化教育等等，那一行那一業(yè)都有許多數(shù)據(jù)需要計(jì)算，通過(guò)數(shù)據(jù)分析，以便掌握事物發(fā)展的規(guī)律。研究計(jì)算問(wèn)題的解決方法和有關(guān)數(shù)學(xué)理論問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科就叫做計(jì)算數(shù)學(xué)。計(jì)算數(shù)學(xué)屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)的范疇，它主要研究有關(guān)的數(shù)學(xué)和邏輯問(wèn)題怎樣由計(jì)算機(jī)加以有效解決。 計(jì)算數(shù)學(xué)的內(nèi)容 計(jì)算數(shù)學(xué)也叫做數(shù)值計(jì)算方法或數(shù)值分析。主要內(nèi)容包括代數(shù)方程、線性代數(shù)方程組、微分方程的數(shù)值解法，函數(shù)的數(shù)值逼近問(wèn)題，矩陣特征值的求法，最優(yōu)化計(jì)算問(wèn)題，概率統(tǒng)計(jì)計(jì)算問(wèn)題等等，還包括解的存在性、唯一性、收斂性和誤差分析等理論問(wèn)題。我們知道五次及五次以上的代數(shù)方程不存在求根公式，因此，要求出五次以上的高次代數(shù)方程的解，一般只能求它的近似解，求近似解的方法就是數(shù)值分析的方法。對(duì)于一般的超越方程，如對(duì)數(shù)方程、三角方程等等也只能采用數(shù)值分析的辦法。怎樣找出比較簡(jiǎn)潔、誤差比較小、花費(fèi)時(shí)間比較少的計(jì)算方法是數(shù)值分析的主要課題。在求解方程的辦法中，常用的辦法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。迭代法的計(jì)算是比較簡(jiǎn)單的，是比較容易進(jìn)行的。迭代法還可以用來(lái)求解線性方程組的解。求方程組的近似解也要選擇適當(dāng)?shù)牡?，使得收斂速度快，近似誤差小。在線性代數(shù)方程組的解法中，常用的有塞德?tīng)柕ā⒐曹椥绷糠?、超松弛迭代法等等。此外，一些比較古老的普通消去法，如高斯法、追趕法等等，在利用計(jì)算機(jī)的條件下也可以得到廣泛的應(yīng)用。在計(jì)算方法中，數(shù)值逼近也是常用的基本方法。數(shù)值逼近也叫近似代替，就是用簡(jiǎn)單的函數(shù)去代替比較復(fù)雜的函數(shù)，或者代替不能用解析表達(dá)式表示的函數(shù)。數(shù)值逼近的基本方法是插值法。初等數(shù)學(xué)里的三角函數(shù)表，對(duì)數(shù)表中的修正值，就是根據(jù)插值法制成的。 在遇到求微分和積分的時(shí)候，如何利用簡(jiǎn)單的函數(shù)去近似代替所給的函數(shù)，以便容易求到和求積分，也是計(jì)算方法的一個(gè)主要內(nèi)容。微分方程的數(shù)值解法也是近似解法。常微分方程的數(shù)值解法由歐拉法、預(yù)測(cè)校正法等。偏微分方程的初值問(wèn)題或邊值問(wèn)題，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。有限差分法的基本思想是用離散的、只含有限個(gè)未知數(shù)的差分方程去代替連續(xù)變量的微分方程和定解條件。求出差分方程的解法作為求偏微分方程的近似解。 有限元素法是近代才發(fā)展起來(lái)的，它是以變分原理和剖分差值作為基礎(chǔ)的方法。在解決橢圓形方程邊值問(wèn)題上得到了廣泛的應(yīng)用。穆恰，有許多人正在研究用有限元素法來(lái)解雙曲形和拋物形的方程。 計(jì)算數(shù)學(xué)的內(nèi)容十分豐富，它在科學(xué)技術(shù)中正發(fā)揮著越來(lái)越大的作用。客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結(jié)構(gòu)，在理想情況下，甚至具有無(wú)窮層次。適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)并不改變。不少?gòu)?fù)雜的物理現(xiàn)象，背后就是反映著這類(lèi)層次結(jié)構(gòu)的分形幾何學(xué)。 客觀事物有它自己的特征長(zhǎng)度，要用恰當(dāng)?shù)某叨热y(cè)量。用尺來(lái)測(cè)量萬(wàn)里長(zhǎng)城，嫌太短；用尺來(lái)測(cè)量大腸桿菌，又嫌太長(zhǎng)。從而產(chǎn)生了特征長(zhǎng)度。還有的事物沒(méi)有特征尺度，就必須同時(shí)考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標(biāo)度），這叫做“無(wú)標(biāo)度性”的問(wèn)題。 如物理學(xué)中的湍流，湍流是自然界中普遍現(xiàn)象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運(yùn)動(dòng)。流體宏觀運(yùn)動(dòng)的能量，經(jīng)過(guò)大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉(zhuǎn)化成分子尺度上的熱運(yùn)動(dòng)，同時(shí)涉及大量不同尺度上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，就要借助“無(wú)標(biāo)度性”解決問(wèn)題，湍流中高漩渦區(qū)域，就需要用分形幾何學(xué)。 在二十世紀(jì)七十年代，法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌_特在他的著作中探討了英國(guó)的海岸線有多長(zhǎng)？這個(gè)問(wèn)題這依賴于測(cè)量時(shí)所使用的尺度。 如果用公里作測(cè)量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會(huì)被忽略；改用米來(lái)做單位，測(cè)得的總長(zhǎng)度會(huì)增加，但是一些厘米量級(jí)以下的就不能反映出來(lái)。由于漲潮落潮使海岸線的水陸分界線具有各種層次的不規(guī)則性。海岸線在大小兩個(gè)方向都有自然的限制，取不列顛島外緣上幾個(gè)突出的點(diǎn)，用直線把它們連起來(lái)，得到海岸線長(zhǎng)度的一種下界。使用比這更長(zhǎng)的尺度是沒(méi)有意義的。還有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是沒(méi)有意義的。在這兩個(gè)自然限度之間，存在著可以變化許多個(gè)數(shù)量級(jí)的“無(wú)標(biāo)度”區(qū)，長(zhǎng)度不是海岸線的定量特征，就要用分維。 數(shù)學(xué)家寇赫從一個(gè)正方形的“島”出發(fā)，始終保持面積不變，把它的“海岸線”變成無(wú)限曲線，其長(zhǎng)度也不斷增加，并趨向于無(wú)窮大。以后可以看到，分維才是“寇赫島”海岸線的確切特征量，即海岸線的分維均介于1到2之間。 這些自然現(xiàn)象，特別是物理現(xiàn)象和分形有著密切的關(guān)系，銀河系中的若斷若續(xù)的星體分布，就具有分維的吸引子。多孔介質(zhì)中的流體運(yùn)動(dòng)和它產(chǎn)生的滲流模型，都是分形的研究對(duì)象。這些促使數(shù)學(xué)家進(jìn)一步的研究，從而產(chǎn)生了分形幾何學(xué)。 電子計(jì)算機(jī)圖形顯示協(xié)助了人們推開(kāi)分形幾何的大門(mén)。這座具有無(wú)窮層次結(jié)構(gòu)的宏偉建筑，每一個(gè)角落里都存在無(wú)限嵌套的迷宮和回廊，促使數(shù)學(xué)家和科學(xué)家深入研究。法國(guó)數(shù)學(xué)家曼德?tīng)柌_特這位計(jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)兼通的人物，對(duì)分形幾何產(chǎn)生了重大的推動(dòng)作用。他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本書(shū)，特別是《分形——形、機(jī)遇和維數(shù)》以及《自然界中的分形幾何學(xué)》，開(kāi)創(chuàng)了新的數(shù)學(xué)分支——分形幾何學(xué)。 分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，成為自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變。 維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量，它是幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。在歐氏空間中，人們習(xí)慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以稍加推廣，認(rèn)為點(diǎn)是零維的，還可以引入高維空間，對(duì)于更抽象或更復(fù)雜的對(duì)象，只要每個(gè)局部可以和歐氏空間對(duì)應(yīng)，也容易確定維數(shù)。但通常人們習(xí)慣于整數(shù)的維數(shù)。 分形理論認(rèn)為維數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)，這類(lèi)維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時(shí)需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測(cè)度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴(kuò)大到分?jǐn)?shù)，從而突破了一般拓?fù)浼S數(shù)為整數(shù)的界限。 維數(shù)和測(cè)量有著密切的關(guān)系，下面我們舉例說(shuō)明一下分維的概念。當(dāng)我們畫(huà)一根直線，如果我們用 0維的點(diǎn)來(lái)量它，其結(jié)果為無(wú)窮大，因?yàn)橹本€中包含無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)；如果我們用一塊平面來(lái)量它，其結(jié)果是 0，因?yàn)橹本€中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來(lái)量它才會(huì)得到有限值哪？看來(lái)只有用與其同維數(shù)的小線段來(lái)量它才會(huì)得到有限值，而這里直線的維數(shù)為 1(大于0、小于2)。 對(duì)于我們上面提到的“寇赫島”曲線，其整體是一條無(wú)限長(zhǎng)的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無(wú)窮大，而用平面量，其結(jié)果是 0(此曲線中不包含平面)，那么只有找一個(gè)與“寇赫島”曲線維數(shù)相同的尺子量它才會(huì)得到有限值，而這個(gè)維數(shù)顯然大于 1、小于 2，那么只能是小數(shù)了，所以存在分維。經(jīng)過(guò)計(jì)算“寇赫島”曲線的維數(shù)是1.2618……。 分形幾何學(xué)已在自然界與物理學(xué)中得到了應(yīng)用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一?；ǚ?，會(huì)看見(jiàn)它不間斷地作無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)(布朗運(yùn)動(dòng))，這是花粉在大量液體分子的無(wú)規(guī)則碰撞(每秒鐘多達(dá)十億億次)下表現(xiàn)的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的分辨率，就可以發(fā)現(xiàn)原以為是直線段的部分，其實(shí)由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續(xù)，但又處處無(wú)導(dǎo)數(shù)的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是 2，大大高于它的拓?fù)渚S數(shù) 1在某些電化學(xué)反應(yīng)中，電極附近成績(jī)的固態(tài)物質(zhì)，以不規(guī)則的樹(shù)枝形狀向外增長(zhǎng)。受到污染的一些流水中，粘在藻類(lèi)植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長(zhǎng)，成為帶有許多須須毛毛的枝條狀，就可以用分維。 自然界中更大的尺度上也存在分形對(duì)象。一枝粗干可以分出不規(guī)則的枝杈，每個(gè)枝杈繼續(xù)分為細(xì)杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學(xué)去測(cè)量。 有人研究了某些云彩邊界的幾何性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)存在從 1公里到1000公里的無(wú)標(biāo)度區(qū)。小于 1公里的云朵，更受地形概貌影響，大于1000公里時(shí)，地球曲率開(kāi)始起作用。大小兩端都受到一定特征尺度的限制，中間有三個(gè)數(shù)量級(jí)的無(wú)標(biāo)度區(qū)，這已經(jīng)足夠了。分形存在于這中間區(qū)域。 近幾年在流體力學(xué)不穩(wěn)定性、光學(xué)雙穩(wěn)定器件、化學(xué)震蕩反映等試驗(yàn)中，都實(shí)際測(cè)得了混沌吸引子，并從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中計(jì)算出它們的分維。學(xué)會(huì)從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)測(cè)算分維是最近的一大進(jìn)展。分形幾何學(xué)在物理學(xué)、生物學(xué)上的應(yīng)用也正在成為有充實(shí)內(nèi)容的研究領(lǐng)域。突變理論是20世紀(jì)70年代發(fā)展起來(lái)的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支。許多年來(lái)，自然界許多事物的連續(xù)的、漸變的、平滑的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，都可以用微積分的方法給以圓滿解決。例如，地球繞著太陽(yáng)旋轉(zhuǎn)，有規(guī)律地周而復(fù)始地連續(xù)不斷進(jìn)行，使人能及其精確地預(yù)測(cè)未來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這就需要運(yùn)用經(jīng)典的微積分來(lái)描述。但是，自然界和社會(huì)現(xiàn)象中，還有許多突變和飛躍的過(guò)程，飛越造成的不連續(xù)性把系統(tǒng)的行為空間變成不可微的，微積分就無(wú)法解決。例如，水突然沸騰，冰突然融化，火山爆發(fā)，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。這種由漸變、量變發(fā)展為突變、質(zhì)變的過(guò)程，就是突變現(xiàn)象，微積分是不能描述的。以前科學(xué)家在研究這類(lèi)突變現(xiàn)象時(shí)遇到了各式各樣的困難，其中主要困難就是缺乏恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)提供描述它們的數(shù)學(xué)模型。那么，有沒(méi)有可能建立一種關(guān)于突變現(xiàn)象的一般性數(shù)學(xué)理論來(lái)描述各種飛躍和不連續(xù)過(guò)程呢？這迫使數(shù)學(xué)家進(jìn)一步研究描述突變理論的飛躍過(guò)程，研究不連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)理論。1972年法國(guó)數(shù)學(xué)家雷內(nèi)·托姆在《結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性和形態(tài)發(fā)生學(xué)》一書(shū)中，明確地闡明了突變理論，宣告了突變理論的誕生。 突變理論主要以拓?fù)鋵W(xué)為工具，以結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論為基礎(chǔ)，提出了一條新的判別突變、飛躍的原則：在嚴(yán)格控制條件下，如果質(zhì)變中經(jīng)歷的中間過(guò)渡態(tài)是穩(wěn)定的，那么它就是一個(gè)漸變過(guò)程。 比如拆一堵墻，如果從上面開(kāi)始一塊塊地把磚頭拆下來(lái)，整個(gè)過(guò)程就是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的漸變過(guò)程。如果從底腳開(kāi)始拆墻，拆到一定程度，就會(huì)破壞墻的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，墻就會(huì)嘩啦一聲，倒塌下來(lái)。這種結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定性就是突變、飛躍過(guò)程。又如社會(huì)變革，從封建社會(huì)過(guò)渡到資本主義社會(huì)，法國(guó)大革命采用暴力來(lái)實(shí)現(xiàn)，而日本的明治維新就是采用一系列改革，以漸變方式來(lái)實(shí)現(xiàn)。 對(duì)于這種結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定與不穩(wěn)定現(xiàn)象，突變理論用勢(shì)函數(shù)的洼存在表示穩(wěn)定，用洼取消表示不穩(wěn)定，并有自己的一套運(yùn)算方法。例如，一個(gè)小球在洼底部時(shí)是穩(wěn)定的，如果把它放在突起頂端時(shí)是不穩(wěn)定的，小球就會(huì)從頂端處，不穩(wěn)定滾下去，往新洼地過(guò)渡，事物就發(fā)生突變；當(dāng)小球在新洼地底處，又開(kāi)始新的穩(wěn)定，所以勢(shì)函數(shù)的洼存在與消失是判斷事物的穩(wěn)定性與不穩(wěn)定性、漸變與突變過(guò)程的根據(jù)。 托姆的突變理論，就是用數(shù)學(xué)工具描述系統(tǒng)狀態(tài)的飛躍，給出系統(tǒng)處于穩(wěn)定態(tài)的參數(shù)區(qū)域，參數(shù)變化時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)也隨著變化，當(dāng)參數(shù)通過(guò)某些特定位置時(shí)，狀態(tài)就會(huì)發(fā)生突變。 突變理論提出一系列數(shù)學(xué)模型，用以解是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中所發(fā)生的不連續(xù)的變化過(guò)程，描述各種現(xiàn)象為何從形態(tài)的一種形式突然地飛躍到根本不同的另一種形式。如巖石的破裂，橋梁的斷裂，細(xì)胞的分裂，胚胎的變異，市場(chǎng)的破壞以及社會(huì)結(jié)構(gòu)的激變……。 按照突變理論，自然界和社會(huì)現(xiàn)象中的大量的不連續(xù)事件，可以由某些特定的幾何形狀來(lái)表示。托姆指出，發(fā)生在三維空間和一維空間的四個(gè)因子控制下的突變，有七種突變類(lèi)型：折迭突變、尖頂突變、燕尾突變、蝴蝶突變、雙曲臍突變、橢圓臍形突變以及拋物臍形突變。例如，用大拇指和中指夾持一段有彈性的鋼絲，使其向上彎曲，然后再用力壓鋼絲使其變形，當(dāng)達(dá)到一定程度時(shí)，鋼絲會(huì)突然向下彎曲，并失去彈性。這就是生活中常見(jiàn)的一種突變現(xiàn)象，它有兩個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)：上彎和下彎，狀態(tài)由兩個(gè)參數(shù)決定，一個(gè)是手指夾持的力(水平方向)，一個(gè)是鋼絲的壓力(垂直方向)，可用尖頂突變來(lái)描述。 尖頂突變和蝴蝶突變是幾種質(zhì)態(tài)之間能夠進(jìn)行可逆轉(zhuǎn)的模型。自然界還有些過(guò)程是不可逆的，比如死亡是一種突變，活人可以變成死人，反過(guò)來(lái)卻不行。這一類(lèi)過(guò)程可以用折迭突變、燕尾突變等時(shí)函數(shù)最高奇次的模型來(lái)描述。所以，突變理論是用形象而精確的得數(shù)學(xué)模型來(lái)描述質(zhì)量互變過(guò)程。 英國(guó)數(shù)學(xué)家奇曼教授稱突變理論是“數(shù)學(xué)界的一項(xiàng)智力革命——微積分后最重要的發(fā)現(xiàn)”。他還組成一個(gè)研究團(tuán)體，悉心研究，擴(kuò)展應(yīng)用。短短幾年，論文已有四百多篇，可成為盛極一時(shí)，托姆為此成就而榮獲當(dāng)前國(guó)際數(shù)學(xué)界的最高獎(jiǎng)——菲爾茲獎(jiǎng)。 突變理論在在自然科學(xué)的應(yīng)用是相當(dāng)廣泛的。在物理學(xué)研究了相變、分叉、混沌與突變的關(guān)系，提出了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)、非線性力學(xué)系統(tǒng)的突變模型，解釋了物理過(guò)程的可重復(fù)性是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的表現(xiàn)。在化學(xué)中，用蝴蝶突變描述氫氧化物的水溶液，用尖頂突變描述水的液、氣、固的變化等。在生態(tài)學(xué)中研究了物群的消長(zhǎng)與生滅過(guò)程，提出了根治蝗蟲(chóng)的模型與方法。在工程技術(shù)中，研究了彈性結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，通過(guò)橋梁過(guò)載導(dǎo)致毀壞的實(shí)際過(guò)程，提出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)……。 突變理論在社會(huì)現(xiàn)象的一個(gè)用歸納為某種量的突變問(wèn)題，人們施加控制因素影響社會(huì)狀態(tài)是有一定條件的，只有在控制因素達(dá)到臨界點(diǎn)之前，狀態(tài)才是可以控制的。一旦發(fā)生根本性的質(zhì)變，它就表現(xiàn)為控制因素所無(wú)法控制的突變過(guò)程。還可以用突變理論對(duì)社會(huì)進(jìn)行高層次的有效控制，為此就需要研究事物狀態(tài)與控制因素之間的相互關(guān)系，以及穩(wěn)定區(qū)域、非穩(wěn)定區(qū)域、臨界曲線的分布特點(diǎn)，還要研究突變的方向與幅度。二十世紀(jì)六十年代，產(chǎn)生了模糊數(shù)學(xué)這門(mén)新興學(xué)科。現(xiàn)代數(shù)學(xué)是建立在集合論的基礎(chǔ)上。集合論的重要意義就一個(gè)側(cè)面看，在與它把數(shù)學(xué)的抽象能力延伸到人類(lèi)認(rèn)識(shí)過(guò)程的深處。一組對(duì)象確定一組屬性，人們可以通過(guò)說(shuō)明屬性來(lái)說(shuō)明概念（內(nèi)涵），也可以通過(guò)指明對(duì)象來(lái)說(shuō)明它。符合概念的那些對(duì)象的全體叫做這個(gè)概念的外延，外延其實(shí)就是集合。從這個(gè)意義上講，集合可以表現(xiàn)概念，而集合論中的關(guān)系和運(yùn)算又可以表現(xiàn)判斷和推理，一切現(xiàn)實(shí)的理論系統(tǒng)都一可能納入集合描述的數(shù)學(xué)框架。 但是，數(shù)學(xué)的發(fā)展也是階段性的。經(jīng)典集合論只能把自己的表現(xiàn)力限制在那些有明確外延的概念和事物上，它明確地限定：每個(gè)集合都必須由明確的元素構(gòu)成，元素對(duì)集合的隸屬關(guān)系必須是明確的，決不能模棱兩可。對(duì)于那些外延不分明的概念和事物，經(jīng)典集合論是暫時(shí)不去反映的，屬于待發(fā)展的范疇。 在較長(zhǎng)時(shí)間里，精確數(shù)學(xué)及隨機(jī)數(shù)學(xué)在描述自然界多種事物的運(yùn)動(dòng)規(guī)律中，獲得顯著效果。但是，在客觀世界中還普遍存在著大量的模糊現(xiàn)象。以前人們回避它，但是，由于現(xiàn)代科技所面對(duì)的系統(tǒng)日益復(fù)雜，模糊性總是伴隨著復(fù)雜性出現(xiàn)。 各門(mén)學(xué)科，尤其是人文、社會(huì)學(xué)科及其它“軟科學(xué)”的數(shù)學(xué)化、定量化趨向把模糊性的數(shù)學(xué)處理問(wèn)題推向中心地位。更重要的是，隨著電子計(jì)算機(jī)、控制論、系統(tǒng)科學(xué)的迅速發(fā)展，要使計(jì)算機(jī)能像人腦那樣對(duì)復(fù)雜事物具有識(shí)別能力，就必須研究和處理模糊性。 我們研究人類(lèi)系統(tǒng)的行為，或者處理可與人類(lèi)系統(tǒng)行為相比擬的復(fù)雜系統(tǒng)，如航天系統(tǒng)、人腦系統(tǒng)、社會(huì)系統(tǒng)等，參數(shù)和變量甚多，各種因素相互交錯(cuò)，系統(tǒng)很復(fù)雜，它的模糊性也很明顯。從認(rèn)識(shí)方面說(shuō)，模糊性是指概念外延的不確定性，從而造成判斷的不確定性。 在日常生活中，經(jīng)常遇到許多模糊事物，沒(méi)有分明的數(shù)量界限，要使用一些模糊的詞句來(lái)形容、描述。比如，比較年輕、高個(gè)、大胖子、好、漂亮、善、熱、遠(yuǎn)……。在人們的工作經(jīng)驗(yàn)中，往往也有許多模糊的東西。例如，要確定一爐鋼水是否已經(jīng)煉好，除了要知道鋼水的溫度、成分比例和冶煉時(shí)間等精確信息外，還需要參考鋼水顏色、沸騰情況等模糊信息。因此，除了很早就有涉及誤差的計(jì)算數(shù)學(xué)之外，還需要模糊數(shù)學(xué)。 人與計(jì)算機(jī)相比，一般來(lái)說(shuō)，人腦具有處理模糊信息的能力，善于判斷和處理模糊現(xiàn)象。但計(jì)算機(jī)對(duì)模糊現(xiàn)象識(shí)別能力較差，為了提高計(jì)算機(jī)識(shí)別模糊現(xiàn)象的能力，就需要把人們常用的模糊語(yǔ)言設(shè)計(jì)成機(jī)器能接受的指令和程序，以便機(jī)器能像人腦那樣簡(jiǎn)潔靈活的做出相應(yīng)的判斷，從而提高自動(dòng)識(shí)別和控制模糊現(xiàn)象的效率。這樣，就需要尋找一種描述和加工模糊信息的數(shù)學(xué)工具，這就推動(dòng)數(shù)學(xué)家深入研究模糊數(shù)學(xué)。所以，模糊數(shù)學(xué)的產(chǎn)生是有其科學(xué)技術(shù)與數(shù)學(xué)發(fā)展的必然性。 模糊數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容1965年，美國(guó)控制論專(zhuān)家、數(shù)學(xué)家查德發(fā)表了論文《模糊集合》，標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科的誕生。模糊數(shù)學(xué)的研究?jī)?nèi)容主要有以下三個(gè)方面：第一，研究模糊數(shù)學(xué)的理論，以及它和精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)的關(guān)系。察德以精確數(shù)學(xué)集合論為基礎(chǔ)，并考慮到對(duì)數(shù)學(xué)的集合概念進(jìn)行修改和推廣。他提出用“模糊集合”作為表現(xiàn)模糊事物的數(shù)學(xué)模型。并在“模糊集合”上逐步建立運(yùn)算、變換規(guī)律，開(kāi)展有關(guān)的理論研究，就有可能構(gòu)造出研究現(xiàn)實(shí)世界中的大量模糊的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，能夠?qū)磥?lái)相當(dāng)復(fù)雜的模糊系統(tǒng)進(jìn)行定量的描述和處理的數(shù)學(xué)方法。在模糊集合中，給定范圍內(nèi)元素對(duì)它的隸屬關(guān)系不一定只有“是”或“否”兩種情況，而是用介于0和1之間的實(shí)數(shù)來(lái)表示隸屬程度，還存在中間過(guò)渡狀態(tài)。比如“老人”是個(gè)模糊概念，70歲的肯定屬于老人，它的從屬程度是 1，40歲的人肯定不算老人，它的從屬程度為 0，按照查德給出的公式，55歲屬于“老”的程度為0.5，即“半老”，60歲屬于“老”的程度0.8。查德認(rèn)為，指明各個(gè)元素的隸屬集合，就等于指定了一個(gè)集合。當(dāng)隸屬于0和1之間值時(shí)，就是模糊集合。 第二，研究模糊語(yǔ)言學(xué)和模糊邏輯。人類(lèi)自然語(yǔ)言具有模糊性，人們經(jīng)常接受模糊語(yǔ)言與模糊信息，并能做出正確的識(shí)別和判斷。為了實(shí)現(xiàn)用自然語(yǔ)言跟計(jì)算機(jī)進(jìn)行直接對(duì)話，就必須把人類(lèi)的語(yǔ)言和思維過(guò)程提煉成數(shù)學(xué)模型，才能給計(jì)算機(jī)輸入指令，建立和是的模糊數(shù)學(xué)模型，這是運(yùn)用數(shù)學(xué)方法的關(guān)鍵。查德采用模糊集合理論來(lái)建立模糊語(yǔ)言的數(shù)學(xué)模型，使人類(lèi)語(yǔ)言數(shù)量化、形式化。如果我們把合乎語(yǔ)法的標(biāo)準(zhǔn)句子的從屬函數(shù)值定為1，那么，其他文法稍有錯(cuò)誤，但尚能表達(dá)相仿的思想的句子，就可以用以0到1之間的連續(xù)數(shù)來(lái)表征它從屬于“正確句子”的隸屬程度。這樣，就把模糊語(yǔ)言進(jìn)行定量描述，并定出一套運(yùn)算、變換規(guī)則。目前，模糊語(yǔ)言還很不成熟，語(yǔ)言學(xué)家正在深入研究。人們的思維活動(dòng)常常要求概念的確定性和精確性，采用形式邏輯的排中律，既非真既假，然后進(jìn)行判斷和推理，得出結(jié)論?，F(xiàn)有的計(jì)算機(jī)都是建立在二值邏輯基礎(chǔ)上的，它在處理客觀事物的確定性方面，發(fā)揮了巨大的作用，但是卻不具備處理事物和概念的不確定性或模糊性的能力。為了使計(jì)算機(jī)能夠模擬人腦高級(jí)智能的特點(diǎn)，就必須把計(jì)算機(jī)轉(zhuǎn)到多值邏輯基礎(chǔ)上，研究模糊邏輯。目前，模糊羅基還很不成熟，尚需繼續(xù)研究。 第三，研究模糊數(shù)學(xué)的應(yīng)用。模糊數(shù)學(xué)是以不確定性的事物為其研究對(duì)象的。模糊集合的出現(xiàn)是數(shù)學(xué)適應(yīng)描述復(fù)雜事物的需要，查德的功績(jī)?cè)谟谟媚：系睦碚撜业浇鉀Q模糊性對(duì)象加以確切化，從而使研究確定性對(duì)象的數(shù)學(xué)與不確定性對(duì)象的數(shù)學(xué)溝通起來(lái)，過(guò)去精確數(shù)學(xué)、隨機(jī)數(shù)學(xué)描述感到不足之處，就能得到彌補(bǔ)。在模糊數(shù)學(xué)中，目前已有模糊拓?fù)鋵W(xué)、模糊群論、模糊圖論、模糊概率、模糊語(yǔ)言學(xué)、模糊邏輯學(xué)等分支。 模糊數(shù)學(xué)是一門(mén)新興學(xué)科，它已初步應(yīng)用于模糊控制、模糊識(shí)別、模糊聚類(lèi)分析、模糊決策、模糊評(píng)判、系統(tǒng)理論、信息檢索、醫(yī)學(xué)、生物學(xué)等各個(gè)方面。在氣象、結(jié)構(gòu)力學(xué)、控制、心理學(xué)等方面已有具體的研究成果。然而模糊數(shù)學(xué)最重要的應(yīng)用領(lǐng)域是計(jì)算機(jī)職能，不少人認(rèn)為它與新一代計(jì)算機(jī)的研制有密切的聯(lián)系。目前，世界上發(fā)達(dá)國(guó)家正積極研究、試制具有智能化的模糊計(jì)算機(jī)，1986年日本山川烈博士首次試制成功模糊推理機(jī)，它的推理速度是1000萬(wàn)次/秒。1988年，我國(guó)汪培莊教授指導(dǎo)的幾位博士也研制成功一臺(tái)模糊推理機(jī)——分立元件樣機(jī)，它的推理速度為1500萬(wàn)次/秒。這表明我國(guó)在突破模糊信息處理難關(guān)方面邁出了重要的一步。模糊數(shù)學(xué)還遠(yuǎn)沒(méi)有成熟，對(duì)它也還存在著不同的意見(jiàn)和看法，有待實(shí)踐去檢驗(yàn)。偏微分方程的起源 如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)只含一個(gè)自變量，這個(gè)方程叫做常微分方程，也簡(jiǎn)稱 微分方程；如果一個(gè)微分方程中出現(xiàn)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，或者說(shuō)如果未知函數(shù)和幾個(gè)變量 有關(guān)，而且方程中出現(xiàn)未知函數(shù)對(duì)幾個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)，那么這種微分方程就是偏微分方程。 在科學(xué)技術(shù)日新月異的發(fā)展過(guò)程中，人們研究的許多問(wèn)題用一個(gè)自變量的函數(shù)來(lái)描述已經(jīng) 顯得不夠了，不少問(wèn)題有多個(gè)變量的函數(shù)來(lái)描述。比如，從物理角度來(lái)說(shuō)，物理量有不同 的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來(lái)描述的叫做純量；速度、電場(chǎng)的引力等，不僅在數(shù)值上 有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點(diǎn)上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做 張量，等等。這些量不僅和時(shí)間有關(guān)系，而且和空間坐標(biāo)也有聯(lián)系，這就要用多個(gè)變量的 函數(shù)來(lái)表示。應(yīng)該指出，對(duì)于所有可能的物理現(xiàn)象用某些多個(gè)變量的函數(shù)表示，只能是理想化的，如介 質(zhì)的密度，實(shí)際上“在一點(diǎn)”的密度是不存在的。而我們把在一點(diǎn)的密度看作是物質(zhì)的質(zhì)量 和體積的比當(dāng)體積無(wú)限縮小的時(shí)候的極限，這就是理想化的。介質(zhì)的溫度也是這樣。這樣 就產(chǎn)生了研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個(gè)變量的函數(shù)方程，這種方程就是偏微分方程。微積分方程這門(mén)學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程， 隨后不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作《論動(dòng)力學(xué)》中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起多大注意。1746年，達(dá)朗貝爾在他的論文《張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的 曲線的研究》中，提議證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。這樣就由對(duì)弦 振動(dòng)的研究開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程這門(mén)學(xué)科。和歐拉同時(shí)代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾·貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問(wèn)題， 提出了解彈性系 振動(dòng)問(wèn)題的一般方法，對(duì)偏微分方程的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏 微分方程，豐富了這門(mén)學(xué)科的內(nèi)容。偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時(shí)候，數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究繁榮起來(lái)了，許多 數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做出了貢獻(xiàn)。這里應(yīng)該提一提法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉，他年輕 的時(shí)候就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動(dòng)的研究中，寫(xiě)出了《熱的解析理論》 ，在 文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對(duì)偏微分方程的發(fā) 展的影響是很大的。偏微分方程是什么樣的？它包括哪些內(nèi)容？這里我們可從一個(gè)例子的研究加以介紹。弦振動(dòng)是一種機(jī)械運(yùn)動(dòng)，當(dāng)然機(jī)械運(yùn)動(dòng)的基本定律是質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的 F=ma，但是弦并不是質(zhì) 點(diǎn)，所以質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的定律并不適用在弦振動(dòng)的研究上。然而，如果我們把弦細(xì)細(xì)地分成若 干個(gè)極小極小的小段，每一小段抽象地看作是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，這樣我們就可以應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的 基本定律了。弦是指又細(xì)又長(zhǎng)的彈性物質(zhì)，比如弦樂(lè)器所用的弦就是細(xì)長(zhǎng)的、柔軟的、帶有彈性的。演 奏的時(shí)候，弦總是繃緊著具有一種張力，這種張力大于弦的重量幾萬(wàn)倍。當(dāng)演奏的人用薄 片撥動(dòng)或者用弓在弦上拉動(dòng)，雖然只因其所接觸的一段弦振動(dòng)，但是由于張力的作用，傳 播到使整個(gè)弦振動(dòng)起來(lái)。用微分的方法分析可得到弦上一點(diǎn)的位移是這一點(diǎn)所在的位置和時(shí)間為自變量的偏微分 方程。偏方程又很多種類(lèi)型，一般包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏 微分方程。上述的例子是弦振動(dòng)方程，它屬于數(shù)學(xué)物理方程中的波動(dòng)方程，也就是雙曲型 偏微分方程。偏微分方程的解一般有無(wú)窮多個(gè)，但是解決具體的物理問(wèn)題的時(shí)候，必須從中選取所需要 的解，因此，還必須知道附加條件。因?yàn)槠⒎址匠淌峭活?lèi)現(xiàn)象的共同規(guī)律的表示式， 僅僅知道這種共同規(guī)律還不足以掌握和了解具體問(wèn)題的特殊性，所以就物理現(xiàn)象來(lái)說(shuō)，各 個(gè)具體問(wèn)題的特殊性就在于研究對(duì)象所處的特定條件，就是初始條件和邊界條件。拿上面所舉的弦振動(dòng)的例子來(lái)說(shuō)，對(duì)于同樣的弦的弦樂(lè)器，如果一種是以薄片撥動(dòng)弦，另 一種是以弓在弦上拉動(dòng)， 那么它們發(fā)出的聲音是不同的。原因就是由于“撥動(dòng)”或“拉動(dòng)”的那 個(gè)“初始”時(shí)刻的振動(dòng)情況不同，因此產(chǎn)生后來(lái)的振動(dòng)情況也就不同。 天文學(xué)中也有類(lèi)似情況，如果要通過(guò)計(jì)算預(yù)言天體的運(yùn)動(dòng)，必須要知道這些天體的質(zhì)量， 同時(shí)除了牛頓定律的一般公式外，還必須知道我們所研究的天體系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就是在 某個(gè)起始時(shí)間，這些天體的分布以及它們的速度。在解決任何數(shù)學(xué)物理方程的時(shí)候，總會(huì) 有類(lèi)似的附加條件。 就弦振動(dòng)來(lái)說(shuō)，弦振動(dòng)方程只表示弦的內(nèi)點(diǎn)的力學(xué)規(guī)律，對(duì)弦的端點(diǎn)就不成立，所以在弦 的兩端必須給出邊界條件，也就是考慮研究對(duì)象所處的邊界上的物理狀況。邊界條件也叫 做邊值問(wèn)題。當(dāng)然，客觀實(shí)際中也還是有“沒(méi)有初始條件的問(wèn)題” 如定場(chǎng)問(wèn)題（靜電場(chǎng)、穩(wěn)定濃度分布、 ， 穩(wěn)定溫度分布等） ，也有“沒(méi)有邊界條件的問(wèn)題” 如著重研究不靠近兩端的那段弦，就抽象 ， 的成為無(wú)邊界的弦了。在數(shù)學(xué)上，初始條件和邊界條件叫做定解條件。偏微分方程本身是表達(dá)同一類(lèi)物理現(xiàn)象的 共性，是作為解決問(wèn)題的依據(jù)；定解條件卻反映出具體問(wèn)題的個(gè)性，它提出了問(wèn)題的具體 情況。方程和定解條件合而為一體，就叫做定解問(wèn)題。 求偏微分方程的定解問(wèn)題可以先求出它的通解，然后再用定解條件確定出函數(shù)。但是一般 來(lái)說(shuō)，在實(shí)際中通解是不容易求出的，用定解條件確定函數(shù)更是比較困難的。 偏微分方程的解法還可以用分離系數(shù)法，也叫做傅立葉級(jí)數(shù)；還可以用分離變數(shù)法，也叫 做傅立葉變換或傅立葉積分。分離系數(shù)法可以求解有界空間中的定解問(wèn)題，分離變數(shù)法可 以求解無(wú)界空間的定解問(wèn)題；也可以用拉普拉斯變換法去求解一維空間的數(shù)學(xué)物理方程的 定解。對(duì)方程實(shí)行拉普拉斯變換可以轉(zhuǎn)化成常微分方程，而且初始條件也一并考慮到，解 出常微分方程后進(jìn)行反演就可以了。應(yīng)該指出，偏微分方程的定解雖然有以上各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許 多定解問(wèn)題是不能?chē)?yán)格解出的，只可以用近似方法求出滿足實(shí)際需要的近似程度的近似 解。 常用的方法有變分法和有限差分法。變分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成變分問(wèn)題，再求變分問(wèn)題 的近似解；有限差分法是把定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程，然后用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算；還有一種 更有意義的模擬法，它用另一個(gè)物理的問(wèn)題實(shí)驗(yàn)研究來(lái)代替所研究某個(gè)物理問(wèn)題的定解。雖然物理現(xiàn)象本質(zhì)不同，但是抽象地表示在數(shù)學(xué)上是同一個(gè)定解問(wèn)題，如研究某個(gè)不規(guī)則 形狀的物體里的穩(wěn)定溫度分布問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上是拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題，由于求解比較 困難，可作相應(yīng)的靜電場(chǎng)或穩(wěn)恒電流場(chǎng)實(shí)驗(yàn)研究，測(cè)定場(chǎng)中各處的電勢(shì)，從而也解決了所 研究的穩(wěn)定溫度場(chǎng)中的溫度分布問(wèn)題。 隨著物理科學(xué)所研究的現(xiàn)象在廣度和深度兩方面的擴(kuò)展，偏微分方程的應(yīng)用范圍更廣泛。從數(shù)學(xué)自身的角度看，偏微分方程的求解促使數(shù)學(xué)在函數(shù)論、變分法、級(jí)數(shù)展開(kāi)、常微分 方程、代數(shù)、微分幾何等各方面進(jìn)行發(fā)展。從這個(gè)角度說(shuō)，偏微分方程變成了數(shù)學(xué)的中心。篇幅有限，還有一些大的數(shù)學(xué)分支尚未介紹，比如 分析學(xué)（實(shí)分析，復(fù)分析，調(diào)和分析），隨機(jī)數(shù)學(xué)等，具體到應(yīng)用數(shù)學(xué)的二級(jí)分支，均未涉及到。來(lái)源：算法數(shù)學(xué)俱樂(lè)部
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