對(duì)我來說，一個(gè)方程沒有意義，除非它表達(dá)了上帝的思想?！估锬嵬呱だR努金

斯里尼瓦瑟·拉馬努金（1887–1920），這個(gè)名字與卓越和智慧齊名，是一位印度數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)領(lǐng)域留下了不可磨滅的印記。拉馬努金于1887年出生在靠近馬德拉斯的泰米爾納德邦埃羅德鎮(zhèn)，他天生的數(shù)字天賦在年幼時(shí)就顯露出來。

盡管面對(duì)許多挑戰(zhàn)和困難，他還是成功地引起了包括G.H. 哈代（1877–1947）等著名數(shù)學(xué)家的關(guān)注，他的旅程由此開始，逐漸成為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。

拉馬努金對(duì)數(shù)論、橢圓函數(shù)、連分?jǐn)?shù)和模形式的貢獻(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

1900年，拉馬努金開始獨(dú)立探索數(shù)學(xué)，首先從幾何級(jí)數(shù)和算術(shù)級(jí)數(shù)的研究入手。在這個(gè)時(shí)期，他在鎮(zhèn)高中就讀時(shí)偶然發(fā)現(xiàn)了G.S. 卡爾編寫的數(shù)學(xué)書籍《純數(shù)學(xué)初步成果概要》?？柕臅云淝逦谋磉_(dá)聞名，成為拉馬努金自學(xué)各種數(shù)學(xué)概念的寶貴資源。

到1904年，拉馬努金對(duì)數(shù)學(xué)的熱情日益增長，他已經(jīng)開始進(jìn)行深刻的研究。他研究了∑(1/n)級(jí)數(shù)，甚至將歐拉常數(shù)計(jì)算到15位小數(shù)，展示了他非凡的數(shù)學(xué)才能和對(duì)數(shù)學(xué)的執(zhí)著。

1910年，他在建立橢圓方程和模型式之間的聯(lián)系方面取得了重大進(jìn)展。他的工作引起了數(shù)學(xué)界的注意，1911年他在雜志上發(fā)表了一篇關(guān)于伯努利數(shù)的杰出論文，贏得了應(yīng)得的認(rèn)可。拉馬努金作為數(shù)學(xué)天才的名聲逐漸傳開，盡管他缺乏正規(guī)的大學(xué)教育。

在1900年代，數(shù)學(xué)作為職業(yè)在印度并不是一個(gè)可行的謀生方式。然而，拉馬努金并不愿意因?yàn)檫@個(gè)障礙而放棄他的數(shù)學(xué)熱情。因此，他開始嘗試與其他國家的數(shù)學(xué)家分享他的工作。然而，所有人都認(rèn)為他的方法不傳統(tǒng)，并且他缺乏正式教育。

1913年1月，拉馬努金在看到哈代1910年出版的《無窮級(jí)數(shù)的階數(shù)》一書后，寫信給哈代。在信中，拉馬努金自我介紹道：

我沒有接受過大學(xué)教育，但我完成了普通的學(xué)校課程。離開學(xué)校后，我利用業(yè)余時(shí)間研究數(shù)學(xué)。我沒有走過大學(xué)課程中通常遵循的傳統(tǒng)路徑，但我為自己開辟了一條新路。我對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)進(jìn)行了特別研究，得到的結(jié)果被當(dāng)?shù)財(cái)?shù)學(xué)家稱為'驚人的’。

哈代看到拉馬努金的工作后，對(duì)其展示出的才華印象深刻。隨后，他的同事利特爾伍德更仔細(xì)地審查了拉馬努金的工作，并評(píng)價(jià)道：

我認(rèn)為我們可以將他與偉大的德國數(shù)學(xué)家雅可比相提并論。

哈代回信道：

我對(duì)你的信和你所提出的定理非常感興趣。然而，你應(yīng)該理解，在我能夠適當(dāng)判斷你所做工作的價(jià)值之前，至關(guān)重要的是我必須看到你某些論斷的證明。你的結(jié)果在我看來大致可以分為三類： (1) 有一些結(jié)果已經(jīng)為人所知，或者可以從已知定理中輕松推導(dǎo)出來； (2) 有一些結(jié)果，據(jù)我所知是新的且有趣的，但更多的是因?yàn)樗鼈兊暮闷嫘院捅砻嫔系碾y度，而不是其重要性； (3) 有一些結(jié)果看起來是新的且重要的……

1914年，哈代邀請(qǐng)拉馬努金加入劍橋的三一學(xué)院。從一開始，他們的合作就產(chǎn)生了重要的數(shù)學(xué)成果。

連分?jǐn)?shù)

拉馬努金在連分?jǐn)?shù)領(lǐng)域做出了重大和開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，連分?jǐn)?shù)是將數(shù)字表達(dá)為無限分?jǐn)?shù)序列的方式。

他研究了各種數(shù)學(xué)常數(shù)的連分?jǐn)?shù)展開式的收斂性，比如π（圓周率）和e。在他的貢獻(xiàn)之前，已有一個(gè)用于π的無窮級(jí)數(shù)。然而，它有一個(gè)缺點(diǎn)——需要大約600項(xiàng)才能將π逼近為3.14。相反，拉馬努金設(shè)計(jì)了一個(gè)新的級(jí)數(shù)，驚人的是，只需一個(gè)項(xiàng)就能逼近3.141592的值。

分拆理論

拉馬努金在分拆理論方面的工作被認(rèn)為是他最非凡的貢獻(xiàn)之一。這項(xiàng)工作涉及一個(gè)整數(shù)可以表示為其他整數(shù)之和的不同方式，并且與他對(duì)連分?jǐn)?shù)的研究密切相關(guān)。

他在這個(gè)領(lǐng)域的一些成果后來在他去世后發(fā)現(xiàn)的“失落的筆記本”中被找到。

整數(shù)分拆的枚舉在數(shù)論、組合數(shù)學(xué)和概率論中都有應(yīng)用。

高度合成數(shù)

高度合成數(shù)是比任何更小的正整數(shù)擁有更多除數(shù)的正整數(shù)。拉馬努金在該領(lǐng)域的工作集中于理解這些特殊數(shù)字的性質(zhì)和模式。

高度合成數(shù)的無限集合可以找到，首先是以下幾個(gè)：1，2，4，6，12，24，36，48，60，依此類推。這些數(shù)字中的每一個(gè)都具有獨(dú)特?cái)?shù)量的除數(shù)，分別為1，2，3，4，6，8，9，10，12，等等。

他的一項(xiàng)重大成就是對(duì)“優(yōu)越高度合成數(shù)”的研究。這是一類擁有極為豐富除數(shù)的獨(dú)特高度合成數(shù)。

哈代-拉馬努金數(shù)

1917年，哈代在倫敦的一家醫(yī)院探望正在接受治療的拉馬努金。訪問期間，哈代提到他乘坐了一輛帶有無趣數(shù)字的出租車。對(duì)此，拉馬努金迅速回應(yīng)說，出租車的號(hào)碼1729實(shí)際上是一個(gè)有趣的數(shù)字。

他解釋道，1729是最小的正整數(shù)，可以用兩種不同方式表示為兩個(gè)立方數(shù)之和。

拉馬努金發(fā)現(xiàn)1729這一獨(dú)特性質(zhì)，展現(xiàn)了他深刻的數(shù)學(xué)洞察力和創(chuàng)造力。為了紀(jì)念這兩位歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之間的合作和友誼，這個(gè)數(shù)字后來被命名為哈代-拉馬努金數(shù)。

模形式

拉馬努金對(duì)模形式和橢圓函數(shù)的癡迷為數(shù)論和代數(shù)幾何領(lǐng)域開辟了新的大門。如今，模形式在各種加密方案、編碼理論，甚至理論物理中都有應(yīng)用。

斯里尼瓦瑟·拉馬努金關(guān)于模形式和偽θ函數(shù)的工作與量子引力背景下的黑洞物理有著引人入勝的聯(lián)系。這些偽θ函數(shù)，記為“φ(q)”，是一種無限級(jí)數(shù)，表現(xiàn)出顯著的模性質(zhì)。

具體來說，這些函數(shù)與黑洞熵的研究有關(guān)，黑洞熵是理論物理中的一個(gè)基本概念。

黑洞熵是與黑洞相關(guān)的微觀狀態(tài)數(shù)量的度量，代表了構(gòu)成其內(nèi)部結(jié)構(gòu)的自由度。

1970年代發(fā)現(xiàn)的貝肯斯坦-霍金公式建立了黑洞熵與黑洞視界面積之間的聯(lián)系。該公式揭示了黑洞熵與其視界面積成正比，而不是其體積。

源自拉馬努金數(shù)學(xué)工作的偽θ函數(shù)在計(jì)數(shù)為黑洞熵貢獻(xiàn)的微觀狀態(tài)中起到了作用。

值得注意的是，拉馬努金在世時(shí)并未專門研究黑洞物理。然而，他的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)卻在理論物理及其他領(lǐng)域中找到了令人驚訝的應(yīng)用。