【原】菱形背景下的一題多變問題

妍小青 2024-09-24 發(fā)布于上海

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問題背景

原題背景：滬教版八年級第二學期第22章第三節(jié)“特殊的平行四邊形”例題

解法分析：本題需要證明AE=AF，對于本題而言，證明線段相等有以下幾種途徑：①利用∠EAF=60°，證明△EAF為等邊三角形，但是缺少證明該三角形是等邊三角形的其他條件；②證明AE和AF所在的三角形（△ABE和△ADF）全等，有AB=AD，∠B=∠D=60°，但是還缺少夾邊或另一等角的條件.但是以上兩種方法都無法證明AE=AF，因此需要添加輔助線進行證明.

結(jié)合∠B=EAF=60°， ABCD是菱形，有以下幾種添線策略：

解法1：如圖2，聯(lián)結(jié)AC，利用菱形和等邊△的性質(zhì)證明△BAE≌△CAF，如圖3，也可以證明△AEC≌△AFD，從而證明AE=AF.

解法2：如圖4，過點A分別作BC和CD的垂線AM和AN，利用四邊形內(nèi)角和證明∠MAN=60°，利用菱形性質(zhì)，證明△AME≌△ANF，從而證明AE=AF.

解法3：如圖5，在BC、DC上分別截取BE=DG，聯(lián)結(jié)AE、AG.通過構(gòu)造△ABE≌△ADG，得到∠AGF=∠AEC，利用∠AEC與∠AFC互補，得到∠AEC=∠AFG，進而通過等量代換得到∠AGF=∠AFG，從而證明AE=AF.

問題變式

01 條件和結(jié)論互換

解法分析：和問題背景相比，本題保留了菱形和∠B=60°的背景，將原本條件中的∠EAF=60°和結(jié)論中的AE=AF進行了互換，問題背景中的三種做法：①聯(lián)結(jié)AC；②過點A分別作BC和CD的垂線AM和AN；③在BC、DC上分別截取BE=DG，聯(lián)結(jié)AE、AG這三種做法是否可行？

對于方法①，如圖7，根據(jù)已知條件可知AE=AF，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，但是∠D=∠ACB不是夾角而是對角，因此方法①不適用；

對于方法②，如圖8，根據(jù)Rt△AME≌Rt△ANF，得到ME=NF，進而得到CE=DF，從而證明△AEC≌△AFD，進而通過角的和差轉(zhuǎn)化證明∠EAF=60°；

具體解法：過點A作AM⊥BC，AN⊥CD，由AM和AN為高，得AM=AN，則Rt△AME≌Rt△ANF，即ME=NF，易證△ABC和△ACD為等邊三角形，得BC=CD，即CM=DN，即CE=DF，即得△ACE≌△ADF，即∠EAC=∠DAF，∠EAF=∠EAC+∠CAN+∠NAF=∠DAF+∠NAF+∠CAN=60°.

對于方法③，如圖9，根據(jù)Rt△ABG≌Rt△ADF，通過圖中的鄰補角以及四邊形的內(nèi)角和360°證明∠EAF=60°.

具體解法：在BC上截取BG=DF，聯(lián)結(jié)AG，易證△ABG≌△ADF.即AG=AF，∠AGB=∠AFD，由AE=AF，得AG=AE，即∠AGE=∠AEG，由鄰補角的性質(zhì)，可得∠AEC+∠AFC=180°，即∠EAF+∠C=180°，由∠C=120°，得∠EAF=60°.

02 去掉特殊化條件

解法分析：和問題背景相比，本題保留了菱形以及∠EAF=∠B的條件，去掉了∠EAF=∠B=60°這個條件，判斷AE是否等于AF.

問題背景中的三種做法：①聯(lián)結(jié)AC；②過點A分別作BC和CD的垂線AM和AN；③在BC、DC上分別截取BE=DG，聯(lián)結(jié)AE、AG這三種做法是否可行？

對于方法①，由于去掉了∠B=60°的條件，因此聯(lián)結(jié)AC就顯得沒有意義了；

對于方法②和方法③，仍舊是延用了∠EAF=∠B，∠EAF+∠C=180°的條件，因此這兩種方法仍舊可行.

解法分析：和問題背景相比，本題僅保留了∠EAF=∠B的條件，將菱形變?yōu)槠叫兴倪呅?，使得問題背景更加一般化.由于去掉了菱形的背景，因此構(gòu)造全等三角形證明AE=AF不再可行，只有方法③仍舊是可行的，只是由問題背景的“構(gòu)造三角形全等”改為“構(gòu)造三角形相似”，結(jié)論由“線段相等”變?yōu)椤皩?yīng)線段成比例”.

03 改變點的位置

解法分析：和問題背景相比，點E和點F的位置發(fā)生了變化，隨著∠MAN的變化，點E和點F在射線BC和射線CD上變化.盡管點的位置發(fā)生了變化，但是問題解決的方法還是不變的.

04 改變點的位置和特殊條件

解法分析：和問題背景相比，點E和點F的位置發(fā)生了變化，分別在直線BC和CD上運動，∠EAF=60°變?yōu)?/span>∠AEF=60°，盡管求證的相等線段不變，但是隨著特殊角的變化，輔助線的添加方式也要進行相應(yīng)的改變，若要證明AE=AF，只需證明△AEF為等邊三角形，從而秩序證明AE=EF即可.

但是仍舊可以延用構(gòu)造全等三角形證明線段相等的方式，若以AE、EF為邊構(gòu)造全等三角形，若構(gòu)造與△ECF全等的三角形，則需要在△ABE中構(gòu)造120°角；同樣地，若構(gòu)造與△ABE全等的三角形，則需要在△ABE中構(gòu)造60°角.